М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 90
Текст из файла (страница 90)
(7.25) Б дальнейшем нам понадобятся выражения для сопряженного действия В на операторы а и Ь: и ВЬВ1 = — аз!п6+Ьсозб. (7.26) ВаВ! = асоеВ+ ЬетВ Мы проверим эти соотношения при помощи формулы Бейкера-Кэмпбелла- Хаусдорфа (см. также упр. 4.49) ОЛСАО-ЛС Лв и! в=е (7.27) где Л вЂ” комплексное число, А, С и ф— операторы, причем С„определены рекурсивной последовательностью коммутаторов СО = А, С1 = [С, СО], Сз = [С, С1], Сз = [С, СО],..., Св — — [С, С„1]. В силу коммутационных соотношений [а,а1] = 1, [Ь,И] = 1 имеем: [С, а] = -Ь и [С, Ь] = а, где С ве а~Ь вЂ” аЬ~, что дает нам разложение оператора ВаВ~ в ряд с коэффициентами СО = а, С1 = [С, а] = -Ь, Сз = [С, С1] = — а, Сз = [С, Сз] = — [С, СО] = Ь или в общем виде 'в С„„,„=Ь а, .в+1 Сэ вече«» = 1 (7.28) (7.29) Заметим, что подобные «оптические схемы» наглядно показывают картину распространения фотона в пространстве, а задание оператора эволюции, соответствующего схеме, сводится к заданию некоторой фазы для каждого из квадратиков, так же как на приведенном рисунке.
Б двойственном представлении свободная эволюция в соответствии с (7.20) изменяет лишь ненаблюдаемую общую фазу состояния, поэтому нам достаточно следить лишь за изменением относительной фазы. 'Упражнение 7.8. Покажите, что Р]г«) = [аеот), где се — когерентное состояние (вообще, параметр а является комплексным). Светоделнтель. Эволюцию фотонных состояний при наличии светоделителя также можно описать феноменологически, но нам будет удобнее начать с гамильтониана и, исходя из этого, описать ожидаемое классическое поведение, т.
е. вывести выражения (7.17)-(7.18). Напомним, что светоделитель действует на две фотонные моды, которые мы будем описывать при помощи операторов рождения а1, Ь~ и уничтожения а, Ь. Гамильтониан имеет вид 7.4. Квантовый компьютер на оптических фотонах 365 Выражение для ВаВ1 теперь находится элементарно: ВаВ1 = е аае (7.30) Оп к=с — а+1 (19)" (7.31) (19) и — Ь пй (7.32) в четн а сов Π— Ь в1п О.
(7.33) Выражение для ВЬВ1 получится, если в приведенных выше формулах поменять местами а и Ь. Заметим, что вид оператора, описывающего действие светоделителя, определяется связью между светоделителем и алгеброй Я(/(2), как объясняется во вставке 7.3. В терминах квантовых логических элементов В осуществляет полезную операцию. Прежде всего заметим, что В)00) = (00), т.
е. если ни на одной из входных мод фотонов нет, то их не будет ни на одной нз выходных мод. Если на входе имеется один фотон на моде а, то, используя ~1) = а1 ~0), находим В/01) = Ва1 )00) = Ва1В В~00) = (а" сов 9+ Ь в1п 9)!00) = сов 9~01) + вт 9~10). (7.34) Аналогично В/10) = совО/10) — в1пО!01). Таким образом, в базисе !Оь), (1ь) можно записать В как ~ совΠ— вшО 1 = е' ~ вшО совО (7.35) Используя фвзовращатели и светоделители, можно подействовать на оптический кубит произвольным унитарным оператором.
Это следует из теоремы 4.1, которая утверждает, что все однокубитовые операции можно реализовать с помощью вращений вокруг осей й и у, т. е. операторов В,(а) = ехр ( — 1оЯ/2) и Вэ(а) = ехр ( — АУ/2). Действительно, фазовращатель реализует В„а свето- делитель реализует Вю Упражнение 7.9 (оптический элемент Адамара). Покажите, что приведенная ниже схема в двойственном представлении реализует элемент Адамара, т.
е. (01) -+ (~01) + )10))/~/2 и )10) -+ 001) — )10))/~/2, с точностью до общего фазового множителя. Упражнение 7.10 (интерферометр Цендера — Маха). Интерферометр яв- ляется оптическим инструментом для измерения малых разностей фаз и может быть сконструирован из двух светоделителей. Данное упражнение иллюстри- рует основные принципы работы интерферометра.
