М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 103
Текст из файла (страница 103)
е. нахождении атомов водорода, углерода и фосфора, являющихся в молекуле ближайшими соседями. Для этой цели используется последовательность импульсов, известная как 1НАВЕ!41)АТЕ (!псгео! Ые па!ига! аЬипс1апсе доиЫе циап!шп Фгапэ(ег ехреп'- шеп!), в ЯМР широко используются подобные обозначения.
На языке квантовых вычислений эту последовательность импульсов можно описать следующим образом. Выберем пару резонансов в спектре и попытаемся применить к ней операцию скот. Если после проверки мы увидим, что оцерация скот действительно выполнена, то выбранные резонансы соответствуют ядрам, которые являются ближайшими соседями.
Еще один важный элемент, который используется, например, в последовательности ТОСЯ'1т (!о!а! согге!айоп эрес1гоэсору)— это элемент обмена. Предложите квантовую схему только нз операторов е тиуэ"~, В,. и В, реализующую элемент обмена (рекомендуется начать со схемы, показанной на рис. 1.7). 7.7. Ядерный магнитный резонанс 423 Обозначим оператор эволюции е 4в12"хв течение времени 2 = 1/2,7 (2,3 мс для хлороформа) через т. Тогда для хс = 3 с точностью до несущественного общего фазового множителя О = Ву1Й 1Йу1Куэй 2й 2т. Оператор НЭ2 есть произведение двух однокубитовых элементов Адамара Н1 Э Н2, причем Нь = В22Вуы Наконец, оператор Р, имеющий вид 1 0 0 0 0 — 1 0 0 0 0 — 1 0 0 0 0 — 1 (7.171) можно реализовать как Р = Ву1В 1В 1В 2В 2В 2т.
Используя эти результаты, итерацию алгоритма Гровера 0 можно реализовать как С = НЭ2РН~20. Путем несложных алгебраических преобразований этот оператор можно заметно упростить, см. упр. 7.51. Обозначим через ррь) = С" (00) состояние, полученное после 14 итераций в алгоритме Гровера. Как мы знаем, (хс~4Рь) 21п((2х+1)д), где д = агсэ1п(1/1/2). Эта периодичность амплитуды является существенной чертой алгоритма Гровера и, естественно, попытаться провернть ее экспериментально. Для двух кубитов и хс = 3 мы должны получить Р1) = !Ф1) = -~Ф4) = ~Фт) = — 1Ф1с), т.
е., если пренебречь знаком, период равен трем. Упражнение 7.50. Предложите квантовую схему, использующую только однокубитовые вращения и оператор е 1в1ххх, которая реализует оракул О для хо=012. Упражнение 7.51. Покажите, что благодаря взаимным сокращениям последовательных однокубитовых вращений оператор итерации в алгоритме Гровера может быть записан в виде Й 1й 1й 2й 2тВ 1Йр1В 2Й 2т В 1Вр1ВхгВр2ТВх1Ву1В 2Ву2Т Вх1Ву1Вх2Ву2ТВх1Ку1Вх2Ву2Т Вх1Вр1Вх2Ву2ТВх1Вр1Вх2Вр2Т (яс = 3) (яо = 2) (хс = 1) (х =О) (7.172) для четырех возможных значений яс. На рис. 7.20 показаны теоретические и экспериментальные матрицы плотности в разностной форме ра„= )4/1„)(хР„) — Фг((4р„)(ф„()/4 для первых семи итераций алгоритма Гровера.
Как и следовало ожидать, рд1 отчетливо указывает нам на состояние ~11), соотвегствующее хо = 3. Аналогичные результаты были получены в экспериментах с тремя оставшимися хс. Для измерения каждой матрицы плотности было проведено 9 х 3 = 27 экспериментов, поскольку каждая томография состоит из девяти серий по три эксперимента в каждой, необходимых для моделирования чистого состояния. 424 Глава 7. Квантовые компьютеры; физическая реализация Теория Эксперимент теория Эксперимент рл ОЖ рп4 25Ж ' и и ю -и н и и рп5 о 37Ж -)1 рло УЖ ргз6, 35Ж -' рл1 18Ж ' ро2 о 3 5Ж,'.
ркз 7 44Ж ' рпз, ЗВЖ ' Рис. 7.20. Матрицы плотности в разностной форме для семи итераций алгоритма Гроввра. полученные теоретически и в вксперименте на спинах водорода и углерода в хлороформе. Отчетливо видны три полных цикла по четыре итерации в каждом Представлены только вещественные компоненты (теоретически все мнимые части равны нулю, а их вклад в экспериментальные результаты составляет менее 12%) Показаны также относительные ошибки йр т«ьа — рзкепепйДргеер)(, Самое длинное вычисление, состоящее из и = 7 итераций, заняло менее 36 мс, что не превышаег времени когерентности. На рис.
7.20 ясно видны периодичность по числу итераций в алгоритме Гроверз и хорошее согласие между теорией и экспериментом. Большое отношение сигнел-шум (порядка 10 ) было получено даже при одиночных измерениях. Численное моделирование показывает, что основными источниками ошибок (порцдке 7 — 44%) являются неоднородность магнитного поля, релаксация намагниченности во время эксперимента и неточнея калибровка радиочастотных импульсов (в порядке их значимости) . 7.7. Ядерный магнитный резонанс 425 Недостатки Реализация квантовых вычислений методом ЯМР успешно продемонстрировала работу квантовых алгоритмов для семи кубитов, что уже само по себе достаточно впечатляюще.
