М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 99
Текст из файла (страница 99)
С другой стороны, существует хорошо разработанный метод, позволяющий манипулировать ядерными спинами и измерять их при помощи радиочастотных импульсов. Ои называется ядерным магнитным резоиансом (ЯМР). Этот метод широко применяется в химии для изучения свойств жидкостей, газов и твердых веществ, для определеиия структуры молекул, для исследования материалов и биологических систем. Имея такое количество приложений, современная техника ЯМР позволяет проводить эксперименты, в которых наблюдаются и контролируюгся десятки, сотни и даже тысячи ядер. Однако, при использовании ЯМР для квантовых вычислеиий возникают две проблемы.
Во-первых, из-за малой величины ядерного магнитного момента необходимо использовать образцы из большого (порядка 10 и больше) числа молекул, для того, чтобы получить наблюдаемый сигнал. Каждая молекула может рассматриваться как отдельный маленький квантовый компьютер, но справедливо ли это для ансамбля молекул? В частности, в методе ЯМР измеряется сигиал, усреднеиный по молекулам. Может ли быть полезным результат вычислений, усредненный по ансамблю квантовых компьютеров? Во-вторых, при использовавии метода ЯМР обычио работают с образцами при комнатной температуре, так что энергия переворота спика Ьо много меиьше ивТ.
Это значит, что начальное состояние системы очень близко к полностью неупорядоченному. В теории квантовых вычислений обычно рассматривается ситуация, когда начальное состояние системы чистое. Можно ли выполиять вычислеиия, если иачальное состояние системы смешаиное и имеет большую энтропию? Решение этих двух проблем сделало ЯМР весьма привлекательным методом реализации квантовых вычислеиий несмотря на жесткие ограничения, связанные с термодинамической природой используемых систем.
Из ЯМР-реализации можио также позаимствовать много полезного, в частности, способы управления реальными гамильтонианами, Позволяющие выполнять произвольные унитарные преобразования, методы, дающие возможность обнаружить и уменьшить потерю когерептности (и систематические ошибки). Представляет интерес также сборка всех компонент в единое устройство, выполняющее некоторый квантовый алгоритм.
Мы начнем с описания аппаратуры, применяемой в методе ЯМР, и общего вида гамильтониана, а затем обсудим, как при обработке квантовой информации решаются проблемы, связанные с термодииамическим начальным состоянием и с использованием ансамблей. В заключение опишем некоторые эксперименты, демонстрирующие работу квантовых алгоритмов, и укажем на недостатки метода ЯМР. 406 Глава 7. Квантовые компьютеры: физическая реализация 7.7.1 Физическая аппаратура Мы начнем с общего описания используемой аппаратуры; соответствующая математическая модель будет приведена позже. Двумя основными частями импульсной установки ЯМР для жидких образцов, которую мы будем рассматривать, являются ЯМР спектрометр и собственно образец.
Молекулы, на которых наблюдается ЯМР, как правило, содержат некоторое число и протонов со спином 1/2 (существуют и другие возможные ядра, например тзС, 'эР, 'эХ, а'Р). В магнитном поле 11, 7 Тл, протоны имеют частоту ЯМР сигнала около 500 МГц. Разности резонансных частот для различных ядер данной молекулы могут быть от нескольких до сотен килогерц.
Это обусловлено различием локальных магнитных полей вблизи ядер из-за экранирующего эффекта элек тронного окружения. Молекулы, о которых идет речь, как правило, находятся в растворе, так что их концентрация достаточно мала и мы можем пренебречь межмолекулярным взаимодействием. Поэтому система таких молекул может быть описана как ансамбль и-кубитовых квантовых екомпьютерова. Рис. 7.1б. Схематическая диаграмма ЯМР спектрометра. ЯМР спектрометр состоит из радиочастотных катушек и большого сверхпроводящего магнита, в который в качестве сердечника помещается образец в стеклянной пробирке, как показано на рис.
7.16. Постоянное магнитное поле Ве, направленное вдоль оси 2, тщательно настраивается, так что в пределах рабочего объема, приблизительно 1 смэ, степень неоднородности не превьппает 10 э. Расположенные перпендикулярно к магниту катушки Гельмгольца формируют слабое переменное магнитное поле в плоскость й — у. Это поле можно быстро включать и выключать, что позволяет манипулировать ядерными спинами. Те же самые катушки используются также для приема радиочастотного 7.7.
Ядерный магыитнь|й резонанс 407 сигнала, возникающего при прецессии ядерных спинов (подобно тому как вращающийся магнит создает переменный индукционный ток в катушке). Типичный эксперимент начинается с продолжительного этапа выжидания, цель которого — дать ядрам придти в состояние термодинамического равновесия; для хорошо приготовленных жидких образцов соответствующее время может составлять несколько минут. Затем под управлением (классического) компьютера создаегся последовательность радиочастотных импульсов, которая осуществляет нужное преобразование над состояниями ядер.
