М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 115
Текст из файла (страница 115)
8.3.6 Затухание фазы Запьдхакпе фазы — это чисто квантовомеханический процесс шума, который описывает потерю квантовой информации без потери энергии. Физически он описывает, например, процесс, при котором фотон случайным образом рассеивается при распространении по волноводу, или когда электронные состояния в атоме испытывеют возмущение вследствие взаимодействия с удаленными электрическими зарядами. Собственные состояния энергии квантовой системы не меняются со временем, но они накапливают фазу, пропорциональную собственному значению.
Когда система эволюционирует в течение некоторого точно не известного промежутка времени, часть информации о квантовой фазе — относитаельнал фаза между собственными состояниями энергии — теряется. Бот очень простая модель квантового шума такого типа.
Предположим, имеется кубит (ф) = а(0) + Ь)1), к которому применяется оператор вращения В,(д), причем угол вращения д случаен. Случайность может быть следствием, например, детерминистического взаимодействия со средой, которая никогда больше не будет взаимодействовать с системой и, таким образом, неявно измеряется (см. разд. 4.4).
Мы будем называть такое случайное воздействие В, сбоем фазм. Предположим, что угол сбоя фазы д хорошо описывается как случайное число с гауссовым распределением со средним значением 0 и дисперсией 2А. 8.3. Примеры квантового шума и квантовых преобразований 477 Конечное состояние в этом процессе задается матрицей плотности, получаемой усреднением по Ь' г+ОО р = / К(9)Я(ЯЕЯ(д)е ~ йд с/4яЛ (8.124) (а)~ аЬ*е а'Ье " (Ь(э (8.125) Н = Ха"а(Ь+ Ь1). (8.126) Обозначив У = ехр( — 1НЫ), рассматривая только состояния ~0) и ~1) осцнлля- тора а в качестве нашей системы и, считая, что начальное состояние второго осциллятора (среды) — ~0), можно видеть, что взятие следа по среде приводит к элементам преобразования Еь = (йэ|ЦО), которые равны 1 0 /à — Л О /Л Е (8.127) (8.128) где Л = 1 — совэ(ЛЮЬ) можно интерпретировать как вероятность того, что фотон был упруго рассеян средой.
Как это было в случае затухания амплитуды, Ес оставляет ~0) неизменным, но уменьшает амплитуду состояния (1); тем не менее в отличие от затухания амплитуды, операция Е~ разрушает ~0) и уменьшает амплитуду состояния ~1), но не превращает его в ~0). Применив теорему 8.2 об унитарной неопределенности квантовых преобразований, можно видеть, что унитарная комбинация Ес и Е~ приводит к новому набору элементов преобразования для затухания фазы: Ес = ~/а Е~ —— Я вЂ” а (8.129) (8.130) где а = (1+ Л вЂ” Л)/2. Таким образом, квантовое преобразование, соответ- ствующее затуханию фазы, глочио совпадает с каналом с переворотом фазы, который мы встречали в подразд. 8.3.3! Случайный сбой фазы приводит к тому, что ожидаемое значение недиагональных элементов матрицы плотности экспоненциально затухает до нуля со временем.
Это характеристическое свойство затухания фазы. Другой способ вывести квантовое преобразование, соответствующее затуханию фазы, — рассмотреть взаимодействие между двумя гармоническими осцилляторами — аналогично тому, как выводилось затухание амплитуды в предыдущем подразделе, но, на этот раз, с гамильтонианом взаимодействия 478 Глава 8. Квантовый шум и квантовые преобразования Так как затухание фазы — то же самое, что канал с переворотом фазы, нам известно, как его отображать на блоховской сфере (см.
рис. 8.9). Это соответствует преобразованию вектора Блоха (т, тг, т ) » (т, Я - Л, тг «К вЂ” Л, т ~ (8.131) Вставка 8.4. Кот Шредингера Когда л слышу о коо»е Шредингера, л хватаюсь за пистолета. Стивен Хокинг. Судьба печально известного кота Шредингера такова: его жизнь или смерть определяются автоматическим устройством, которое разбивает ам- пулу с ядом и убивает кота, если обнаруживается, что распалось возбуж- денное состояние атома (см. рисунок).
которое приводит к сжатию сферы в эллипсоид. Затухание фазы часто называют «Тг» (или «спин-спин»)-релаксацией по историческим причинам, где е '/гт» = з/1 — Л. Как функция времени, величина затухания увеличивается, что соответствует потоку всех точек единичного шара внутрь в направлении оси г. Заметим, что состояния на оси г остаются инвариантными. Исторически затухание фазы считалось процессом, физической причиной которого является случайный сбой фазы или рассеяние. Только после того, как обнаружилась его связь с каналом с переворотом фазы, была разработана квантовая коррекция таких ошибок, поскольку считалось, что фазовые ошибки непрерывна«и их нельзя описывать дискретным образом.
