М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 118
Текст из файла (страница 118)
Покажи- те, что матрица тз, описывающая действие «черного ящика» на двух кубитах, может быть выражена следующим образом: ~з = Лзр Лз, (8.180) где Лз = Л Э Л, Л определена во вставке 8.5, а р' — блочная матрица из 16 измеренных матриц плотности: Ры Ры Р~з Ръ4 Ри Рзз Рзз Рз« Рм Рзз Рзз Рз« Р«ъ Р«з Р«з Р«« Рт (8.18Ц здесь р'„= Е(р~ ), р~ = Т,)00)(ОО~Т~, Т~ = ХЭ1, Тз = 1ЭХ, Тз = ХЭ1 Т« = Х Э Х и Р = Х Э [(рос + рьз + рш + рзз) Э Х) — матрица перестановки. Упражнение 8.35 (пример томографии нроцесса).
Рассмотрим «черный ящик» на одном кубите с неизвестной динамикой Еь Предположим, что следу- ющие четыре матрицы плотности получены из эксперимснтальвых измерений, произведенных в соответствии с уравнениями (8.173)-(8.176): (8.182) (8.183) (8.184) 7 О О 1-7 (8.185) где 7 — численный параметр. Из этих соотношений можно сделать несколь- ко существенных выводов: основное состояние ~0) остается инвариантным под действием Ем возбужденное состояние ~1) частично переходит в основное, а смешанные состояния затухают. Определите г-матрицу этого процесса. 490 Глава 8. Квантовый шум и квантовые преобразования 8.5 Ограничения формализма квантовых преобразований Существуют ли иытересные квантовые системы, чья динамика не описывается квантовыми преобразованиями? В этом разделе мы сконструируем искусственный пример такой системы и попытаемся выяснить обстоятельства, при которых это возможно.
Предположим, один кубит приготовлен в некотором неизвестном квантовом состоянии р, что подразумевает выполнение над ним определенной процедуры в лаборатории. Пусть среди степеней свободы лаборатории есть один кубит, который как побочный эффект процедуры приготовления оказывается в состоянии ~0), если состояние р ыаходятся в нижней половине блоховской сферы, и в состоянии ~1), если р — в верхней половине.
Тогда состояние системы после приготовления имеет внд (8.180) р Э ~0) (О) ® остальные степени свободы, если р находится в нижней половине блоховской сферы, и р 3 ~1) (Ц З остальные степени свободы, (8.187) если р лежит в верхней половине блоховской сферы. Кек только приготовление состояния завершено, система начинает взаимодействовать со средой, в данном случае со степенями свободы лаборатории.
Предположим, взаимодействие происходит так, что приводит к преобразованию скот над основной системой и дополнительным кубитом лабораторной системы. Таким образом, если в начальный момент вектор Блоха системы находился в нижней половиые сферы Блоха, то в результате этого процесса он остается неизменным, если же он был в верхней половине сферы Блоха — он поворачивается в ее нижнюю половину. Очевидно, этот процесс не является аффинным отображением, действующим на сфере Блоха и тогда в соответствии с результатами, полученными в подрэзд. 8.3.2, не может бить квантовым преобразованием.
Из этого примера нужно извлечь следующий урок: эвааюция кванпювой системн, которая взаимодействует со степенями свободы, испольвованнььми для ее приготовления, по завершении приготповления не будет адекватно описмвагпьаа в рамказ Яврмализма квантовых преобразований. Важно было получить это заключение, поскольку оно показывает, что существуют физически разумные условия, при которых формализм квантовых преобразований неадекватно описывает процессы, происходящие в квантовых системах.
Необходимо иметь это в виду, например, в приложениях процедуры томографии квантовых процессов, обсуждавшейся в предыдущем разделе. Тем ые менее в оставшейся части книги мы будем работать в рамках формализма квантовых преобрэзований. Он предоставляет мощный и довольно общий метод описания дннамики квантовых систем. Этот метод особенно эффективен в задачах, связанных с квантовой обработкой информации. Изучение 8.5.
Ограничения формализма квантовых преобразований 491 квантовой обработки информации за рамками формализма квантовых преоб- разований представляет интерес для дальнейших исследований. Задача 8.1 (от формы Линдблада к квантовым преобразованиям). Используя обозначения подразд. 8.4.1, решите в явном виде дифференциальное уравнение Л Р= — -(о+и Р+Ро+о — 2п Рс+) 2 (8.188) относительно р(4). Выразите отображение р(0) — ~ р(4) как р(Ф) ,') ь ЕьЯР(0)ЕьЯ. Задача 8.2 (телепортация как квантовое преобразование).
Предположим, у Алисы есть один кубит, обозначенный как система 1, который она хочет передать Бобу. К сожалению, она и Боб пользуются только одной несовершенно запутанной парой кубитов. Половину пары, принадлежащую Алисе, назовем системой 2, а половину, принадлежащую Бобу — системой 3. Предположим, Алиса проводит измерение, описываемое набором квантовых преобразований Е,в, с результатом т над системами 1 н 2. Покажите, что это индуцирует квантовое преобразование Е, связывающее начальное состояние системы 1 с конечным состоянием системы 3, и что телепортация осуществится, если Боб сможет обратить это преобразование, используя такое сохраняющее след квантовое преобразование Яе„что Е„,(Р) сг(Ет(Р)! ( (8.189) где Р— начальное состояние системы 1.
