М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Далее, представление о том, что параметры гамильтониана, которыми мы манипулируем, соответствуют классическим степеням свободы, является лишь приближенным. В действительности управляющая система также является квантовой, и точный гамильтониан должен включать в себя обратное действие квантового компьютера на управляюшую систему. Например, для рассмотренного выше одиночного спина управляющая система — это электромагнитное поле.
Таким образом классически управляемый параметр Р ($) должен быть заменен на оператор квантового поля фотонов (если использовать гамильтониан Джейнса-Каммингса, описывающий атом-фотонное взаимодействие, то Р Я = ~ьиь(Ф)(аь + аь), см. подразд. 7.5.2). После взаимодействия с кубитом фотон может унести с собой информацию о его состоянии, что является источником потери когерентности. 352 Глава 7. Квантовые компьютеры: физическая реализация Требования к качеству реализации унитарных операторов задаются двумя параметрами: минимальной допустимой степенью совпадения У' (гл.
9) н максимальным допустимым временем ~,„, необходимым для выполнения элементарной операции, например спинового вращения или операции схОт. 7.2.3 Приготовление начального состояния Одним из важнейших условий проведения любого вычисления (как квантового так и классического) является возможность приготовить желаемое начальное состояние. Даже если устройство выполняет вычисления абсолютно точно, от его работы будет мало пользы, если мы не можем контролировать начальные условия. В случае классических компьютеров задание определенного начального состояния обычно не вызывает сложностей, поскольку оно представляет собой просто определенную конфигурацию электрических контактов. Однако, в квантовом случае это может стать весьма трудной задачей.
Заметим, что достаточно уметь с большой точностью приготавливать какое- либо одно начальное состояние, поскольку любое другое получается из него при помощи унитарного оператора. Например в случае п спинов нас вполне устроит начальное состояние (00... О). Может оказаться, что время жизни этого состояния не достаточно велико, но это уже другой вопрос, связанный с выбором представления квантовой информации. Для большинства физических систем приготовление начального состояния представляет собой большую проблему.
Например, ионы в ловушке могли бы быть приведены в основное состояние путем охлаждения (рэзд. 7.6), но практически осуществить это сложно. Для физических систем, реализующих ансамбли квантовых компьютеров, возникают дополнительные неприятности. Например, в случае ЯМР-реализации (равд. 7.7), каждая из молекул должна рассматриваться как отдельный квантовый компьютер. Чтобы получить сиг:- нал, который можно измерить, требуется достаточно много молекул.
Нужно, чтобы кубиты в каждой из молекул были приготовлены в одном и том же состоянии. Это непросто, поскольку энергии состояний ~0) и ~1) различаются на Лы, что много меньше, чем 1гвТ. С другой стороны, после того как установится термодинамнческое равновесие состояние системы будет больцмановским с матрицей плотности р — е н7ьвт/:о, где Я вЂ” нормировочный множитель, определяемый из условия Фг(р)=1. Качество приготовленного начального состояния характеризуется степенью совпадения У между требуемым начальным состоянием р и фактически приготовленным состоянием, а также энтропией состояния р.
Роль энтропии становится понятной на примере состояния р = 1/2". Даже если мы умеем приготавливать состояние р с большой степенью совпадения, его вычислительная ценность невелика, поскольку оно не меняется при действии унитарных операторов! В идеальном случае начальное состояние является чистым и энтропия равна нулю.
Если входное состояние имеет ненулевую энтропию, процедура извлечения ответа нз конечного состояния вообще говоря усложнится. 7.2. Условия для квантового вычисления 353 7.2.4 Измерение конечного результата Какие измерения понадобятся нам для квантовых вычислений? Удобно рассматривать измерение как процесс взаимодействия одного или более кубитов с классической системой. Это взаимодействие происходит на некотором интервале вреыени, по истечении которого состояние классической системы указывает нам на результат измерения. Например, измерение состояния кубита а)0) + 6~1), представленного основным и возбужденным состояниями двухуровневого ато-, ма, могло бы быть реализовано наблюдением флюоресценции. Если на выходе фотоумножителя регистрируется сигнал, значит флнюресценция имела место, и при измерении кубит был спроецирован на состояние ~1).
Вероятность такого исхода равна ~6~~. В противном случае никакого сигнала не регистрируется, а кубит проецируется на состояние ~0). Для квантовых вычислений важен процесс редукции волновой функции, происходящий при проективном измерении (подразд. 2,2.5). Хороший квантовый алгоритм дает на выходе суперпознцию состояний, которая позволяет при измерениях с большой вероятностью получить интересующий нас ответ. Например, в алгоритме Шора разложения на простые множители на каждом шаге требуется найти целое число г, исходя из того, что результат измерения является целым числом вида дс/г, где д — размерность пространства состояний. Хотя на выходе мы имеем суперпозицию состояний, в которой все возможные с представлены приблизительно с равными амплитудами, в процессе измерения эта суперпозиция случайным образом редуцируется к какому-то конкретному с.
