М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 86

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 86)

Квантовые компьютеры: физическая реализация число кубитов). В действительности в большинстве систем тк и т,„связаны друг с другом, поскольку они определяются силой взаимодействия системы с окружающей средой. Тем не менее, отношение Л = топ)тк может меняться в удивительно широком диапазоне, что видно из рис.

7.1. Рис. 7.1. Грубые оценки времени потери когерентности тк (сек), времени выполнения одной операции ть„(сек) и максимального числа операций пе„= Л = тк/тьп для различных вариантов физической реализации системы взаимодействующих квантовых битов. Несмотря на большое число вариантов, даны только три принципиально различных представления кубита. спин, заряд и фотон. В ионной ловушке используются тонкие или сверхтонкие переходы в удерживаемом атоме (раэд. 7.6), соответствующие перевороту спина электрона или ялра. Оценки для электронов в золоте и баАз. а также для квантовых точек приведены для зарядового представления, при котором квантовая степень свободы описывает наличие-отсутствие дополнительного электрона на электроде или в какой-то ограниченной области.

Для оптических и СВЧ резонаторов кубиты представлены фотонами (с частотой от гигагерц до сотен терагерц) различных мод резонатора. К данным оценкам следует относиться достаточно критически они дают лишь представление о перспективности того или иного метода. Эти оценки позволяют лишь грубо оценить перспективность различных физических подходов к реализации квантового компьютера, поскольку при фактической реализации возникает много новых существенных источников шума и погрешностей. Например, если кубит представлен двумя электронными уровнями атома, и переходы между ними вызываются лазерным импульсом, то с некоторой вероятностью будут происходить переходы на неиспользуемые уровни.

Такие процессы также должны рассматриваться как источник шума. Вообще, все что приводит к потере (квантовой) информации, должно рассматриваться как шум. Теория квантового шума будет более детально обсуждаться в гл. 8. 7.2 Условия для квантового вычисления Вернемся к детальному обсуждению упомянутых в начале предыдущего раздела четырех фундаментальных требований, которым необходимо удовлетворять при проведении квантовых вычислений. Мы должны уметь: 1. адекватно представлять квантовую информацию; 7.2. Условия для квантового вычисления 349 2. выполнять универсальный набор унитарных преобразований; 3. приготавливать начальное состояние; 4. измерять конечный результат.

7.2.1 Представление квантовой информации Квантовые вычисления основаны на преобразовании квантовых состояний. Квантовые биты (кубиты) представляют собой двухуровневые квантовые системы и являются элементарными «кирпичиками» для построения квантового компьютера. Поэтому нам будет удобно представлять при помощи кубитов пары базисных состояний и их физические реализации. Например, четыре состояния частицы со олином 3/2, (т = +3/2), )гп = +1/2), )т = -1/2) и (т = -3/2), могут использоваться для представления двух кубитов. Важно понимать, что для реализации вычислений нам нужно задать лишь конечный набор базисных состояний.

Например, координата х частицы, движущейся вдоль прямой, задает плохой набор базисных состояний для вычислений, даже если предположить, что все состояния ~х) и любые суперпозиции ~', сэ ~х) могут быть реализованы. Причина состоит в том, что х пробегает непрерывный ряд значений, пространство состояний является бесконечномерным, и в отсутствие шума количество информации, которую можно представить таким способом, бесконечно. Например, в идеальном мире все тексты Шекспира могли бы быть зашифрованы бесконечной последовательностью цифр двоичного числа х = 0.010111011001....

Очевидно, что такая ситуация совершенно нереальна,поскольку из-за наличия шума останется лишь конечное число различимых состояний. Для того, чтобы уменьшить степень потери когерентности, желательно, чтобы конечномерность пространства состояний предписывалась какой-либо симметрией.

Например, состояние частицы со олином 1/2 всегда есть линейная комбинация двух базисных векторов ~ 7) и ~ 1). Оно не может выйти за пределы этого двумерного пространства, и, таким образом, если частица хорошо изолирована от окружения, мы имеем почти идеальный квантовый бит.

Если выбор представления квантовой информации сделан неудачно, степень потери когерентностн может стать неприемлемой. Например, во вставке 7.1 объясняется, что частица в прямоугольной яме, глубина которой достаточна для существования двух связанных состояний, была бы неудачным кубитом, поскольку возможны переходы из связанных состояний в состояния непрерывного спектра.

Такие переходы разрушают состояние кубита и, следовательно, приводят к потере когерентности. Для одиночного кубита степень потери когерентности можно оценивать по минимальному времени жизни произвольной суперпозиции состояний. Например, для спинов и атомов можно использовать Тэ — время поперечной релаксации состояний типа (~0) + ~1))/Я. Заметим, что время продольной релаксации Т~ соответствует переходу из возбужденного состояния )1) в основное ~0) и, таким образом, описывает классическое время жизни состояния, которое обычно больше, чем Тэ.

