М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Б этом разделе нам будет удобно использовать обозначения Я = Х/2, Яв = У/2 и Я, = Я/2 для операторов спина 1/2, которые пропорциональны матрицам Паули с коэффициентом 2. Наряду с электромагнитным взаимодействием имеется также взаимодействие спина с колебательными модами.
Будем считать, что частица со спинам находится в параболическом удерживающем потенциале с частотой ша (рис. 7.9), так что ее коорд(яната описывается оператором з = зо(ау + а), где а1, а — повышающий и понижающий операторы для колебательных мод частицы, т. е. операторы рождения и уничтожения фононов. Рис. 7.9. Игрушечная модель иона в ловушке одиночная двухуровневая частица в параболиче. оком потенциале, взаимодействующая с электромагнитным полем 7.6. Ионы в ловушке 397 Предположим, что частица охлаждена до такой температуры, что ее колебательное состояние близко к основному, причем амплитуда колебаний частицы мала по сравнению с длиной волны внешнего излучения, т. е.
параметр Лэмба-Дикая: — лзс мал. Определяя частоту Раби для спина как й = д В~/26 и вспоминая, что Я, = (Яе + Я )/2, мы можем в пределе малых и упростить гамильтониан: (7.116) Н,=-р В Первое слагаемое в квадратных скобках напоминает обычный гамильтониан Джейнса-Каммингса (подрэзд. 7.5.2), который соответствовал бы спину, закрепленному в точке з = О. Однако мы сделали существенное упрощение, а именно, что электромагнитное поле классическое и фотонные операторы в гамильтониан не входят.
Квантовыми свойствами поля действительно можно пренебречь в случае, если В~ — сильное когерентное состояние. При этом остается гамильтониан, описывающий эволюцию внутреннего атомного состояния. Когерентное состояние поля при взаимодействии с атомом практически не запутывается с состоянием атома. Читателю, заинтересовавшемуся этим вопросом, рекомендуем обратиться к задаче 7.3 в конце главы.
Мы еще столкнемся с этим явлением при обсуждении резонанса в подразд. 7.7.2. Второе слагаемое (7.117) описывает взаимодействие между колебательным и спиновым состояниями иона. Чтобы его получить, необходимо учесть зависимость магнитного поля от координаты ж Четыре слагаемых в фигурных скобках соответствуют четырем переходам (два вверх и два вниз), которые обычно называются красными и синими боковыми полосами (см. рис. 7.10). !1 1> до> Кр по 398 Глава 7.
Квантовые компьютеры: физическая реализация Рис. 7.10. Схема уровней внергии для игрушечной модели ионов в ловушке, демонстриру~ щая красные и синие боковые полосы, возникающие за счет испускания или поглощения одного фонона. Боковые полосы, описывающие поглощение или непускание нескольких фононов, как правило, не важны~ Для состояний использовано обозначение (и, пт), где и представляет состояние спина, а то †чис фононов. Переходы боковых полос имеют частоты шс ~ ша. Чтобы убедиться в этом, мы должны учесть гамильтониан свободной частицы Нс = йснсЯ +Ли,а а.
(7.118) Если использовать представление взаимодействия с гамильтонианом Но, спи- новые и фононные операторы оказываются зависящими от времени: Я (1) Я с-ыо~ а1(Ф) а1ееы з Я (1) = Я е ыоз (7119) а(1) = ае ' *'. (7.120) Соответственно интересующие нас члены в Н~ = есиозгаНге '~~отгл оказыва- ются равными з л- — (Я+пусси — Я ас пр), ог = ого+ ш„ Н' = 3 2 (Я+пеги — Я а с аи), ш =ус — шз, (7.121) где ш — частота внешнего поля, записанная справа.
Можно легко обобщить данную модель на случай Ж спинов, удерживаемых в параболическом потенциале, если предположить, что система сливов может колебаться только как единое целое, т. еч что энергия трансляционной моды много меньше энергии всех остальных колебательных мод. В этом случае достаточно просто заменить ш, на ш,/т/Ф, поскольку эффективная масса составной частицы равна ЖМ. 7.6.3 Квантовые вычисления Однокубитовые операции Во внешнем электромагнитном поле с частотой шо в гамильтониане появляется слагаемое Ну = — (Я+ее"'+Я е '"). 2 (7.122) Для квантовых вычислений необходимо уметь реализовать произвольное унитарное преобразование над внутренними состояниями атомов.
