М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Покажите, что интеграл (7.60) отличен от нуля только при тпэ — т~ = ~1 и Ы = ш1. Вставка 7.6. Атомные уровни энергии Электроны атома могут рассматриваться как система частиц в трехмерном ящике с гамильтонианом вида Нл =~ +Нт+Ньь+Нее+Ныл (761) (рь) Яе 2ти где первый член — кинетическая энергия электронов, второй член — кулоновское притяжение электронов к положительно заряженному ялру, Н,— релятивисткие поправки, Н„описывает электрон-электронное взаимодействие и поправки связанные с тем, что электроны являются фермионами, Н вЂ” спин орбитальное взаимодействие, которое можно интерпретировать как взаимодействие электронного спина с магнитным полем, создаваемым орбитальным движением электрона,Ны соответствует сверхтонкой структуре, т.
е. взаимодействию спина электрона с магнитным полем ядра. Собственные состояния Нл, как правило, хорошо классифицируются тремя целыми числами (кеантоеььми числами): и — главное квантовое число, 1— орбитальный момент и т — его проекция на ось д. Кроме того, часто важны полный спин электронов Я и ядерный спин 1. Собственные значения Нл в главном порядке определяются числом и, члены Н, и Н„приводят к поправкам порядка сР, а член Нм приводит к поправкам порядка 10 зо', где а = 1/137 — постоянная тонкой структуры. Число п задает решение одномерного уравнения Шредингера подобно тому, кэк это было для частицы в одномерном ящике, поскольку кулоновский потенциал зависит только от радиуса.
Однако орбитальный момент 1 является специфической чертой квантования в трехмерном пространстве,как объясняется ниже. Чтобы понять его свойства, заметим, что в координатном представлении Ня кинетическая энергия пропорциональна оператору Лапласа. Угловая зависимость собственных функций оператора описывается уравнением Лапласа — — ~ э!пд — ) + —,— +1(1+ 1)9(д)Ф(~р) = О, (7 62) ,1Е~ Е(д) 6Ф(р) э1пд 6д ~, Йд) э1п'д алоэ 376 Глава 7. Квантовые компьютеры: физическая реализация где д и !о — обычные сферические координаты, а Ф и 9 — интересующие нас собственные функции. Решения этого уравнения К (О, ~р) = 9~ (д)Ф (у) называются сферическими гармониками и имеют вид У~ (д, у) ш ( — 1) — Р! (сж 6)е'~", (7.63) 21+ 1 (! — т)! где Рь„— присоединенные полиномы Лежандра: (1 — хз) 7з 4 +' Р~ (х) =,, —,(хз — 1)'. (7.64) В этих уравнениях подразумевается что -1 < то < 1, причем можно показать, что допустимы только целые ! и т.
Число ! — орбитальный момент, а ш — его проекция на ось Я. Аналогично определяются проекции т, и т, для электронного Я и ядерного 1 спиноз. Итак, хотя описать собственные состояния атома очень сложно, для наших целей можно считать, что они классифицируются семью числами: и, 1, т, Я, т„1, ть На практике электромагнитное поле никогда не бывает идеально монохроматичным; например, если оно генерируется лазером, конечная ширина линии возникает За счет продольных мод, шума в сигнале накачки и других источников. Точно также атом, взаимодействующий с окружающим миром, не имеет идеально определенных уровней энергии; малые возмущения, связанные с флуктуациями электрического потенциала, и даже взаимодействие с вакуумом приводят к размыванию уровня энергии до конечной ширины.
Тем не менее, для специально выбранных атомов и возбужденных состояний с учетом правил отбора приближение двухуровневого атома работает превосходно. В этом приближении оказывается, что, если ~6ч) и фз) — два выбранных уровня, то матричные элементы г имеют вид гп = (ф (г(ф ) гсУ, (7.65) Ьыс и. „= — г. 2 Здесь бас — разность энергий выбранных уровней. (7.66) где гс — некоторая константа, а У вЂ” матрица Паули (для последующих вычислений нам удобно фиксировать систему координат так, чтобы в выражении (7.65) была матрица У), см.
