М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Тем не менее даже из рассмотренного выше примера можно сделать интересные для теории квантовой информации наблюдения. Действительно, состояние )О, 0)з есть не что иное как состояние Белла (подразд. 1.3.6), которое встреча ется в Природе достаточно редко благодаря его странным нелокальным свойствам. Почему же Природа захотела реализовать это состояние именно здесь? Это связано с сим,иеп»рие6 взаимодействий магнитных моментов, по отношению к их перестановке. Такие симметрии встречаются в физике очень часто и могут оказаться полезными для реализации, например измерений в базисе Белла, или других операций с запутанными состояниями.
Упражнение 7,25. Покажите, что операторы полного углового момента подчиняются коммутационным соотношениям алгебры ЯП(2), т. е. (у;,,?ь) = 4е;муь 'Упражнение 7.26. Найвите явный вид 4 х 4 матриц 7з и у, в базисе, определяемом состояниями ~у, тпз) з. Упражнение 7.27 (сложение угловых моментов трех спиноз). Система из трех спинов 1/2 может иметь полный угловой моменту = 1/2 или у = 3/2. 7.6.
Ионьд в ловушке 393 Покажите, что в качестве базисных состояний трех спинов можно выбрать (7.98) (7.99) (7.100) (7.101) (7.102) (7.103) (7.104) (7.105) причем,7т(дт ) = Яу+ 1)1дту) и Якуту) = т Цтд>, где д', = (Яд + Ег+ Яэ)/2 (и аналогично для,д~, дя), а Р = Я + у~~ + Я. Заметим, что существуют специальные методы нахождения этих состояний, однако можно действовать и методом грубой силы, непосредственно приводя 8 х 8 матрицы Р и у, к диагональному виду. Упражнение Т.28 (сверхтонкая структура). Поскольку нас в основном будут интересовать атомы бериллия (подразд. 7.6.4), рассмотрим сложение двух угловых моментов: ядерного спина 1 = 3/2 и электронного спина Я = 1/2. При этом полвьдй угловой момент может быть либо Р = 2, либо Г = 1.
Для частицы со олином 3/2 операторы углового момента имеют вид о ,/3 о о д/3 0 2 0 0 2 0 д/3 О 0 д/3 1 де— 2 (7.106) 0 дд/3 0 0 — дд/3 0 2д 0 0 -2д 0 дд/3 0 0 — дд/3 0 1 д дд 2 (7.107) -3 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 1 д ь 2 (Т.108) )3/2,3/2) )3/2,1/2) )3/2, -1/2) (3/2, -3/2) (1/2, 1/2) д )1/2, — 1/2) д )1/2,1/2)э (1/2, — 1/2)д !1п), — [)оп) +!101>+ !по)1, /3 — ' [РОО>+ )010>+ ~001>], 1000), — [-!001) + роо>1, д/2 — [~ по) — !Оп>), д/2 — [)001) — 2)010) + (100)~, 1 ,/6 — [ — >ПО) + 2(101) — (ОП)), 1 д/6 394 Глава 7. Квантовые компьютеры: физическая реализация 1. Покажите, что 1„1э, э, подчиняются коммутационным соотношениям алгебры ЯУ(2).
2. Запишите в виде матриц 8 х 8 операторы 1э = э, ® 1+ 1 ® Я/2 (где 1 — единичный оператор), 1э,,1э и гз = 1э + 1э + 1э. Найдите базис ~Р, тр), в котором диагональны операторы Г~ и 1ю т. е. г'~)г', тр) = г'(г' + 1) ~Р, тр) и ЯР, тр) = тр~Р, тр). Как долго может существовать суперпозиция различных спиновых состояний? Ее время жизни ограничивается процессом саонтанноэо излучения, в котором атом переходит из возбужденного состояния в основное с испусканием фотона.
Акт испускания происходит в случайный момент времени, поэтому нам понадобится вероятность испускания в единицу времени. На первый взгляд может показаться странным, что атом, в свободном пространстве не испытывающий никаких внешних воздействий, может испустить фотон. Этот процесс является простым следствием взаимодействия атома с электромагнитным полем, которое можно описывать знакомым нам (подразд. 7.5.2) гамильтонианом Джейнса-Каммингса Нг = д(а~а + аот).
(7.109) До сих пор мы использовали этот гамильтониан для описания взаимодействия атома с излучением лазера, однако, естественно он применим и в случае, когда лазера нет. Рассмотрим атом в возбужденном состоянии и единственную моду электромагнитного поля, на которой изначально нет фотонов.
Начальное состояние системы есть ~01) (в обозначениях ~поле, атом)). Оно не лелле|вся собсгпвенным состоянием Нг и, таким образом, его эволюция во времени нестационарна. Эта эволюция описывается унитарным оператором У, определенным в (7.77). Вероятность р„,„= ~(10)Ц01))~ того, что в момент Ф атом окажется в основном состоянии, испустив фотон, равна з4в1п ~~(ш — шо)$ Р« =д (7.110) в низшем порядке по константе связи атом-поле д. Здесь ш — частота фотонной моды, а гкдо — Разность Энергий двух атомных уровней. Теперь мы должны подставить в (7.ПО) константу связи' д = — !(О/Д1)~~, (7.111) ' Для процессов с испусканием одного фотона существует два возможных канала; электрический и магнитный.