Мы объясним, как это делается в три этапа. Сначала опишем, как выполнять произвольную однокубитовую операцию, действуя только на один атомный спин. Затем предложим метод, позволяющий реализовать нетривиальный двухкубитовый элемент, причем один кубит будет представлен атомным спинам, а другой— фононом. И наконец объясним, как осуществить обмен квантовой информацией между спинам и фононом.
После этого мы опишем эксперимент, который продемонстрировал приготовление начального состояния, реализацию СНОт и измерение результата. 7.6. Ионы в ловушке 399 Выбрав фазу «р и время, на которое включается поле, соответствующим образом, можно реализовать оператор Не(В) = ехр ( — ВВЯ,) или Л (В) = ехр ( — зВЯз).
Согласно теореме 4.1, эти операторы позволяют выполнять произвольные операции над одним спиновым состоянием. В случае нескольких ионов будем использовать дополнительный индекс т', указывающий, к какому именно иону применяется операция, например В 1(В). 'Упражнение 7.31. Постройте элемент Адамара иэ вращений В и В,. Утциеляемсе переворачивание фазы Предположим теперь, что один кубит представлен при помощи атомного спина, а второй кубит — фононными состояниями )0) и ~1). Оказывается, что в этом случаеможно реализовать управляемоепереворачивание фазы, т.
е. унитарнос преобразование 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 — 1 (7.123) (21) )20) )О1>--- (оо> Рис. 7,11. гроени энергии трехуровневого атома, помещенного в ионную ловушку Для каждого атомного уровня изображено два фононных состояния Состояния обозначают«и как (а«пз), где и — номер атомного состояния, а гп — число фононов Для реализации управляемого перевора- чивания фазы используется переход )20) «-~ )11) Основную идею проще всего понять, если рассмотреть трехуровневый атом, находящийся в ловушке (в принципе, можно обойтись и двумя уровнями, см. задачу 7.4). На рис.
7.11 показаны уровни энергии такой системы. Лазерное излучение с частотой а«есп + ыз (ю„„- вспомогательная частота) индуцирует переходы между состояниями (20) и )11), которые описываются гамильтонианом Ьй' 2 (7.124) 400 Глава 7. Квантовые компьютеры: физическая реализация Отметим, что никакой другой переход на этой частоте невозможен. Выберем фазу га и длительность импульса так, чтобы реализовать оператор В (2я).
В результате состояния ~11) и ~20) изменят знак, а все остальные состояния не изменятся (предполагаегся, что в начальном состоянии амплитуды неиспользуемых в вычислении состояний, таких как )12), равны нулю). Эта процедура позволяет реализовать нужное нам преобразование (7.123). Обозначим его как С. (Я), где,у — номер иона, на который мы действуем (операция 'управляемый- Е'). Поскольку мы используем фонов трансляционной моды, он является общим для всех ионов. По этой причине в литературе используется термин кубит фононной «шины» (в соответствии с электротехнической терминологией). Элеменпг обмена Теперь объясним, как осуществить обмен кубитов, представленных спиновым и фононным состояниями.
Для этого нам понадобится лазер с частотой аге -ьг,. Выбирая фазу излучения и длительность импульса, можно реализовать врэ щение Вэ(я) подпространств (01) и (10). Соответственно, на подпространстве, порожденном векторами )00), )01), (10), (11), реализуется унитарное преобра зование 1 0 0 0 0 0 1 0 (7.125) 0 — 1 0 0 0 0 0 1 Если начальным состоянием системы было а!00) + 6|10) (фононы в состоянии !0)), то конечным состоянием будет а!00) + 6!01) .
Мы видим, что состояния спина и фонона поменялись местами. Обозначим операцию (7.125), примененную к иону г', как зэулР, а обратную к ней операцию, которая соответствует В„(я), как ВИАР . Операция зэггАР не совпадает буквально с операцией обмена (поскольку (10)(ОЦ входит в В (я) со знаком минус), но она эквивалентна ей с точностью до фазы (см. упр. 4.26), По этой причине иногда она называется не обменом, а "операцией отображения".
Элемента скот Из элементов, которые мы рассмотрели, можно построить элемент сгготс управ- ляющим ионом у и управляемым ионом Й: (7.126) сггот,ь = Ньзчгкг»Су(Е)зчАР»Нь. Здесь время идет справа налево, Нь — элемент Адамара (сконструированный из вращений В и В„) иона й. Аналогичным образом мы реализовали сггот в рэзд. 7.4, используя светоделители и среду Керра (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