В результате мы можем с большой вероятностью определить т ( используя цепные дроби, как обьяснялось в гл. 5). Можно представить себе множество трудностей, связанных с реализацией измерений; например, в схеме, описанной выше, несовершенство фотоумножителей и тепловой шум в усилителе могут исказить информацию об измеренном состоянии кубита. Кроме того, как правило, очень трудно осуществить проективные измерения (иногда называемые «сильными» измерениями), поскольку для этого требуется сильное и регулируемое взаимодействие мещду квантовой и классической системами.
Измерения также не должны выполняться тогда, когда это не требуется; в противном случае они будут источником потери когерентности. Удивительно, однако, что сильные измерения не являются необходимыми; для квантовых вычислений могут быть полезны и слабые измерения, выполняемые непрерывно на протяжении вычисления. Их можно использовать, если время взаимодействия с измерительным устройством велико по сравнению с временем вычисления и если используются большие ансамбли квантовых компьютеров. Суммарный сигнал, полученный от такого ансамбля, является макроскопически наблюдаемой величиной и несет информацию о квантовом состоянии.
Заметим, что использование ансамблей порождает новые трудности. Например, если в алгоритме разложения на множители результатом измерения будет число д(с)/г, где (с) — среднее значение с, этот алгоритм станет непригодным, поскольку (с) не должно быть целым (и значит разложение в цепные 23 квааы 354 Глава 7. Квантовые компьютеры: физическая реализация дроби невозможно).
К счастью, можно видоизменить квантовый алгоритм так, что он станет работать при измерениях с ансамблями. Мы обсудим этот вопрос в равд. 7.7. О качестве измерения можно судить по отношению сигнала к шуму. Оно дает представление о характерной амплитуде сигнала, определяемой силой взаимодействия измерительного устройства с квантовой системой. 7.3 Гармонический осциллятор как модель квантового компьютера Перед тем как продолжить описание физической модели реализуемого квантового компьютера, мы сделаем небольшое отступление, в котором рассмотрим чрезвычайно простую систему — гармонический осциллятор — и обсудим причины, по которым эта система не может быть хорошей моделью квантового компьютера.
Формализм, развитый в этом примере, послужит основой для изучения других физических систем. 7.3.1 Физическая аппаратура Примером простого гармонического осциллятора является частица в параболической потенциальной яме Ъ"(х) = пи,Рхз/2. В классической механике это может быть груз на пружине, совершающий колебания по мере того как потенциальная энергия пружины переходит в кинетическую энергию груза и обратно.
Это также может быть электрический колебательный контур, в котором энергия распределена между емкостью и индуктивностью. В этих примерах полная энергия системы может принимать непрерывный ряд значений. В квантовой механике, которая начинает работать, когда связь системы с внешним миром очень мала, полная энергия системы может принимать дискретный набор значений. Например полная энергия одной моды электромагнитного поля в резонаторе с большой добротностью Я кратна (с точностью до постоянного сдвига) величине Йо, определяемой фундаментальной постоянной л и частотой моды ы.
Для простого гармонического осциллятора собственные состояния с определенной энергией будут обозначаться как ~п), где п = О, 1,..., оо. Для квантовых вычислений мы должны выбрать конечное подмнодгество этих состояний, представляющее кубиты. Время жизни кубитов будет определяться физическими параметрами, например добротностью рнюнатора Я, которая может быть сделана очень большой увеличением коэффициента отражения стенок. Чтобы применить унитарный оператор, нужно дать системе эволюционировать в течение некоторого времени при определенных условиях. Однако, как станет ясно ниже, эта схема имеет недостатки.
Мы начнем с описания гамильтониана системы, а затем обсудим, как можно реализовать простые квантовые логические операции, например скот. 7.3. Гармонический осциллятор как модель квантового компьютера 355 7.3.2 Гамильтоннан Гамильтониан частицы в одномерном параболическом потенциале имеет вид Н = — + -таст х, Р 1 2 2 2ти 2 (7.4) Н= 5 эта+в (7.5) где ат и а — повышающий и понижающий операторы, определенные как 1 а = (тпстх+ тр), ~/2тМ ат = (тттстх — тр) .
Лтлбьт (7.6) (7.7) Вставка 7.2. Квантовый гармонический осциллятор Гармонический осциллятор является чрезвычайно важным и полезным по- нятием при квантовом описании физической картины мира. Для понима- ния его свойств полезно определить собственные состояния гамильтонич ана (7.4). Их можно найти непосредственным решением уравнения Шре- дингера — + -тлю х Ф„(х) = Е4„(х) тт т~п(х) 1 2 2 2пт Их 2 2 (7.8) относительно координатных волновых функций ттт„(х) и собственных значений Е, с граничными условиями ттт(х) — ~ 0 при х = хоо и нормировкой ) [ттт(х)[~ = 1. Пять первых решений уравнения Шредингера графически изображены ниже. Хотя подобные графики дают интуитивное представление о поведении системы в координатном пространстве, чаще всего нас будут интересовать абстрактные алгебраические свойства состояний, А именно, предположим, что [ф) удовлетворяет (7.8) с энергией Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
