М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Состояние кубита, таким образом, представляется в виде сс)01) + с1 )10). Мы будем называть такое представление деойсглеенньим. Для наглядности будем рассматривать одиночные фотоны как волновые пакеты, движущиеся в свободном пространстве, а не в резонаторе; можно представить себе, что резонатор движется вместе с волновым пакетом. Роль резонаторов сводится к формированию двух различных пространственных мод. Один из экспериментальных способов генерации одиночных фотонов состоит в ослаблении излучения, испускаемого лазером.
Лазер излучает так называемое когерентное состояние ~а), определенное как (7.16) где ~п) — состояние, в котором резонансная мода заселена п фотонами. Когерентное состояние достаточно хорошо изучено в квантовой оптике и обладает многими замечательными свойствами. Их описание, однако, вмходит за рамки данной книги. Достаточно упомянуть, что когерентные состояния возникают естественным образом при описании излучения системы осцилляторов в случае, когда инверсия превышает порог генерации. Заметим, что средняя энергия равна (а)п(а) = (а)~, В результате ослабления когеревтное состояние переходит в когерентное состояние с меньшим а, что позволяет с большой вероятностью получить однофотонное состояние. Упражнение 7.6 (собственные состояния понижающего оператора).
Докажите, что когерентное состояние является собственным состоянием понижающего оператора, т. е., что а)а) = Л)а) для некоторой Л. Например, при а= /0,1 имеем состояние ~/0,90 )О) + ~,4,09 (1) + ~/0002 ~2) + . Таким образом, на выходе аттенюатора одиночный фотон будет получен с вероятностью больше 95%, а вероятность ошибки составит бала.
Заметим также, что в 90Уа случаев через аттенюатор не пройдет ни один фотон. Это значит, что полученный источник имеет интенсивность всего 0,1 фотона за единицу времени. Кроме того, мы не можем определить (по какому-то классическому сигналу), когда фотон был испущен, а когда нет. Поэтому нельзя синхронизировать два таких источника. Лучшей синхронизации можно достичь, используя технику параметрического понижения частоты. Для этого фотоны с частотой мс пропускаются через нелинейную оптическую среду типа КНзРО4, что приводит к генерации фотонных пар на резонансных частотах ы1 + ыэ = мс с сохранением импульса )с1 + кз = (сз.
Если детектор зарегистрировал (с разрушением состояния) одиночный фотон ыз, то мы узнаем о существовании одиночного фотона м1 (рис. 7.2). Установив на выходе дополнительный селектор, открывающийся 7.4. Квантовый компьютер на оптических фотонах 361 лишь в том случае, когда детектор зарегистрировал один фотон (а не два или более), мы получим источник одиночных фотонов. Можно синхронизировать во времени несколько таких источников, подбирая правильную задержку во времени для каждой моды. Точность синхронизации определяется разрешающей способностью детектора и селектора. Существует довольно много способов детектирования одиночных фотонов в широком спектральном диапазоне с большой квантовой эффективностью. Для нас наиболее важна способность детектора с большой вероятностью правильно определить, имеется ли на данной пространственной моде нуль фотонов или один фотон.
При использовании двойственного представления это эквивалентно проективным измерениям в вычислительном базисе. На практике несовершенство детектора уменьшает вероятность правильной регистрации одиночного фотона. Вероятность того, что одиночный фотон, падающий на детектор, создаст пару носителей зарядов (фотопару), которая даст вклад в фототок, называется кеантиоеой э4йсбеврпивностью и обозначается как и (О < и < 1).
Детектор также характеризуется своей полосой пропускання (временем отклика), уровнем шума и етемновым» током, обусловленным генерацией фотопар даже при отсутствии падающих на него фотонов, Рис. 7.2. Схема генерации одиночных фотонов методом параметрического понижения частоты Экспериментальная техника для управления состояниями фотонов включает три важных компонента: зеркала, фазовращатели и светоделители. Зеркала с большим коэффициентом отражения отражают фотоны и изменяют направление распространения фотона в пространстве. Зеркало, в котором теряется менее 0,01% фотонов, является вполне обычным прибором. Фазовращатель представляет собой просто прозрачную пластинку, показатель преломления и которой отличается от показателя преломления вакуума г1е. Например, показатель преломления обычного боро-силикатного стекла в оптическом диапазоне и ш 1,бпе.
При прохождении фотона через пластинку толщины Ь его фаза изменяется на еень, где гс = гцн/сэ и се — скорость света в вакууме. Таким образом, фотон, прошедший через пластинку, приобретет фазу ед" пе1ь гоп по сравнению с фотоном, прошедшим то же расстояние в вакууме. Светоделитель представляет собой частично посеребренное стекло с коэффициентом отражении В и коэффициентом пропускания 1 — В. Экспериментально светоделитель обычно изготавливается в виде сандвича из двух призм и тонкого металлического слоя между ними, как показано на рис. 7.3. Удобно описывать светоделитель при помощи угла О, определенного как соэ(д) = В (подчеркнем, что этот угол характеризует степень отражения и 362 Глава 7. Квантовые компьютеры: физическая реализация может не иметь ничего общего с геометрией светоделителя).