350 Глава 7. Квантовые компьютеры: физическая реализация Вставка 7.1. Прямоугольная потенциальная яма и кубиты Рассматриваемая система обычно называется прямоугольной потенциальной ямой и представляет собой частицу в одномерном ящике, описываемую уравнением Шредингера (2.86). Гамильтониан системы имеет вид Н = рг/2ти+ У(х), где У(х) = 0 при 0 < х < Ь и У(х) = оо в противном случае. Собственные состояния в координатном представлении имеют вид (7.1) где п — целое число, ~ф„($)) = е т~"~~ф„) и Е„= ипяг/2тиГ,г. Гамильтониан, таким образом, имеет дискретный спектр. Предположим, что мы рроводим эксперимент так, что можно ограничиться только двумя низшими энергетическими уровнями. Тогда произвольную волновую функцию можно записать как )ф) = афт) + б~т)тг).

Поскольку ~т/у(г)) с-ъ(еь»е«Нгт(ае-ьит)рт) + бес»ту )) (7.2) где ы = (Ет -Ег)/2, можно рассматривать только амплитуды а и 6, так что наше состояние представляется абситрактинььт«двухкомпонентным векто~а1 ром ~Ф) = . Таким образом, эта двухуровневая система представля~ь~' ет кубит! Какие преобразования мы можем выполнять над таким кубитом? Его эволюция во времени описывается эффективным гамильтонианом Н =?тьтЯ, который может быть «выключен» переходом во вращающуюся систему отсчета. Для того, чтобы выполнять нетривиальные операции с этим кубитом, мы можем добавить к Н возмущение. Посмотрим, что произойдет при добавлении к У(х) возмущения дтг ттх 11 бУ(х) = — Ус(г) — ~ — — -) . 16Ь (,Ь 2) (7.3) Для двухуровневой системы возмущение можно записать при помощи матричных элементов У„,„= (ттт„(бУ(х)ф»т), вычисление которых дает Ум = Угг = О, и Утг = Угт = Уе.

Поэтому в низшем порядке по Ус возмущение имеет вид Нт — — Ус($)Х. Оно генерирует вращения вокруг оси й. Выбирая подходящий потенциал, можно использовать аналогичный подход для выполнения других однокубитовых операций. Итак, мы показали, как представить кубит двумя низшими состояниями в потенциальной яме и как с помощью простых возмущений потенциала реализовать однокубитовые вычислительные операции. Однако учет более высоких порядков теории возмущений, а также того обстоятельства, что реальные ямы имеют конечную глубину, приводит к тому, что начинают 7.2. Условия для квантового вычисления 351 играть роль более высокие энергетические уровни, и наше двухуровневое приближение перестает работать. Кроме того, в реальной жизни устройство, которое управляет потенциалом, также является квантовой системой.

Взаимодействие этого устройства с системой, выполняющей вычисления, приводит к потере когеревтности. 7.2.2 Реализация унитарных операторов Эволюция замкнутой квантовой системы является унитарной и полностью определяется ее гамильтонианом. Однако, чтобы выполнять квантовые вычисления, нужно иметь возможность реализовать произвольный унитарный оператор из некоторого универсального набора (равд. 4.5).

Например, манипулируя параметрами Р и Рю в гамильтониане Н = Р,(Ф)Х+ Р„(г)У, описывающем динамику отдельного спина, можно реализовать произвольные вращения этого спина (упр. 4.10). В соответствии с теоремами равд. 4.5 произвольный унитарный оператор может быть представлен композицией спиновых вращений и операций скот. Таким образом, естественно стремиться к экспериментальной реализации этих двух квантовых логических операций. При этом, однако, неявно подразумевается, что мы умеем отличать кубиты друг от друга, и в частности, применять все вышеупомянутые операции к любому выбранному кубиту или паре кубитов. Это может быть не простой задачей для многих физических систем. Например; в случае ионов в ловушке можно возбудить лазерным лучом только один выбранный ион при условии, что расстояние между ионами не меньше длины волны лазера.

Случайные погрешности при реализации унитарных операторов могут привести к потере когерентности. В гл. 8 мы увидим, что суммарный эффект случайных скачков фазы (малых вращений спина вокруг оси й) приводит к потере квантовой информации, представленной относительными фазами. Аналогично, суммарный эффект систематических погрешностей приводит к потере когерентности, если теряется информация, необходимая для их компенсации.

Характеристики

Список файлов книги