М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 114
Текст из файла (страница 114)
состояиие р ие меняется с вероятностью (1 — р), а каждое преобразование Х, У или Я происходит с вероятностью р/3. Упражнение 8.17. Проверьте (8.101) следующим образом. Определив А+ ХАХ+ УАУ+ ЛАЯ 4 3 (8.104) покажите, что б(1) = 1; б(Х) = Е(У) = Е(Я) = О. (8.105) б(р) = — + (1 — р)р. р1 г( (8.106) 'Упражнение 8.18. Для к ) 1 покажите, что Фг(рь) ие может увеличиться от действия деполяризующего канала. Упражнение 8.19. Найдите представление операториой суммой для обоб- щенного деполяризующего канала, действующего в Н-меряем гильбертовом пространстве.
8.3.5 Затухание амплитуды Важным приложением квантовых преобразоваиий является описание диссппа- циа энергии — явления, связанного с потерями энергии в квантовых системах. Теперь используйте представление иа сфере Блоха для матриц плотности отдельного кубита для проверки уравнения (8.101). Деполяризующий канал можио, конечно, обобщить иа квантовые системы с размерностью большей, чем 2. Для И-меркой квантовой системы деполяризующий канал снова заменяет состояние иа полностью смешанное состояние 1/о с вероятностью р и оставляет его неизменным в противном случае.
Соответствующее квантовое преобразование выглядит как 472 Глава 8. Квантовый шум и квантовые преобразования Едп(Р) = ЕоРЕо+Е1РЕм где Е» = (Ь)Ь|0) имеют вид (8.107) (8.108) Это — элементы преобразования «затухание амплитуды», причем ч = вбп д можно считать вероятностью испускания фотона. Обратите внимание на то, что невозможно создать линейную комбинацию Ее и Ем приводяшую к элементу преобразования, пропорциональному единичному (сравните с упр. 8.23). Преобразование Е1 заменяет состояние )1) на (0), что соответствует физическому процессу излучения системой кванта энергии в среду. Преобразование Ес оставляет состояние ~0) неизменным, но уменьшает амплитуду состояния ~1).
С физической точки зрения это происходит потому, что среда не получила квант энергии, так что среде теперь «кажется», что система находится в состоянии ~0), а ие ~1). /0) Рис. 8.13. Схема, моделирующая затухание амплитуды л'пражнение 8.20 (схема, моделирующая затухание амплитушя). По- кажите, что схема, изображенная на рис. 8.13, моделирует квантовое преобра- зование «затухание амплитуды» при в1п~(р/2) = у. Как изменяется состояние атома, который спонтанно излучает фотон? Каким образом спиновая система достигает равновесия с окружающей средой при высокой температуре? Каково состояние фотона в интерферометре или резонаторе при наличии рассеяния и затухания? Каждый из этих процессов обладает своими особенностями, но их общее поведение хорошо описывается квантовым преобразованием, известным как затаухамие амплитуды, которое мы можем получить, если рассмотрим следующий сценарий.
Предположим, имеется одна оптическая мода в квантовом состоянии а~О) + Ь~1) — суперпозиция нуля и одного фотона. Рассеяние фотона вз этой моды можно представить как результат действия поставленного на пути фотона полупрозрачного зеркала — светоделителя. Как было показано в подразд. 7.4.2, такой светоделитель приводит к тому, что фотон взаимодействует с другой оптической модой (представляющей среду) в соответствии с унитарным преобразованием В = ехр[0(а+Ь вЂ” аЬ+)), где а, а+ и Ь, Ь+ — операторы рождения и уничтожения фотонов в этих двух модах.
Состояние системы после светоделителя в предположении, что среда не содержала вначале фотонов, можно представить как В)0) (а!0) + Ь|1)) = а/00) + Ь(сов О/01) + в1п 9!10)) в соответствии с (7.34). Взяв след по окружающей среде, получим квантовое преобразование 8.3. Примеры квантового шума и квантовых преобразований 473 'Упражнение 8.21 (затухание амплитуды гармонического осциллято- ра). Предположим, что наша основная система — гармонический осциллятор— взаимцдействует со средой, моделируемой другим гармоническим осциллято- ром посредством гамильтониана Н = т(аьЬ+ Ььа), (8.109) где а и Ь вЂ” операторы уничтожения для соответствующих гармонических ос- цилляторов в соответствии с определениями в равд.
7.3. 1. Пусть П = ехр( — гНЫ). Обозначим собственные состояния ЬтЬ как ~йь) и выберем вакуумное состояние ~Оь) в качестве начального состояния среды. Покажите, что элементы преобразования Еь = (Ьь|У(Оь) имеют вцд К =ь'Д )ф1 — — ь"- 7 Ц вЂ” Й)( $, э1101 где т = 1 — соеэ(х "ьь) †вероятнос потери одного кванта энергии, а состояния ~п) — собственные для а1а.
2. Покажите, что элементы Еь определяют сохраняющее след квантовое преобразование. 'Упражнение 8.22 (затухание амплитуды для матрицы плотности от- дельного кубита). Для состояния общего вида отдельного кубита (8.111) (8.112) Упражнение 8.23 (затухание амплитуды для кубитов в двойственном представлении). Предположим, состояние отдельного кубита представлено при помощи двух кубитов в виде ~ф) = а!01) + Ь/10). (8.113) Покажите, что преобразование блп ® Ел о, бупучи примененным к такому состоянию, задает процесс, который можно описать элементами преобразования покажите, что затухание амплитуды приводит к состоянию 1 — (1 — 7)(1 — а) Ьь/1 — у ЕАп(Р) = Ь'ь/Г: т с(1 — 7) (8.114) (8.118) 474 Глава 8.