подразд. 2.1.3. Это позволит нам описать взаимодействие атома с приложенным к нему электрическим полем. Атомный гамильтониан, действующий на подпространстве двух выбранных уровней, имеет вид 7.5. Квантовая электродинамика в оптических резонаторах 377 7.5.2 Гамилътоииан Взаимодействие Ы Е между атомом и электрическим полем в резонаторе можно описывать, используя приближение двухуровневого атома, простейшую схему квантования поля в резонаторе, и считая что радиус орбиты электрона много меньше длины волны излучения. Замечал, что Й г (дипольный момент равен произведению заряда на расстояние) и принимая во внимание формулы (7.56),(7.65), получаем следующий гамильтониан взаимодействия: Нт = — ~дУ(а — а~).
(7.67) Здесь мы считаем, что атом находится в точке г = 0 (соответственно в этой же точке вычисляется поле Е), плоскость поляризации поля задэегся ортами У, у, а д — некоторая константа (нас пока не будут интересовать числовые значения), описывающая силу взаимодействия. Коэффициент з появился, поскольку мы считаем д вещественной, а гамильтониан Нг должен быть эрмитовым. При определенных условиях мы можем упростить гамильтониан Нг.
Чтобы увидеть это, введем понижающие и повышающие матрицы Паули ХхгУ ~тя = 2 (7.68) с помощью которых Нг записывается как Нт =д(о'э — и )(а — а~). (7.69) Приближение вращающейся волям заключается в том, чтобы отбросить члены а~а и и а, соответствующие удвоенным частотам. Оказывается, что иногда это приближение работает достаточно хорошо. В результате полный гамиль- тониан Н = Н, ч„+ Н„, + Нг принимает вид Н = — Я+ Йыа1а+ д(а1сг + ап ).
йь~о 2 + (7.70) Напомним, что здесь матрицы Паули действуют в пространстве состояний двухуровневого атома, а1 и а — операторы рождения и уничтожения для одной моды электромагнитного поля, ы — частота моды, ыс — частота перехода атома, д — константа связи, описывающая взаимодействие атома с полем. Выражение (7.70) представляет собой гамильтониан Джейнса-Каммингса взаимодействия двухуровневых атомов с электромагнитным полем и является основным инструментом в теории КЭДР.
Этот гамильтониан можно записать.в более удобной форме, введя интеграл движения Ж = а" а+ Е/2, [Н, Ж] = О, а именно Н = был+ 5Я+д(а1п + аат). (7.71) Здесь Ю = (ыс-м)/2 определяет разность между частотами поля и атомного резонанса. Этот параметр обычно называется рассгвройкой. Гамильтониан 378 Глава 7. Квантовые компьютеры: физическая реализация Джейнса — Каммингса чрезвычайно важен для нас, и значительная часть дан- ной главы будет посвящена изучению его свойств и описанию с его помощью различных физических систем.
зпражненне 7.17 (собственные состояния гамнльтониана Джейнса- Каммингса). Покажите, что состояния 11п, 1) +!и+ 1,0)~, ~/2 /Х ) = — [!и, Ц вЂ” !и+1,0)) Л (7.72) (7.73) являются собственными для гамильтониана Джейнса — Каммингса (7.71) в слу- чае ю = б = О, а соответствующие им собственные значения имеют вид н~х ) =а~/ +Цх ), Н1Х ) = -а4 +1~Х ). (7.74) (7.75) В этих формулах обозначения состояний следует понимать как ~поле, атом).
7.5.3 Поглощение и преломление длн одиночного фотона и одиночного атома б 0 0 О б 0 д — б (7.76) где базисные состояния /00), /10), !01) расположены в порядке сверху вниз и слева направо (напомним, что левая цифра относится к полю, а правая к ато- Нас будет интересовать КЭДР в режиме, когда одиночный фотон взаимодействует с одиночиьм атомом. Это квантовый режим, в котором традиционные понятия классической теории электромагнетнзма (такие, как показатель преломления или диэлектрическая проницаемость) перестают работать. Нам хотелось бы использовать одиночный атом, чтобы получить нелинейное фотон- фотонное взаимодействие. Мы начнем с обсуждения удивительного и фундаментального эффекта, наблюдаемого в системе атом-поле и называемого осцилллцни Раби.