Однако, существуют принципиальные ограничения, связанные с использованием временной, пространственной и логической разметок. Действительно, введение какой-либо из этих рэзметок преследует цель выделить из полного сигнала, соответствующего равновесному состояни1о, вклад нескольких спинов в чистом состоянии (00... О) (или в каком-то другом базисном состоянии). В случае временной и пространственной разметок мы складываем несколько сигналов, чтобы сократить все лишние слагаемые; при использовании логической разметки мы используем дополнительные спины, чтобы в какой-то части пространства состояний получить чистое состояние. Однако, какую бы разметку мы не использовали, вероятность того, что спины находятся в состоянии )00...
О), не может быть больше равновесной вероятности роо о = — (00...0)е дн(00...0). 1 Я (7.173) Подставляя Н = 2 ь мВы мы находим, что для молекулы с и спинами роо о пропорциональна п2 ". Это означает, что при фиксированной температуре амплитуда полного сигнала является экспоненциэльво убывающей функцией от числа эффективно чистых кубитов, выделяемых из равновесного состояния той или иной разметкой. Использование молекулы в качестве квантового компьютера также приводит к некоторым ограничениям. Структура молекулы играет роль архитектуры компьютера, определяя какие пары (или группы) кубитов могут взаимодействовать друг с другом (аналогично, радиочаототные импульсы играют роль программы). Естественно, не все кубиты могут взаимодействовать друг с другом.
Мы не можем убирать не нужные нам взаимодействия за исключением тех, которые можно «выключить» рефокусировкой. Кубиты отличаются друг от друга частотами прецессии ядер. При достаточно большом числе ядер мы уже не сможем избирательно воздействовать только на один кубит. Эта проблема может быть решена использованием архитектуры типа клеточного автомата, например одномерной цепи вида Х вЂ” А —  — С вЂ” А —  — С— А —  — С вЂ” У, концы которой соответствуют различным ядрам, а внутренняя часть состоит из повторяющейся регулярной последовательности ядер, причем резные буквы соответствуют различным ядрам.
Может показаться, что это очень ограниченная модель вычислений. Однако, она позволяет выполнять произвольные квантовые алгоритмы, но с полиномиальвым замедлением. Точная степень замедления конечно очень важна, например при реализации квантового алгоритма поиска, в котором достигается только квадратичное ускорение. Существуют способы, позволяющие избежать ограничений, связанных с использованием метода разметки. Например, можно поляризовать спины ядер с 426 Глава 7. Квантовые компьютеры: физическая реализация Б Гс Н г с сн, С1 1 Са — С вЂ” Н С1 ОН (а) (б) (в) Н, О О С=С с=с Н вЂ” С Е О Нй Рис.
7.21. Примеры простейших молекул, использованных в экспериментах по реализации квантовых вычислений методом ЯМР. (а) Хлороформ. два кубита, ядра водорода и углерода; использовался для реализации алгоритма Дойча-Йожа и двухкубитового квантового поиска. (б) Анилин три кубита, ядра углерода; использовался для демонстрации исправления квантовых ошибок. Обратите внимание, что все три углеродных спина имеют разные частоты прецессии, поскольку их химические окружения не эквивалентны (например, злектроотрицательность кислорода приводит к дефициту электронов вблизи соседнего ядра углерода). (в) 2,3-дибромтиофен: два кубита, два ядра водорода; использовался для моделирования четырехуровневого еобреэанногоэ гармонического осциллятора Два протона находятся на разном расстоянии от атома серы и поэтому имеют различные частоты.(г) Трифторбромзтилен: три кубнта, ядра фтора, использовался для демонстрации логической разметки, а также для реализации суперпозиция ()000) + (111))/т'2.
(д) Трихлорэтилен. три кубита, ядро водорода и два ядра углерода; использовался для демонстрации телепортации Состояние спина протона было телепортировано на спин правого углерода. (е) Формиат натрия: два кубита, ядра водорода и углерода; использовался для реализации кодов, обнаруживаюп1их квантовые ошибки. В этой молекуле изменением температуры раствора можно добиться совпадения времен Тэ для обоих кубитов. была реализована для поляризации ядер гелия. По-видимому, ее можно применить и к молекулам, хотя технологически это довольно сложно. Можно также попытаться модифицировать логическую разметку.
Эта разметка в сущности представляет собой алгоритм сжатия, который увеличивает относительную вероятность одного состояния в ансамбле за счет отбрасывания других состояний. Существует улучшенный вариант логической разметки, который позволяет выделить тьН(р) эффективно чистых кубитов, используя молекулу с и спинами, где р = (1 — с лиг "вт)/2, ЬŠ— энергия переворота спина, Т— температура. Процедура сжатия здесь требует лишь полиномиального числа помощью какого-либо физического механизма. Используя оптическую накачку (подобную той, что применялась для охлаждения ионов, рис. 7.8) можно поляризовать электронные моменты атомов рубидия.
При ван-дер-ваальсовском взаимодействии атомов рубидия с атомами ксенона образуются короткоживущие молекулы и поляризация переносится на ядра ксенона. Эта же схема 7.8. Другие варианты реализации 427 элементарных операций. Однако, преимущество этого метода становится существенным, только при р я~ 0.5. На данный момент в мощных соленоидах можно достичь р ю 0,4999. Несмотря на эти недостатки, метод ЯМР может служить основой для тестирования квантовых алгоритмов, а технические приемы, разработанные в связи с ним, могут оказаться полезными для других реализаций квантовых вычислений. Некоторые молекулы, использованные в экспериментах по квантовым вычислениям, показаны на рис.
7.21. Теория ЯМР находится на пересечении таких областей знания, как химия, физика, машиностроение и математика. Их развитие и обмен идеями несомненыо приведут к дальнейшему совершенствованию метода ЯМР. ЯМР-реализация квантового компьютера ° Представление кубита. Ядерный спин.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