Задача 8.3 (случайные унитарные каналы). Может показаться, что все унитальные каналы, т. е. те, для которых Е(Х) = 1, появляются в результате усреднения по случайным унитарным преобразованиям, т. е., Е(р) Яь рьЦ РЦ+,, гДе Уь — унитарные операторы, а рь образуют распределение ве- роятности. Покажите, что, хотя это и верно для одного кубита, это неверно для ббльшего размера систем. 492 Глава 8.
Квантовый шум и квантовые преобразования ° Томография квантового процесса. Квантовое преобразование И-мерной квантовой системы можно полностью определить экспериментально, измеряя матрицы плотности, получаемые из а2 чистЫх состояний на входе. ° Элементы важных преобразований одного кубита: [о Затухание амплитуды Затухание фазы Переворот фазы Классическая ошибка Фазовая ошибка ° Модели среды для квантовых преобразований. Сохраняющее след квантовое преобразование всегда можно получить как результат унитарного взаимодействия системы с заранее не скоррелированной средой, и наоборот.
Не сохраняющие след квантовые преобразования меж.'но трактовать подобным образом, если ввести дополнительное проекчивное измерение, производимое над объединением системы и среды, которое дает разные результаты, соответствующие разным, не сохраняющим след квантовым преобразованиям. 8.5. Ограничения формализма квантовых преобразований 493 История и дополнительная литература Квантовый шум — важное явление, возникающее в разных ситуациях, и на эту тему выпущена обширная литература.
Мы ограничимся ссылками только на малую выборку источников. Одна из первых монографий по квантовому шуму в математическом контексте принадлежит Дэвису [114]. Калдейра и Леггег [89] предприняли одно из первых и наиболее полных исследований важной модели, известной как спин-бозонная модель, используя подход, основанный ыа Фейнмановских интегралах по траекториям. Гардинер [159] изучал квантовый шум в контексте квантовой оптики. Позднее квантовооптическое сообщество развило подход квантовых траекторий к квантовому шуму.
Обзоры по этой теме можно найти в статьях Цоллера и Гардинера [432], а также Пленио и Найта [324]. По квантовым преобразованиям существует большое количество истрчников. Упомянем лишь несколько ключевых работ, особенно выделим кыигу Крауса [229], содержащую ссылки на более ранние источники по данному вопросу. Геллвиг и Краус [187, 188], а также Чои [85] выпустили статьи, оказавшие большое влияние нв развитие этого направления.
Линдблэд [246] установил связь между формализмом квантовых преобразований и теорией непрерывной временнбй квантовой эволюции, введя то, что сейчас называется формой Линдблада. Шумахер [348] и Кейнс [78] написали отличные обзоры по формализму квантовых преобразований применительыо к квантовой коррекции ошибок. Томография квантового состояния была предложеыа Вогелем и Рискеном [407]. Леонгардт [241] написал обзор, содержащий ссылки на другие работы. На значение томографии квантовых процессов было указано в работе Тюршета, Худа, Ланжа, Мабучи и Кимбла [385].
Теория была разработана независимо Чангам и Нильсеном [96], в также Пойатосом, Сираком и Цоллером [314], Ранее Джонс [202] обрисовал основные идеи томографии квантового процесса. Печальная путаница возникла с термином «потеря когерентности»1.
Исторически он использовался лишь для обозначения процесса затухания фазы, в частности Зуреком [438]. Зурек и другие исследователи осознали, что затухание фазы имеет исключительную роль при переходе от квантовой к классической физике; для определенных видов взаимодействия со средой оно происходит во временных масштабах гораздо более быстрых, чем любой процесс затухания амплитуды и может, таким образом, быть гораздо более важным в определении потери квантовой когереытыости. Основным положением этих исследований было появление классичности из-за взаимодействия со средой. Тем не менее использование термина «потеря когерентности» в контексте квантовых вычислений и квантовой информации относится к любому процессу шума в квантовом устройстве.
В этой книге мы предпочитаем более общий термин «кваытовый шум» и стремимся его использовать, хотя иногда потеря когерентности находит себе подходящее место в контексте. Более детальное обсуждение некоторых из ограничений формализма кван- 1имеетси в виду английский термин «4«еоьегепсе». — Прим.
ред. 494 Глава 8. Квантовый шум и квантовые преобразования товых преобразований (и, в частности, предположения о том, что состояние системы и среды в начальный момент является произведением) дано Ройером [340[. Задача 8.2 принадлежит Нильсену и Кейвсу [ЗОЦ. Задача 8.3 появилась у Ландау и Стритера [268[ как часть глубокого исследования экстремальных точек выпуклого множества дважды стохастических преобразований.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