Можно сразу выбросить к из гамильтониана (7.71) слагаемое И, поскольку от него зависит только общая фаза. Оператор эволюции имеет вид У = е оп (здесь н далее будем полагать В = 1). Если ограничиться однофотонными состояниями, то можно записать гамильтониан как 7.5. Квантовая электродинамика в оптических резонаторах 379 му). Соответственно оператор эволюции принимает следующий вид: У е-ив~00)(00~ + (соэйг+1 — э1пйс)~01)(ОЦ б П ,б + (соэ Йй — 4 — эшйй))10)(10! П вЂ” 1 — вп ПС001) (10( + )10) (ОЦ). й (7.77) Особый интерес представляет последняя строка этой формулы. Из нее мы видим, что атом и поле периодически обмениваются одним квантом энергии с частотпой Роби й = ~/дз + бт.
Упражнение 7.18 (осцилляцнн Раби). Используя формулу е'я'~ = в!п)п);й ° асов~и~ (7.78) для вычисления экспоненты от Н, проверьте справедливость выражения (7.77). Заметим, что данный способ описания осцилляций Раби и получения частоты Раби значительно проще, чем стандартный, в котором для нахождения П необходимо решать систему дифференциальных уравнений.
При нашем подходе удается описать всю существенную динамику, используя только однофотонные состояния и одиночный атом. Если нас интересует, как преобразуется состояние фотона при взаимодействии с атомом, мы должны взять частичный след по состояниям атома (подразд. 2.4.3). Вероятность того, что фотон поглотится атомом при начальном состоянии поля ~1) и начальном состоянии атома ~0), есть 3 „„= ~-~(ОйЩ10)~г =,, э1пза, (7.79) ь Это обычный лоренцевский контур, описывающий поглощение света как функцюо расстройки б. Показатель преломления (одиночного атома)) определяется теми матричными элементами У, в которых конечное состояние атома основное.
Сдвиг фазы фотона в этом процессе равен разности фэз, которые они приобрели в ходе эволюции состояний ~0) и ~1). Этот сдвиг оказывается равным Х; = аг8 еьи созй$ — 4 — впПс П (7.80) Если мы уменьшаем д при фиксированном б ф О, то вероятность поглощения Х„уменьшается как д~, тогда как сдвиг фазы х; остается практически постоянным. Это дает возможность создать материалы, в которых сдвиг фазы происходит практически без рассеяния света. 'Упражнение 7.19 (лоренцевский контур поглощения). Постройте график Х„из (7.79) для 1 = 1 и д = 1, 2 как функции расстройки б, а также соответствующий график для классической вероятности поглощения (если она вам известна).
Чем объясняются осцилляции? 380 Глава 7. Квантовые компьютеры: физическая реализация Упражнение 7.20. Выведите выражение (7.80), используя формулу (7.77), и постройте график ть как функции расстройки Ь для Ь = 1 и д = 1,2. Сравните результат с Ь/Й~.
Рис. 7.4. Трехуровневый атом (уровни О, 1 и 2), взаимодействующий с двумя ортогонально- поляризованными фотонными модами (операторы а и Ь) Соответетвующие конСтанты связи— д» и дь. Энергии переходов 0-1 и 0-2 считаются приблизительно одинаковыми Естественное обобщение рассмотренной задачи — изучение взаимодействия двух фотонных мод (каждая из которых содержит максимум один фотон) с одним и тем же атомом. В этой задаче может возникнуть нелинейное взаимодействие между двумя модами.
Напомним (подразд. 7.4.2), что нелинейную среду Керра можно описать феноменологически как среду, в которой возникает перекрестная фазовая модуляция с гамильтонианом вида Н = )(аь аЬьЬ, Однако, осталось неясным каким образом этот эффект возникает из фундаментальных взаимодействий. Используя формализм данного раздела, мы можем проиллюстрировать эффект Керра на простой модели, в которой две фотонные моды с разной поляризацией взаимодействуют с трехуровневым атомом, как показано на рис. 7.4. Это взаимодействие описывается гамильтонианом типа ДжейнсаКаммингса: Н=Ю 0 1 0 +дп а 1 0 0 +а( И.:1 0 0 1 0 0 О, (7.81) 0 0 0 а (Ь ~ где операторы, действующие на атом, представлены 3 х 3 матрицами в базисе (0), (1), (2). Если учитывать только те состояния, в которых на каждой моде не более одного фотона, можно записать Н в матричном виде как и о о н= о и о 0 0 Нз (7.82) 7.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