После этого мощные усилители, формировавшие импульсы, быстро выключаются и при помощи чувствительного предусилителя измеряется конечное состояние спивов. К си;гналу свободной индукции, который наблюдается в ходе этого измерения, применяется преобразование Фурье. По площади пиков в спектре частот можно определить состояние соответствующих спиноз (рис. 7.17).
На практике существует много обстоятельств, привсдящих к погрешностям в измерениях такого рода. Например, из-за пространственной неоднородности постоянного магнитного поля ядра в различных частях образца прецессируют с различной частотой, что влияет ва ширину линий спектра. Не менее сложная задача — обеспечение пространственной однородыости радиочастотного поля. Поскольку оно должно создаваться катушкой, расположенной перпендикулярно к основному магниту, одновременной однородности радиочастотного поля и постоянного поля 9о добиться ве удается. Как правило, радиочастотное поле генерируется маленькой катушкой и является неоднородным, что приводит к погрешностям в управлении ядрами. Важно также обеспечить вполне определенную длительность импульсов и стабильность амплитуды, фазы и частоты поля.
Однако, в отличие от метода ионов в ловушке все эти параметры контролируются более просто, поскольку характерные частоты гораздо ниже. Мы еще вернемся к вопросу о погрешностях в подразд. 7.7.4 после изложения математической модели системы и методов обработки квантовой информации с помощью ЯМР. 7.7.2 Гамильтониан Теорию ЯМР можно понять при помощи моделей с одним и двумя спинами. Сначала мы опишем, как электромагнитное излучение взаимодействует с отдельным ядерным спинам.
Далее мы рассмотрим физическую природу взаимодействия между ядерными спинами в молекулах. Это позволит нам описать зависимость получаемого сигнала от преобразования, осуществленного над начальным термодинамически равновесным состоянием спинов. Наконец, мы приведем феноменологическую модель потери когеревтности и обсудим экспериментальное определение двух ее параметров Т1 и Тг. Динамика одного спина Взаимодействие классического электромагнитного поля с магнитным моментом спина 1/2 описывается гамильтонианом Н = — д В, где оператор Д пропорционален оператору спина, а В = Во 2+ В1 (й соэ шг+й э1п мг) — рассматриваемое 408 Глава 7.
Квантовые компьютеры: физическая реализация Н = — Я+ д(Х сов ыс+ Уз1пьл), мс 2 (7.127) где д и ыс пропорциональны амплитудам полей В~ и Вс соответственно, а Х, У, Я - матрицы Паули. Если положить ~<р($)) = е' 'Я~э~~(1)», то уравнение Шредингера ~Ос!ХИ)) = Н1Х($)) (7.128) перепишется в виде 40~)у(Ф)) = [е' ~'~~Не ' ~~~~ — -Я~~у(г)).
2 (7.129) Поскольку е' ~чзХе ' лчз = (Хсозыб — Уз(пм1), (7.130) уравнение (7.129) после упрощений записывается как 4д~~~р($)) = — Я+ дХ уд(Ф)), (7.131) где члены в квадратных скобках могут рассматриваться как эффективный гамильтониан во вращающейся системе отсчета. Решение этого уравнения имеет вид ~~о(Ф)) = е'( г ~+э~)'(у(0)). (7.132) Исследуя его, мы приходим к понятию резонанса. Действительно, используя (4.8), можно интерпретировать (7.132) как однокубитовое вращение вокруг оси (7.133) на угол )й( = 1 "' + дз. (7.134) Если различие между ы и ыс велико, влияние поля В~ на спин несущественно; ось его вращения практически параллельна оси д, и динамика примерно совпадает с той, что задается свободным гамильтонианом в поле Ве.
Напротив, если ы ыс, можно пренебречь вкладом поля Вс, так что даже маленькое поле В~ может привести к значительным изменениям состояния, соответствующим дополнительному вращению вокруг оси й. Этот чрезвычайно большой магнитное поле. Напомним, что компонента Ве постоянная и очень большая, а Вм вообще говоря, зависит от времени, но всегда на несколько порядков меньше, чем Вс. Для изучения этой системы можно было бы применить теорию возмущений. Однако, уравнение Шредингера с таким гамильтонианом можно решить точно с помощью формализма матриц Паули (гл. 2), не прибегая к теории возмущений. С помощью них гамильтониан записывается как 7.7.
Ядерный магнитный резонанс 409 эффект малого возмущения, имеющего надлежащую частоту, как рэз и представляет собой «резонанс» в методе ядерного магнитного резонанса. Тот же самый эффект лежал в основе резонансного взаимодействия двухуровневых атомов с лазерным излучением, которое использовалось (ыо не объяснялось в подразд. 7.5.1). Вообще гамильтоыиан одиночного спина во вращающейся системе отсчета при ы = ыо имеет вид Н = д,(1)Х+ дг(г)У, (7.135) где дз и дг являются функциями поперечного радиочастотного поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