Фактически фазовые ошибки с одним кубитом можно всегда считать возникающими в результате процесса, в котором с кубитом либо ничего не происходит с вероятностью о, либо с вероятностью (1 — а) кубит переворачивается оператором Паули Я. Хотя истинный физический процесс может быть другим, для преобразования, происходящего с кубитом за промежуток времени, больший, чем характерное время случайного процесса, разницы нет никакой. 8.3. Примеры квантового шума и квантовых преобразований 479 Шредингер задался вопросом: что произойдет, если атом находился в смешанном состоянии? Кот жив или мертв? Почему смешанные состояния, подобные упомянутому выше, не встречаются в повседневной жизни? Разгадка заключается в том, что такие состояния совершенно невероятны в реальном мире, поскольку макроскопические смешанные состояния очень чувствительны к потере когерентности.
Пусть атом представляет отдельный кубит. Составная система вначале находится в состоянии !жив)!1). Предположим, по истечении времени полураспада атома состояние будет равновероятной суперпозицией !жив) (!0) + !1))/~Г2 (это упрощение реальной физической картины, которая слишком сложна, чтобы в нее здесь углубляться). Установка убивает кота, если атом оказывается в состоянии !0); в противном случае кот остается живым. Это приводит к состоянию !4) = [!мертв)!0) + (жив) !1))/~/2, в котором состояние кот оказывается запутанным с состоянием атомом. Казалось бы, это означает, что кот одновременно и жив и мертв, однако давайте рассмотрим матрицу плотности этого состояния р= Ю(Ф! 1 = — [)жив, 1) (жив, 1! + !мертв, 0) (мертв, О! + !жив, 1) (мертв, О! + !мертв, 0) (жив, 1)~. (8.132) (8.133) На практике невозможно полностью изолировать кота и атом в их ящике, и, таким образом, информация о смешанном состоянии будет просачиваться во внешний мир.
Например, тепло тела кота может пройти сквозь стенки и явиться некоторым показателем его состояния. Такие эффекты можно смоделировать как затухание фазы, которое экспоненциально подавляет последние два (недиагональных) члена в р. В первом приближении, можно смоделировать систему кот — атом как простой гармонический осциллятор. Важный результат, касающийся потери когерентностн такой системой, заключается в том, что когерентность между состояниями с большой разностью энергий теряется быстрее, чем между состояниями с меньшей разностью (упр.
8.31). Таким образом, р быстро перейдет в практически диагональное состояние, которое соответствуег ансамблю состояний кот— атом, представляющих или живого, или мертвого кота, а не суперпозицию этих двух состояний. Затухание фазы — один из наиболее тонких и важных процессов при исследовании квантовых вычислений и квантовой информации.
Он стал предметом обширных изысканий и обсуждений, особенно в связи с тем, что мир вокруг нас представляется классическим и смешанные состояния не встречаются в нашей повседневной жизни. Именно затухание фазы ответственно за это отсутствие смешанных состояний в больших системах (упражнение 8.31). Пионер кванто- 480 Глава 8. Квантовый шум и квантовые преобразования вой механики Шредингер был, по-видимому, первым, кто сформулировал эту проблему, и сделал это в особенно острой форме (см.
вставку 8.4). Ра» Рвых /О) Рис. 8.15. Модельная схема для затухания фазы. По верхнему проводу идет входной бит в неизвестном состоянии, а по нижнему — вспомогательный кубит, используемый для моделирования среды. Упражнение 8.26 (схема, моделируюпззя затухание фазы). Покажите, что схема, приведенная на рис. 8.15, может моделировать квантовое преобразование езатухание фэзыз, если правильно выбрать д. Упражнение 8.27 (затухание фазы — канал с переворотом фазы).
Запишите унитарное преобразование, связывающее элементы преобразования (8.127)-(8.128) с элементами (8.129)-(8.130), т. е. найдите и такое, что и Еь = .ияЕ. Упражнение 8.28 (модель схемы затухания фазы на одном элементе сыот). Покажите, что один элемент скот может быть использован как модель для затухания фазы, если начальное состояние среды смешанное, причем величина затухания будет определяться вероятностями состояний в смеси. Упражнение 8.29 (унитальность). Квантовый процесс Е уиитален, если Е(1) = 1.
Покажите, что деполяризующий канал и канал с затуханием фазы унитальны, а канал с затуханием амплитуды — нет. Упражнение 8.30 (Тз < Т1). Скорость релаксации Тз фазовой когерентности характеризует экспоненциальное затухание недиагональных элементов матрицы плотности кубвта, тогда как Т1 — скорость затухания диагональных элементов (см.уравнение (7.144)). При затухании амплитуды обе скорости Т1 и Тз отличны от нуля. Покажите, что при затухании амплитуды Тт = Тз, а также, что если имеют место амплитудное и фазовое затухания, то Тз < Ть Упражнение 8.31 (экспоненциальная чувствительность к затуханию фазы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