Квантовый шум и квантовые преобразования о л=~~' о „ч] Ео = ИГР Е, =,/р (8.116) (8.117) Г-Г О~ Е, =,/1:рр Еэ = ~/à — р (8.118) (8.119) при этом стационарное состояние, удовлетворяющее условию боло(ро ) = Ро„ имеет внд (8.120) Обобщенное затухание амплитуды списывает процесс Тпрелаксации, вызываемый взаимодействием спинов с окружающей их решеткой — болыпой системой, находящейся в тепловом равновесии, часто при температуре гораздо более высокой, чем спиновая. Эта ситуация актуальна для ЯМР-квантовых вычисле- т. е. с кубитом либо ничего (Еф) не происходит, либо он преобразуется (Е~ш) в состояние ~00), ортогональное ~ф).
Это — простой код обнаружения ошибок, а также основа надежности кубита в двойственном представлении, которая обсуждалась в резд. 7.4. л'пражнение 8.24 (спонтанное излучение как затухание амплитуды). Одиночный атом, взаимодействующий с одной модой электромагнитного излучения, способен к спонтанному излучению (см.подразд.
7.6.1). Чтобы убедиться в том, что этот процесс — просто затухание амплитуды, возьмите унитарное преобразование, получаемое из взаимодействия Джейнса-Каммингса (уравнение 7.77), при расстройке б = 0 и выведите квантовое преобразование, взяв след по полю. Общей характеристикой квантового преобразования является набор состояний, остающихся инвариалтными при этом преобразовании. Например, мы видели, что в случае канала с переворотом фазы сохраняется неизменной ось й на сфере Блоха; она соответствует состояниям вида р)0) (О(+ (1 — р))1) (Ц для произвольной вероятности р.
В случае затухания амплитуды остается инвариантным только основное состояние ~0) . Это — естественное следствие предположения, что начальное состояние среды ~0), как если бы оне была при нулевой температуре. Какие квантовые преобразования описывают эффект диссипации в среде при конечной температуре? Этот процесс боьп, незываемый обобщенное загпукание амплитуды, определяется для отдельного кубита следующими элементами преобразования: 8.3. Примеры квантового шума и квацтовых преобразований 475 ний, где становятся важными некоторые свойства Еодп, описанные во вставке 8.3. Вставка 8.3.
Обобщенное затухание амплитуды и эффективно чистые состояния Понятие об аэффективно чистых состояниях», введенное в рэзд. 7.7, оказалось полезным в ЯМР-реализациях квантовых компьютеров. Эти состояния ведут себя как чистые под действием унитарной эволюции и измерении бесследовых наблюдаемых. Как они проявят себя под действием квантовых преобразований? Вообще говоря, эффективность этих состояний разрушается неуннтарными преобразованиями матриц плотности, но удивительным образом такие состояния могут «правильно» вести себя при обобщенном затухании амплитуды.
Рассмотрим эффективно чистое состояние отдельного кубита р = (1 — р)1+ (2р-1)(0) (О(. Очевидно, измерение бесследовой наблюдаемой, произведенное над Пр(7+ приводит к результату, пропорциональному получающемуся при измерении в чистом состоянии ЦО)(0(П+. Предположим, р — стационарное состояние бпдп. Интересно, что в этом случае имеем бодо(П)Ж1) = (1 — р)1+ (2р — 1)бдп(УрУ1) (8 121) Таким образом при обобщенном затухании амплитуды эффективно чистое состояние может оставаться таковым и, более того, ячистая» часть р ведет себя так, как если бы она испытывала затухание амплитуды нз-за резервуара с нулевой температурой! Рис.
8.14. Действие канала с затуханием амплитуды на блоховской сфере при р = ОД, 06ратита внимание на то, что вся сфера сжимается к северному полюсу — состоянию (0). Упражнение 8. 25. Если определена температура Т кубита в предположении, что при в равновесии вероятности нахождения в состояниях ~0) и ~1) удовле- 476 Глава 8. Квантовый шум и квантовые преобразования творяют распределению Больцмана, т. е. ре = е ло~"вг/Я и р1 = е и'?"в~/Я, где Ео и Е1 — соответственно, энергия состояния ~0) и )1), а Я = е к'?"в~ + е к'1~"~~ то какая температура соответствует состоянию р, ? Можно визуализировать эффект затухания амплитуды в блоховском представлении как преобразование вектора Блоха (т,тю т,) -+ (т,,/Т вЂ” 7, тэ~/Т вЂ” ~, ~+ т,(1 — "~)) .
(8.122) Если ч заменить зависящей от времени функцией типа 1 — е 'У~' (здесь 8 — время, а Т1 — некоторая константа, характеризующая скорость процесса), как обычно происходит в реальных физических процессах, то мысленно можно представить результат затухания амплитуды как лоток на сфере Блоха, который перемещает каждую точку единичного шара в сторону фиксированной точки на северном полюсе где находится состояние ~0) (рис. 8.14). Аналогично обобщенное затухание амплитуды приводит к преобразованию (т, т„, г,) — ь (т„,/Т- у,тки/1 — у,'т(2р — 1) + г,(1 — ~)) . (8123) Сравнив (8.122) и (8.123), становится очевидно, что обычное затухание амплитуды и обобщенное затухание амплитуды отличаются только положением фиксированной точки потока; конечное состояние находится на оси й в точке (2р — 1), которая соответствует смешанному состоянию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