366 Глава 7. Квантовые компьютеры: физическая реализация Вставка 7.3. Симметрия ЯУ(2) и квантовый светоделитель Существуег интересная связь между группой Ли ЯП(2) и алгеброй двух связанных гармонических осцилляторов, которая поясняет смысл преоб- разования, реализуемого светоделителем. Установим еле,эующее соответ- ствие: а«а — Ь«Ь вЂ” «Я, аЬ« — ««т « (7.36) (7.37) (7.38) где Я вЂ” матрица Паули и оь = (Х ~гУ)/2 — повышающий и понижающий операторы, образованные из матриц Паули Х и У. Исходя из коммутационных соотношений для операторов а, ат, Ь и Ьт, можно легко проверить что выполняются коммутационные соотношения для матриц Паули, см.
(2.40). Заметим, что оператор полного числа частиц а«а + Ь«Ь коммутирует с <т„ ае и «т, что можно увидеть из его инвариантности относительно вращений Я(«'(2). Используя матрицы Паули Х = атЬ+ аЬт и У = — т(атЬ вЂ” аЬЬ) и записывая произвольный элемент ЯУ(2) в виде д(й,д) = е миатг (7.39) можно получить желаемое выражение для оператора эволюции при вали- чии светоделителя, взяв направление й вдоль оси р. 1. Покажите, что приведенная ниже схема выполняет тождественное преобразование. 2.
В двойственном представлении найдите вращение, реализуемое приведенной ниже схемой, как функцию сдвига фазы «р. Упражнение 7.11. Найдите В)2, О) для 0 = я/4. 7.4. Квантовый компьютер на оптических фотонах 367 Нхрт = Ха аЬ Ь, С 1 (7.40) где а и Ь вЂ” операторы уничтожения для двух мод излучения, распространяющегося в нелинейной среде.
Соответственно, лри прохождении света сквозь кристалл длины 7 квантовое состояние преобразуется унитарным оператором К вЂ” е1хьа Яь Ь (7.41) Коэффициент г связан с пг, а также с нелинейной восприимчивостью Х®. В упр. 7.14 читателю предлагается проверить, что гамильтониан (7.40) действительно приводит к классическому эффекту Керра (7.19). При помощи среды Керра и светоделителей можно реализовать операцию скот. Преобразование однофотонных состояний в среде Керра имеет вид К!00) = !00), К/01) = )01), К)10) = /10), КР1) е~хь ~11) (7.42) (7.43) (7.44) (7.45) Выбор гХ = я дает К/11) = — /11).
Два логических кубита в двойственном представлении задаются четырьмя фотонными модами, так что рабочее пространство порождается четырьмя базисными состояниями )есс) = (1001), )ес1) = (1010), (е1о) = )0101), )еы) = )0110). Обратите внимание, что для удобства мы поменяли местами две фотонные моды, представляющие первый кубит (физически такал перестановка осуществляется с помощью зеркал), Допустим, что мы пропускаем вторую и третью моды через среду Керра.
В этом случае К(е ) = )е ) для всех 1 за исключением К)еы) = — (ем). Это почти то, что нам нужно, поскольку операция скот может быть записана как Ъ~пражнение 7.12 (квантовый светоделитель с классическим входом). Найдите В)аЩ, где )а) и ф) — два когерентных состояния, см. (7.16). (Указание: Используйте то, что )и) = Я(0).) Нелинейные керровские среды. Наиболее важньгй эффект, наблюдаемый в нелинейных средах, состоит в перекрестной фазовой модуляции между двумя различными модами излучения. При классическом описании в (7.19) появляется член пз, который описывает эффективное фотон-фотонное взаимодействие. Промежуточным звеном в этом взаимодействии являются атомы нелинейной среды.
Квантовый гамильтоннал, описывающий эффект Керра, имеет вид 368 Глава 7. Квантовые компьютеры: физическая реализация 1 1 О О 1 — 1 О О О О 1 1 О О 1 — 1 1 О О О О 1 О О 1 О О О 1 ~/2 О О 1 О 1®Н 1 О О О 1 1 О О 1 — 1 О О О О 1 1 О О 1 — 1 О 1 О О 1 О О 1 О ~/2 ΠΠΠ— 1 (7.46) К 18Н где Н вЂ” однокубитовый элемент Адамара (который просто реализуется с использованием светоделнтелей и фазовращателей), а К вЂ” преобразование Керра с ХЬ = т, о котором упоминалось выше. Аналогичное устройство рассматривалось ранее с целью построения обратимого классического логического элемента (см.
