М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 101
Текст из файла (страница 101)
е. совокупность процессов, приводящих к потере когерентности, см. также (7.144). Для понимания основных свойств этого гамильтониана достаточно рассмотреть его упрощенный вариант Н = ~~~~мь3ь+ ~3 ЗЯь+ ~~~ дь(1)Хь+дьэ(1)Уь (7146) Исследование более общего гамильтониана (7.145) осыовывается на тех же идеях. 7.7.3 Квантовые вычисления При обработке квантовой иыформации мы применяем к системе, приготовленной в надлежащем начальном состоянии, набор унитарных преобразований. В связи с использованием для этих целей ЯМР возникают три вопроса. Вопервых, как реализовать произвольное унитарное преобразование ыад системой из п связанных спинов, описываемой гамильтонианом (7.146)? Во-вторых, можно ли использовать термодинамически равновесное состояние (7.140) в качестве начального состояния? И наконец, можно ли заменить проективные измерения, используемые в квантовых алгоритмах, на усредненные по ансамблю изменения, которые реализуются при использовании ЯМР? Цель данного раздела состоит в том, чтобы ответить на эти вопросы.
Рефакуси ровна Н ' = аг, + Ы, + сг,г,. (7.147) Как было показано в подрвзд. 7.7.2, если радиочастотное поле достаточно сильное и имеет частоту, близкую к резонансной, можно использовать приближение — нд а — 1и»чда (7.148) Для реализации произвольных унитарных операторов с помощью гамильтоыи- аыа (7.146) предложен очень интересный метод, обычно называемый рефакдси- рввкай. Рассмотрим простой гамильтониан для двух спиыов, Н = Н'"'+ Нгч, где 414 Глава 7.
Квантовые компьютеры: физическая реализация Это позволяет выполнять однокубитовые операции с большой точностью. Опре- делим поворот спина 1 на 90' вокруг оси й как о -ыХ1/4 Я (7.149) (и аналогично для спина 2). Поворот на 180', Вз» как легко проверить, обла- дает еле,пующим специальным свойством: Н2 -заянНз мям зе , =е (7.150) Это свойство используется для рефокусировки, поскольку оно позволяет эффективно обратить время для одного вз сливов. Если спины с различвьгми частотами прецессии стартовали из одной точки ыа сфере Блоха, то после рефокусировки они опять попадут в эту точку.
Соответствующие 180'-импульсы называются импульсами рефокусировки. Заметим, что в выражении (7.150) параметр а может быть и оператором, если только он не действует на первый спин. Таким образом, можем записать — пг " ца о2 -«н™~цайт -ыья»«/й Я„е «1 (7.151) Используя аналогичные импульсы рефокусировки для спина 2, можно было бы исключить и оставшийся член гамильтониана. Таким образом, рефокусировка очень полезна, если мы хотим «выключить» какую-то часть гамильтониана (например взаимодействие между спинами), или вообще не рассматривать зволюцию во времени.
'Упражнение 7.38 (рефокусировка). Проверьте соотношеыие (7.150) (используйте антикоммутативность матриц Паули). Упражнение 7.39 (трехмерная рефокусировка). Предложите последовательность импульсов для рефокусировки, с помощью которой можно «выключить» пРовзвольыый гамильтоыиан Н'"' = 2,» сьаь длЯ одиночного спиыа.
Элемент скот Элемент скот можно реализовать, используя рефокусировку и одыокубитовые операции. Покажем сначала, как это делается на примере системы двух спинов с гамильтонианом (7.147). Как мы уже зыаем (см. (7.46)), достаточно уметь реализовать унитарный оператор 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 — 1 (7.152) 1/ся = Упражнение 7.40 (рефокусировка дипольных взаимодействий). Пред- ложите последовательность импульсов, с помощью которой можно привести гамильтониан дипольного взаимодействия Н~~з к упрощенному виду (7.138). 7.7. Ядерный магнитный резонанс 415 Временная, пространственная и логическая розметна Возможность реализовать произвольное унитарное преобразование с большой точностью, используя радиочастотные импульсы, — одна из наиболее привлекательных сторон метода ЯМР для квантовых вычислений.
Однако, основной недостаток состоит в том, что начальное состояние обычно есть равновесное состояние (7.140). Несмотря на то, что это состояние имеет большую энтропию, квантовые вычисления, тем не менее, могут быть выполнены с некоторыми дополнительными затратами. Для этого можно использовать временную или логическую разметку. Временная разметка, называемая также временным усреднением, основана на двух важных обстоятельствах: все квантовые операции линейны, а все измеряемые в методе ЯМР наблюдаемые — это операторы, имеющие нулевой след (по поводу квантовых измерений см. подразд.
2.2.5). Предположим, что печальное состояние двухспиновой системы описывается матрицей плотности а О О О О Ь О О О О с О О О О Ь (7.153) Рг = где а, Ь, с, г( — произвольные положительные числа, удовлетворяющие условию нормировки а + Ь + с + Ы = 1. Используя элементы скот, можно реелизовать схему Р, которая переставляет состояния, т. е. а О О О О с О О О О 4 О О О О Ь рз =Рр1Ф= (7.154) и аналогично а О О О О 4 О О О О Ь О О О О с рз = Рг ргР = (7.155) НО ПОСКОЛЬКУ ГгЕ я,га 74Е г, /4Е Ся 74 = уСя, рЕаЛИЗацИя Снот СВОдИтСя к эволюции в течение времени Ьг/4с и к нескольким дополнительным однокубитовым операциям.
