М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 91
Текст из файла (страница 91)
К сожалению, обеспечить взаимодействие между фотонами гораздо труднее— в самых лучших керровских средах взаимодействие слишком слабое, чтобы получить перекрестную фазовую модуляцию порядка я. между однофотонными состояниями. Кроме того, поскольку нелинейность как правило имеет место вблизи оптического резонанса, эффект Керра неизбежно будет сопровождаться поглощением света. Теоретические оценки показывают, что на один прошедший сквозь среду фотон (т. е. подвергшийся перекрестной фэзовой модуляции) приходится примерно 50 поглощенных фотонов. Это означает что в рамках современной нелинейной оптики построение квантового компьютера имеет очень мало шансов на успех. Тем не менее, обсуждение оптического квантового компьютера дало нам представление об его артитпекшуре и системном устройстве.
Теперь мы знаем, как мог бы выглядеть реальный лабораторный квантовый компьютер (конечно при условии, что в нашем распоряжении есть компоненты, отвечающие всем требованиям). Замечательно также, что его почти полностью можно построить из оптических интерферометров. Квантовая информация хранится в фазе и в числе заполнения фотонной моды, причем интерферометры позволяют переходить от одного представления к другому. Хотя построение стабильных оптических интерферометров вполне возможно, при использовании в качестве представления кубита массивной частицы это сразу станет очень сложной задачей из-за малости длины волны де Бройля.
В то же время даже при оптическом представлении кубита для реализации квантовых алгоритмов потребуются оптические схемы, состоящие из большого числа интерферометров, для стабилизации которых нужно приложить много усилий. 7.5. Квантовая электродинамика в оптических резонаторах 371 Исторически оптические хлассичесхие компьютеры сначала задумывались как многообещающая замена для электронных устройств. Однако, связанные с ними надежды в конце концов угасли, поскольку не удалось получить материалы с высокой степенью нелинейности, а также потому, что сложности с юстировкой и энергозатраты не компенсировались преимуществами в скорости и возможностью параллельных вычислений. С другой стороны, оптическая передача информации чрезвычайно важная область, например, по той причине, что энергия, необходимая для передачи бита информации на расстояние больше одного сантиметра по оптическому волокну, меньше, чем энергия, расходуемая при передаче информации по проводам.
Может оказаться, что оптические кубиты найдут применение для передачи квантовой информации, например в квантовой криптографии, а не в квантовых вычислениях. Несмотря на недостатки оптической реализации квантового компьютера, формальнал теория, описывшощая ее, является фундаментом для всех остальных реализаций рассматриваемых далее в этой главе.
В следующем разделе мы обсудим несколько иной вариант оптического квантового компьютера, в котором используется другая (лучшая!) нелинейная среда. Квантовый компьютер на оптических фотонах ° Представление кубита. Один фотон, который может находиться на двух модах )01) и ~10) (или с двумя поляризациями). ° Унитарная эволюция. Произвольный оператор можно реализовать с помощью фазовращателей (вращения В,), свегоделителей (вращения Яэ) и нелинейной среды Керра, в которой имеет место перекрестная фазовая модуляция (оператор вида ехр [1ХЦ11) (11~]). ° Приготовление начапьного состояния. Генерация однофотонных состояний (например, путем ослабления лазерного излучения).
° Измерение конечного результата. Детектирование одиночных фотонов (например, в фотоумножителе). ° Недостатки. Трудно реализовать нелинейную среду Керра с большой константой перекрестной фазовой модуляции и с малым коэффициентом поглощения. 7.5 Квантовая электродинамика в оптических резонаторах В хеанхюеоп элеатродинамихе резонаторов (КЭДР) рассматривается задача о взаимодействии отдельных атомов с небольшим числом оптических фотонных мод. Такое взаимодействие становится возможным, когда отдельные атомы помещаются в оптический резонатор с большой добротностью Я. Если в резонаторе имеется всего одна или две оптические моды, а напряженность 372 Глава 7.
Квантовые компьютеры: физическая реализация электрического поля достаточно велика, то становится существенным взаимодействие этих мод с дипольным моментом атома. При больших Я возможны процессы, в которых фотон успевает много раз вступить во взаимодействие с атомом прежде чем покинуть резонатор. Подобная экспериментальная техника замечательна тем, что позволяет изучать отдельные квантовые системы и манипулировать ими. Она также предоставляет много возможностей для теории квантового хаоса, квантовой обратной связи и квантовых вычислений.
В частности, использование техники КЭДР позволяет преодолеть основное препятствие к реализации онтического квантового компьютера, о котором шла речь в предыдущем разделе. Проблема была в том, что хотя оптические фотоны являются отличными носителями квантовой информации, взаимодействовать друг с другом онн могут только в веществе. В обычных ячейках Керра вещество заполняет макроскопический объем и эффекты поглощения света играют доминирующую роль.
В случае одиночных атомов этот недостаток отсутствует, хотя одиночные атомы также приводят к перекрестной фазовой модуляции фотонных мод. Можно попытаться также использовать одиночные фотоны, чтобы переносить квантовое состояние с одного атома на другой. Рассмотрение этого метода и является целью настоящего раздела. 7.5.1 Физическая аппаратура Экспериментальная установка для КЭДР включает два компонента: электромагнитный резонатор и атом. Мы начнем с описания элементарной физики резонаторов, а затем приведем некоторые факты о строении атомов и о взаимодействии атомов с фотонами.
Резонатор Фаери — Перо Наиболее важным взаимодействием в КЭДР является дипольное взаимодействие Й Е между электрическим дипольным моментом 5 и электрическим полем Е. Насколько сильным может быть это взаимодействие? Дипольный момент И фиксирован и менять его мы не можем; однако величина ~Е~ зависит от постановки эксперимента.
