М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Определяя операторы а и ат в соответствии с (7.6)-(7,7) и используя то, что [Н, ат) = 5стат, находим 23 где р — импульс частицы, т — масса, х — координата и ст — параметр потенциа- ла. Напомним, что х и р являются операторами в этом выражении (вставка 7.2), которое можно записать в виде 356 Глава 7. Квантовые компьютеры: физическая реализация и 4 п=З п=2 п=1 Эти функции описывают амплитуду вероятности того, что частица будет обнаружена в той или иной точке в области действия потенциала.
Это значит, что а1~ф) является собственным состоянием гамильтоннана Н с энергией Е + Ьз. Аналогично а~ф) является собственным состоянием с энергией Š— йы. По этой причине а1 и а называются повышающим и понижающим операторами. Состояние (а1)" рГ) соответствует собственному значению Е + ийы. Таким образом, имеется бесконечно много собственных состояний с эквцдистантным энергетическим спектром и расстоянием между уровнями йм. Кроме того, поскольку Н вЂ” положительно определенный оператор, должно существовать состояние ~фс), для которого а)вп) = О. Это основное состояние, соответствующее наименьшему собственному значению Н. Введенный формализм адекватно описывает основные свойства квантового гармонического асциллятора и позволяет использовать удобное обозначение ~и) для собственных состояний.
При этом и — целое число и Н~и) = а(и+ 1/2))и). В этой главе обозначения ~и), а и а1 будут встречаться довольно часто, так как гармонический осциллятор является моделью многих физических систем. а1а)и) = и)и), а')и) = /и+1) +Ц, а)и) = ~/и!и — 1), (7.10) (7.11) (7.12) Энергия нулевых колебаний 6м/2 приводит к появлению ненаблюдаемого общего фазового множителя, которым мы можем пренебречь. Собственные состояния ~и) гамильтониана Н имеют следующие свойства: 7.3. Гармонический осциллятор как модель квантового компьютера 357 где и = 0,1,..., со. Ниже мы увидим, что взаимодействие с гармоническим осциллятором удобно описывать, добавляя к гамильтониану слагаемые, содержащие а и а1, а взаимодействие между двумя осцилляторами — при помощи слагаемых вида а,аз+ аэаь В этом разделе, однако, мы ограничимся случаем одного осциллятора.
Упражнейие Т.1. Используя коммутатор (х,р] = И, покажите, что а1а = Н!й 2' Упражнение 7.2. Используя коммутатор (х, р] = 15, найдите (а, а1]. Упражнение 7.3. Найдите коммутатор [Н, а]. Используя полученный результат, покажите, что если (15) — собственное состояние Н с энергией Е > пйы, то а" ]4) — собственное состояние с энергией Š— пбю. (а1)» Упражнение 7.4. Покажите, что (и) = (О).
~/Р Упражнение Т.5. Проверьте, что выражения (7.11) и (7.12) согласуются с формулой (7.10) и условием нормировки (п]п) = 1. Собственные состояния эволюционируют во времени согласно уравнению Шредингера (2.86). В частности, если начальное состояние (ф(0)) = 2 ,'„с„(п), 7.3.3 Квантовые вычисления Попробуем использовать простой гармонический осциллятор, описанный выше, для квантовых вычислений. Кубнты наиболее естественно представляются энергетическими собственными состояниями ]и). Как прн таком представлении реализовать операцию Окот? Напомним, что действие этой операции на двухкубитовые базисные состояния имеет вид (00>, (00), (01)ь — ~(01)ь (10)ь — ]11)ь (11)ь — (10)ь, (7.14) Здесь индекс Ь указывает на то, что речь идет о логических состояниях, а не о состояниях осциллятора.
Мы можем закодироеагпь эти два кубита следующим образом: (00)ь = (О) (01)» = (2) (10)ь = ((4>+(1))!Л (11) ь = ((4) — (1))/Л (7.15) (Ф(1)) = е *~'?"(ф(0)) = ~с»е '""'(и). (7.13) Мы будем предполагать, что можно точно приготовить произвольное начальное состояние осциллятора, выполнять проективные измерения (подрэзд. 2 2.3), но взаимодействие осциллятора с окружающей средой отсутствует. 358 Глава 7. Квантовые компьютеры: физическая реализация Предположим, в момент г = 0 состояние системы является линейной комбинацией векторов (0), (1), (2), )4). Допустим, что система эволюционирует в течение времени г = я/йы.
При этом собственные состояния преобразуются по закону /и) -+ ехр( — мгаГа)/и) = ( — 1)"!и), поэтому состояния /О), /2), /4) остаются неизменными, а состояние ~1) меняет знак. В результате для логических состояний получается искомое преобразование сггот. В общем случае необходимым и достаточным условием того, что с помощью данной физической системы можно реализовать унитарный оператор У, является приближенное равенство собственных значений оператора У и оператора эволюции Т = ехр ( — гН$), определяемого гамильтонианом Н.