Упражнение 7.41 (реализацня скот с помощью ЯМР). Предложите последовательность однокубитовых вращений, которая реализует скот на двух спинах, эволюционирующих в соответствии с гамильтонианом (7.147). (Вы можете использовать выражение (7.46), однако результвт можно упростить, уменьшив число однокубитовых вращений.) 416 Глава 7. Квантовые компьютеры: физическая реализация Применяя произвольную заданную квантовую схему У к этим трем состояни- ям, мы получим (в трех независимых экспериментах, выполненных в разное время) три конечных состояния Сь = Урь5Г1.
Из линейности имеем С,=~ ,'Пр,П1 (7.156) ь=ккз ь =П ')'р, П1 (7.157) 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Пг+ (1 — а) (7.158) = (4а — 1)сг При использовании метода ЯМР все измеряемые наблюдаемые М вЂ” это опе- раторы, имеющие нулевой след ьг(М) = 0 (например, матрицы Паули Х и У), поэтому сг ~~ СЬМ = ~ ~Сг (СЬМ) (7.159) 1 0 0 0 оооо 0000 0000 = (4а — 1) сг П (7.160) = (4а — 1) Сг(У/00) (00/У1). (7.161) Это значит, что сумма трех измеренных сигналов пропорциональна сигналу, который бы мы получили, взяв в качестве начального чистое состояние )00)(00( вместо смешанного состояния (7.153). То же самое можно проделать с произвольным числом спинов, нужно только суммировать по большему числу экспериментов и иметь достаточно большое время когерентности, чтобы успеть выполнить все необходимые унитарные операции до потери когерентности.
Заметим, что эксперименты, соответствующие различньгм Сь, могли бы проводиться одновременно с тремя различными образцами, илн с различными частями одного образца; в эксперименте для этого необходимо использовать пространственно неоднородные магнитные поля. Такая методика называется пространственной разметкой.
Упражнение 7.42 (перестановки для временной разметки). Предложите квантовую схему, которая реализует перестановки Р и Р1, необходимые для преобразования р1 из (7.153) в рз вз (7.154). В случае логической разметки используется похожая конструкция, но прн этом не требуетси проведение нескольких эксперимеатов. Рассмотрим систему из трех эквивалентных спинов, находящуюся в состоянии 7.7. Ядерный магнитный резонанс 417 (7.162) р= б1+а б'1+ а' (7.163) где б1 — слагаемое, пропорциональное единичному оператору, которое являет- ся ненаблюдаемым (наломним, что все наблюдаемые имеют нулевой след), а а ~ б — малый параметр.
Теперь применим унитарную операцию, реализую- п!ую перестановку Р, такую, что (7.164) Заметим, что верхний 4 х 4 блок этой матрицы имеет вид 6 0 0 0 0 — 2 0 0 0 0 — 2 0 0 0 0 -2 = 8/00)(00! — 21, (7.165) где 1 обозначает единичную матрицу размера 4 х 4. Как и в случае временной разметки, вычисление, выполненное с начальным состоянием р' (на подпространстве состояний )000), !001), !010), !011)), дает при измерении сигнал, пропорциональный тому, который бы мы получили, взяв в качестве начального чистое состояние )00)100!! Экспериментально оказывается возможным реализовать перестановку Р и выделить сигнал от четырех яужных нам состояний. Состояния вида р = 2 "(1 — е)1+ еЦОО...О)(00...0!У! (где У вЂ” произвольный унитарный оператор, а и — число кубитов) называются «эффективно чистыми», или «псевдо чистыми» состояниями (данное определение легко 27 кв»»а ~»» еле 6 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 -2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 О 6 0 0 0 0 — 2 0 0 0 0 — 2 0 0 0 0 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 — 2 0 0 0 -2 О 0 0 — 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 — 6 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 418 Глава 7.
Квантовые компъютеры: физическая реализация обобщить на случай, когда размерность пространства состояний не является степеыью двойки) . Существует мыого стратегий, позволяющих приготовить эффективно чистые состояния, но, как правило, это требует дополнительных ресурсов. Мы еще вернемся к этой теме в подразд.
7.7.4. С помощью эффективно чистых состояний можно наблюдать динамику при нулевой температуре, тогда как система реально находится в высокотемпературном состоянии. Но для этого, конечно, нужно, чтобы связь данной системы с высокотемпературным окружением была достаточно слабой. Именно это и используется в квантовых вычислениях методом ЯМР. 'Упражнение 7.43 (перестановки для логической разметки).
Предложите квантовую схему, которая реализует перестановку Р, необходимую для преобразования р1 из (7.163) в р' из (7.165). Упражнение 7.44 (логическая разметка для и спиноз). Рассмотрим систему из и зквивалеытных спинов с частотой прецессии ы в состоянии р термодинамического равновесия при температуре Т. Сколько эффективыо чистых спинов можно приготовить из р, используя логическую разметку? (Указание.
Воспользуйтесь базисными состояниями с весом Хэмминга п/2.) Использование ансамблевых измерений длл квантовых алгоритомов Мы показали, как ыад системой из и спинов, описываемых гамильтонианом (7.146), можыо реализовать произвольное унитарное преобразование, а также, как исходя из равновесного состояния, можно приготовить хорошо определенное входное состояыие, которое ведет себя, как чистое. Однако, чтобы выполнить все условия для квантовых вычислений, нужно еще уметь делать измерения над системой, чтобы извлекать результат вычислений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