вставку 7.4). В однофотонном режиме такое устройство функционирует как квантовый логический элемент. Итак, элемент скот может быть сконструирован с помощью среды Керра и произвольных однокубитовых операций, реализуемых светоделителями и фазовращателями. Одиночные фотоны могут генерироваться лазерами с аттенюаторами и регистрироваться фотодетекторами.
Это значит, что теоретически на основе оптических элементов может быть реализован квантовый компьютер. Упражнение 7.13 (квантовая оптическая схема Дойча — Йожа). В подразд. 1.4.4 была описана квантовая схема, решающая задачу Дойче-Ножа для одного бита. Ниже приведена оптическая версия этой схемы, работающая на однофотонных состояниях (в двойственном представлении) с использованием свегоделителей, фэзовращателей и среды Керра. 1.
Постройте схемы для четырех возможных классических функций Н1, используя элементы Фредкина и светоделители. 7.4. Квантовый компьютер на оптических фотонах 369 2. Почему в этих схемах можно обойтись без фэзовращателей? 3. Для каждой функции У7 покажите, как с помощью интерференции можно объяснить работу квантового алгоритма. Вставка 7.4.
Квантовый оптический элемент Фредкина Оптический элемент Фредкина можно построить с помощью среды Керра и двух светоделителей, как показано на приведенной ниже схеме: Эта схема реализует унитарный оператор У = В в КВ, где  — 50/60 светов Ь~Ьс~с дЕЛИтЕЛЬ, К = Евкь Ь' ' — ОПЕратОр ПЕрЕКрЕСтНОй фаЗОВОй МОдуЛяцнн, ОПИ- сывающий среду Керра, а с = Х7 произведение константы взаимодействия и длины керровской ячейки. После упрощения имеем У = ехр ьСс с (7.47) =е е в$Ь~Ь $свсвавЬ-Ьва) -ввэьвЬ в$авасвс в$ЬСЬсвс е * е е (7.48) Б произведении (7.48) первый и третий сомножители представляют одномодовые фазовые сдвиги, а четвертый и пятый — керровские операторы перекрестной фазовой модуляции. Эти эффекты для нас не интересны и могут быть скомпенсированы.
Наиболее интересен второй сомножитель, который и определяет квантовый элемент'Фредкина, Р(б) = ехр ~-с~с(авЬ вЂ” ЬЬа) ~2 (7.49) Обычный (классический) элемент Фредкина получается при $ = л. Б этом случае мы имеем на выходе а' = а, Ь' = Ь, если на моде с не было фотонов, и а' = Ь, Ь' = а, если на моде с был один фотон. Можно также отметить, что Р(Х) напоминает оператор светоделителя с классическим управлением, причем угол поворота равен $с~с. Обратите внимание, что здесь не используется двойственное представление; в двойственном представлении построенный элемент Фредкина соответствовал бы элементу скот. 24 Кввввв ввввваа 4. Будет ли работать эта оптическая схема, если вместо однофотонных состояний использовать когерентные состояния? 370 Глава 7. Квантовые компьютеры: физическая реализация з'пражнение 7.14 (классическая перекрестная фазовая модуляция).
Чтобы убедиться, что классические свойства среды Керра действительно вытекают из определения оператора К (см. формулу (7.41)), подействуем этим оператором на две моды, одна из которых находится в когерентном состоянии, а другая в состоянии ~п). Покажите, что К~а)~п) = ~ае' ь")~п). Используя полученный результат, проверьте, что (7.50) а =Т [КИР)(Р~МК1 р~эпв — Ф! ~~~ ~ое1х~пь) (ое~х~~э ( т! т (7.51) (7.52) и убедитесь, что главный вклад в сумму дает т = ~Д~. 7.4.3 Недостатки Представление кубита при помощи одиночных фотонов весьма привлекательно. Их сравнительно легко генерировать и детектировать. В двойственном представлении можно реализовать произвольный однокубитовый оператор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