Два входа и два выхода светоделнтеля связаны соотношениями (7.17) (7.18) а,1,„= а,„совд+ Ь,хюпд, Ьемх — — аах з1п д + Ьвх соз д, где под а и Ь понимаются классические амплитуды электромагнитного поля двух лучей. Здесь мы использовали нестандартный выбор фэз, который, одна- ко, более удобен для наших целей. В специальном случае 50/50 светоделителя мы имеем д = 45'.
Рис. ТЗ. Схематическое изображение оптического сеетоделителя Показаны два входных и выходных канала, а также проиллюстрировано соглашение о выборе фаз для бс/00 светоделителя (Р = 4бе) Два изображенных светоделителя являются взаимно обратными (графически они различаются при помощи точки внутри квадрата) Соотношения мвкду операторами двух мод о и Ь на входе и на выходе приведены для случая Р = л/4 Как известно из нелинейной оптики, показатель преломления и некоторых веществ зависит от полной интенсивности излучения 1 по закону (7.19) 7.4.2 Квантовые вычисления Если квантовая информация закодирована при помощи оптического фотона в двойственном представлении со ~01) + с1) 10), то, используя фазовращатели, све- Это явление известно как оптический эффект Керра и имеет место (очень слабо) в таких распространенных веществах как стекло или сахарный сироп.
В легированных стеклах нэ меняется от 10 14 до 10 т см /Вт, а в полупроводниках от 10 ~~ до 10~. Представим себе эксперимент, в котором через такую среду распространяются два луча света одинаковой интенсивности, а их пути почти совпадают. При этом в случае одновременного прохождения двух лучей каждый из них приобретет дополнительную фазу еаза~"ы/го. Это было бы очень хорошо, если бы длину пути 1 можно было сделать сколь угодно большой. К сожалению, это невозможно, поскольку среды, в которых имеет место эффект Керра, сильно поглощают свет и, кроме того, излучение рассеивается в другие пространственные моды. Как мы увидим в подразд.
7.4.3, это является главным препятствием для реализации квантового компьютера при помощи одиночных фотонов. Мы переходим далее к квантовому описанию перечисленных выше оптических устройств. 7.4. Квантовый компьютер на оптических фотонах 363 тоделители и среду Керра, можно реализовать произвольное унитарное преобразование. Чтобы показать, как это делается, мы опишем квантовомеханический гамильтониан для каждого используемого оптического устройства.
Как мы видели в подрезд. 7.3.2, динамика одной моды электромагнитного поля в резонаторе моделируется с помощью квантового гармонического осциллятора. При этом ~0) — вакуумное состояние, )1) — однофотонное состояние, ~п) = (кй) ~~э(а1)")О) — состояние с п фотонами.
Здесь а1 обозначает оператор рождения фотона на данной моде. В свободном пространстве динамика описывается гамильтонианом Н = Пиала. (7.20) Применяя формулу (7.13), мы заключаем, что состояние )4) = сс)0) + с~)1) эволюционирует как )ф(1)) = со(0) + с~е ' '(1). Отсюда сразу видно преимущество двойственного представления: в свободном пространстве эволюция состояния )~р) = сс)01) + с~ )10) сводится к изменению общей фазы, которая ненаблюдаема.
Таким образом, на подпространстве состояний двойственного представления свободный гамильтониан обращается в нуль. Фазовращатель. Действие фезовращателя сводится к эффективному замедлению моды излучения, проходящей сквозь него. Это связано с уменьшением скорости света в среде, имеющей больший показатель преломления, а именно, время, за которое свет пройдет расстояние Ь в среде с показателем преломления и больше, чем соответствующее время в вакууме на Ь ы (и — по) Ь/со.
Обозначим через Р оператор эволюции, описывающий прохождение света через фазовращатель. Тогда действие Р на вакуумное состояние тривиально: Р)0) = (О), тогда как для однофотонного состояния мы имеем Р)1) = е'п)1). В двойственном представлении Р осуществляет полезную логическую операцию.
Расположив фазовращатель на пути одной из двух мод, мы задержим вращение ее фазы по отношению к второй моде, прошедшей то же самое расстояние в вакууме. Таким образом, двойственное состояние со(01) +с~(10) перейдет в сое 'л7з(01) + с~с"~7з)10) с точностью до несущественного общего фазового множителя. Заметим (разд. 4.2), что если представить логические состояния как )0)ь = (01), (1) ь = (10), то эта операция представляет собой просто вращение вокруг оси 2, т. е.
Н (Д) -взь/2 (7.21) где Я вЂ” матрица Паули и'. Поэтому можно считать, что Р описывает эволюцию с гамильтонианом Н = (по — п)Я, (7.22) в течение времени Х /со, т. е. Р = ехр ( — 1Н1./сд). 'Упражнение 7.7. Покажите что приведенная ниже схема преобразует двойственные состояния как ~е' 01 ~Фвмх) = ' !Фвх) (7.23) если считать, что на схеме верхний и нижний каналы соответствуют модам )01) и )10), а квадратик обозначает фазовый сдвиг на я: 364 Глава 7. Квантовые компьютеры: физическая реализация [хвых) [М,„) Ньв — — гд(аЬТ а1Ь) (7.24) а унитарный оператор, описывающий прохождение света через светоделитель, В = ехр[9(а1Ь вЂ” аЬ~)].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