В классическом пределе им соответствует дипольное и магнитнодипольное взлучение. В общем случае вероятность магнитно.дипольного испускания гораздо меньше соответствующей вероятности для дипольного процесса н имеет тот же порядок величины, что и квадрупольное излучение пары фотонов. Выражения для вероятностей испускания электрического и магнитного типов отличаются только константой связи в. В случае дипольиого процесса она пропорциональна матричному элементу оператора дипольного моменте„а для магнитно-дипольиого излучения — матричному элементу оператора магнитного момента — Прим. ред. 7.6. Ионы в ловушке 395 где г7 — оператор электрического или магнитного момента, и учесть, что атом в свободном пространстве взаимодействует со многими фотонными модами.
Проинтегрировав по всем фотонным модам (упр. 7.29) и взяв производную по времени ст полной вероятности, мы найдем вероятность испускания в единипу времени: Зйсз Если взять приближенное значение ((Оф„э,)1)( — дв — 9 х 10 м Дж/Тл, т. е. магнетон Бора,х а ого/2и 10 ГГц, то получим ~„"~„" = 10 гв с ~. Таким обри зом, типичное время жизни спина в возбужденном состоянии составляет около 3 000 000 лет.
Это вычисление является типичным примером оценки времен жизни атомных состояний. Как вы можете видеть, теория предсказывает необычайно большие времена жизни сверхтонких состояний и это, как правило, согласуется с экспериментами, в которых наблюдаются времена жизни от десятков секунд до десятков часов.з У'пражнение 7.29 (спонтниное излучение), Полная вероятность спонтанного излучения, может быть найдена из (7.ПО)-(7.111) следующим образом: 1. Возьмите интеграл 18я/ г (2ггс)з 3 lо (7.113) Здесь множитель 8я /3 возникает из-за суммирования по поляризациям и интегрирования по углам г(Й, а багз/(2яс)з представляет собой плотность фотонных состояний в трехмерном пространстве.
(Указание: интеграл удобно взять, распространив интегрирование на интервал (-со, со).) 2. Продифференцировав результат по 1, найдите 7„",~'. эДля сверхтонких уровней в з -состояниях дипольиые и квэдрупольные процессы запрещены, поэтому переход происходит по магнитно-дипсльному механизму — Прим. ред. Конечно, такие времена на много порядков больше типичных атомных масштабов времени, гщнако, они все же гораздо меньше полученной выше оценки. Дело в том, что в реальном эксперименте невозможно полностью изолировать атом от воздействий извне Неконтролируемые низкочастотные возмущения приводят к так называемому 1//- шуму Именно величина этого шума и определяет время жизни сверхтонких уровней в эксперименте. — Прим.
ред Использованное выражение для дз может быть найдено с помощью квантовой электродинамики. Однако, весь остальной вывод основан только на гамильтониане Джэйнса-Каммингса. Мы опять видим, что изучение его свойств в режиме одиночных фотонов и одиночных атомов позволяет вывести некоторые фундаментальные законы, не прибегая к теории возмущений. Упражнение 7.30 (временн жизни электронных состояний). Подобно томУ, как мы оЦенили веРоЯтность испУсканиЯ у,эд Дла спиновых состоЯний, можно оценить вероятность испускания для электронных переходов, в которых изменяется главное квантовое число, Ьп ф О.
Для таких переходов в главном порядке надо учитывать взаимодействие электрического дипольного момента атома ряс„с электромагнитным полем, поэтому 396 Глава 7. Квантовые компьютеры: физическая реализация 2я у2 2 2"ото !(0! - !1) !2 (7.114) Соответственно, вероятность спонтанного излучения (в единипу времени) равна 4агз!(О!Р„,„(1) !2 Засз Найдите значение 7„",п, взяв ото/2тг — 10гз Гц, а !(О!Д1)! св 9ас, где 9 — заряд электрона, а ао — боровский радиус. Это упражнение показывает, что времена жизни электронных состояний много меньше времени жизни сверхтонких состояний, 7.6.2 Гамильтониан Объединяя упрощенные модели, введенные в предыцущем разделе для описания колебательных состояний ионов в ловушке и атомной структуры, мы можем написать полный гамильтониан системы. Для этого рассмотрим частицу со спинам 1/2 во внешнем электромагнитном поле, гамильтониан которого имеет вид Нт = — р В, где магнитный момент,й = д Я пропорционален оператору спина Я, а магнитное поле представляет собой плоскую волну В = Взхсоз(йг — ш1+ р) с амплитудой Вь волновым вектором и вдоль оси Я, частотой нг и фазой ш.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