Если мы хотим получить большую напряженность поля в узком спектральном диапазоне и в маленьком участке пространства, удобно использовать резонатор Фабри-Перо. Вставка 7.5. Резонатор Фабри-Перо Основной частью резонатора Фабри-Перо является частично посеребренное зеркало, на котором происходят процессы отражения и прохождения падающих лучей Е„и Еы В результате на выходе получаются лучи Е„и Еь . Эти процессы описываются унитарным преобразованием (7.53) 7.5.
Квантовая электродинамика в оптических резонаторах 373 где  — коэффициент отражения зеркала. Выбор позиции для знака минус является неоднозначным и был сделан из соображений удобства. Резона- тор Фабри-Перо состоит из двух параллельных зеркал с коэффициентами отражения В1 и Вэ, на которые падает луч Е, (см. рисунок). Йг Еех Еь Е,„„ Еь Еегр Внутри резонатора луч испытывает последовательные отражения между двумя зеркалами, приобретая дополнительную фазу егв в результате каждого полного цикла влеред-назад.
Фаза у является функцией длины пути и частоты света. Таким образом, используя формулу (7,53), можно записать поле внутри резонатора в виде /1 - ВЕ,„ Ер — — ~~ Еь = (7.54) где Ес = Л вЂ” Й1Е,, Еь = — е'Р~/ВдЯЕь ы Аналогично вычисляются поля Е,~ = е р7~ъ/Т вЂ” ВэЕр, и Е р — — с/К~Е,„+,/1 -К~с/КегрЕр, . Наиболее важной для нас характеристикой резонатора Фабри-Перо является зависимость плотности энергии внутри резонатора от плотности энергии во входном излучении и от частоты света: з Р, ~ Ер„1 — В1 Р,„~ Е,„(1+ е'ръ/Й~К~з (7.55) Следует отметить два момента.
Во-первых, зависимость от ~р проявляегся в частотной избирательности резонатора, поскольку 1р = шН/с, где И— расстояние между зеркалами, с — скорость света, а ы — частота света. Физически избирательность является следствием интерференции поля внутри резонатора и поля, отраженного от переднего зеркала. Во-вторых, при резонансной частоте, когда амплитуда поля внутри резонатора максимальна, отношение (7.55) оказывается приблизительно равным 1/(1 — В).
Это свойство очень ценно с точки зрения применений в КЭДР. Используя приближение, в котором электрическое поле содержит только одну гармонику, мы можем записать оператор напряженности электрического поля в виде 374 Глава 7. Квантовые компьютеры: физическая реализация Е(т) = — Л'о [аегьт — а"е '~"1, (7.56) где к = ы/с — волновое число, Ее — напряженность поля, е — поляризация, т— пространственная координата, а~ и а — фотонные операторы рождения и уничтожения, рассмотренные в подразд. 7.4.2. Во вставке 7.5 доказывается что это приближение адекватно описывает поле в резонаторе Фабри-Перо. Гамильтониан, описывающий динамику поля в резонаторе, имеет вид Н„„= 6ыа а, (7.57) что вполне согласуется с классической формулой, согласно которой энергия есть интеграл от ~Е~~ по обьему.
Упражнение 7.15. Нарисуйте график отношения (7.55) как функции фазы ~р для В1 = Яг = 0,9. Двухуровневый атом (7.58) йы = Ег — Еы где Е1 и Ег — два уровня энергии атома. Условия сохранения углового момента и четности можно проиллюстрировать, рассмотрев матричный элемент т между двумя орбитальными волновыми функциями, Д, тп1ЯЬ, тг). Вез потери общности можно считать, что т лежит в плоскости х — у. Тогда вектор 6 можно разложить по сферическим гармоникам (вставка 7.6): Гз т = ~( — ((-т + гтг)Уд,+1+ (те + гтг)У~ Ч 8я (7.59) В этом базисе матричный элемент ((ытп1~фютпг) сводится к интегралу от сферических гармоник: у~*,тп~~т ~'ь~п, «П) (7.60) До сих пор в этой главе речь шла или о свободных фотонах, или о фотон- фотонных взаимодействиях типа перекрестной фэзовой модуляции, которые возникали при распространении фотонов в квэзиклассической среде.
Сейчас мы приступим к рассмотрению атомов, их электронной структуры и взаимодействия с фотонами. Разумеется, это чрезвычайно обширная тема и мы опишем лишь ту ее часть, которая важна для квантовых вычислений. Электронные состояния и спектры атомов могут быть очень сложными (вставка 7.6), однако для наших целей достаточно использовать приближение, в котором атом имеет только два электронных состояния. Такое приближение двухуровневого атома оказывается приемлемым, поскольку мы имеем дело с монохроматическим излучением. В этом случае существенными являются лишь уровни, удовлетворяющие двум условиям: разность их энергий равна энергии падающего фотона и симметрия (правила отбора) не запрещает переход между уровнями.
Эти ограничения связаны с законами сохранения энергии, углового момента и четности. Сохранение энергии выражается урав- нением 7.5. Квантовая электродинамика в оптических резонаторах 376 где гп = ~1. Данный интеграл отличен от нуля только при шэ — та~ = л1 и Ж = ~1. Первое условие выражает сохранение углового момента, а второе— сохранение четности (оно имеет такой вид лишь в дипольном приближении, где существенны матричные элементы (1п т~ ~г~1ю тз)). Эти два условия задают правила отбора, которые должны приниматься во внимание в модели двухуровневого атома. Упражнение 7,16 (правила отбора в днпольном приближении).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