В рассмотренном выше случае оператор скот имел только два собственных значения +1 и — 1. Нам удалось выбрать кодировку, при которой оператор эволюции осциллятора имеет такие же собственные значения. Можно реализовать практически любой спектр собственных значений, если добавить к гамильтониану гармонического осциллятора подходящее возмущение. Кроме того, используя достаточно мнг» го базисных состояний осциллятора, можно закодировать произвольное число кубитов. Таким образом, может показаться, что квантовый компьютер реализуется при помощи простого гармонического осциллятора! Т.З.4 Недостатки Конечно, метод, предложенный выше, имеет много недостатков.
Спектр собственных значений унитарного оператора, выполняющего данное квантовое вычисление, нам, вообще говоря, неизвестен, даже если мы знаем как представить этот оператор композицией элементарных операций. В действительности для большинства задач, имеющих квантовые алгоритмы решения, знание спектра собственных значений равносильно знанию ответа задачи! Очевидно также, что описанный подход нельзя применить, чтобы выполнить два вычисления одно за другим, так как собственные значения композиции двух унитарных операторов не выражаются через собственные значения каждого из них, Другой очевидный недостаток идеи использования гармонического осциллятора для квантовых вычислений состоит в том, что при этом не применяется принцип цифрового представления информации.
При отображении 2" мерного пространства в пространство состояний гармонического осциллятора нам придется использовать состояния с энергией 2" Во. Заметим, что при использовании и двухуровневых квантовых систем максимальная энергия была бы яйся. Подобным образом, в классическом случае можно использовать либо шкалу с 2" делениями, либо регистр из и классических битов. Квантовые вычисления основаны на цифровом представлении информации, а не на аналоговом. Основные черты квантового компъютера, реализованного на основе гармонического осциллятора, приводятся ниже (подобное резюме мы будем делать для каждой рассматриваемой системы в конце соответствующего раздела). На этом мы заканчиваем рассмотрение отдельных осцилляторов и переходим к следующей теме в системам гармонических осцилляторов, состоящих из фотонов и атомов.
7.4. Квантовый компьютер на оптических фотонах 359 Гармонический осциллятор как модель квантового компьютера ° Представление кубита. Состояния с определенной энергией )О), )1),..., (2") одиночного гармонического осциллятора задают н кубитов. ° "Унитарная эволюция. Для реализации унитарного оператора У необходимо сопоставить каждому собственному значению оператора У собственное значение оператора эволюции ехр ( — Иа1а). ° Приготовление начального состояния.
Не рассматривалось. ° Измерение конечного результата. Не рассматривалось. ° Недостатки. Не цифровое представление информации. Кроме того, сопоставление собственных значений произвольного оператора У неосуществимо, поскольку в общем случае они неизвестны. 7.4 Квантовый компьютер на оптических фотонах Привлекательной физической системой для представления квантового бита является оптический фотон.
Фотоны являются нейтральными частицами, достаточно слабо взаимодействующими друг с другом н с материей. Их можно практически без потерь переносить на большие расстояния по оптическому волокну, задерживать при помощи фззовращателей и создавать суперпозиции их состояний при помощи светоделителей.
Фотоны демонстрируют основополагающие квантовые явления, например интерференцию на двух щелях. Кроме того, в нелинейных средах может иметь место фотон-фотонное взаимодействие,-которое возникает благодаря нелинейному взаимодействию фотонов с веществом. Хотя схема с использованием фотонов и неидеальна, изучение этой модели квантового компьютера, ее деталей, архитектуры н недостатков является поучительным. 7.4.1 Физическая аппаратура Мы начнем с рассмотрения одиночных фотонов, обсудим, как с их помощью представлять квантовую информацию, и опишем экспериментальную аппаратуру для управления фотонами, в частности фэзовращатели, светоделители и керровские среды.
Как можно представить кубиты, используя фотоны? При обсуждении гармонического осцнллятора мы уже упоминали, что энергия электромагнитного поля в резонаторе квантуется в единицах лы. Каждый такой квант энергии называется фотоном. Естественно, резонатор может находиться в суперпозиции состояния с одним фотоном и основного состояния, что дает нам представление 360 Глава 7. Квантовые компьютеры: физическая реализация кубита со~0) + с1)1). Однако, мы будем иметь в виду нечто иное. Рассмотрим систему из двух резонаторов, в которой имеется двукратно вырожденная фотонная мода с частотой йы. Два базисных состояния кубита соответствуют одному фотону, находящемуся в Первом резонаторе (~01)), и одному фотону, находящемуся во втором резонаторе (~10)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
