М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 116
Текст из файла (страница 116)
Используя (8.126), покажите, что элемент р„= (п~р~тл) матрицы плотности гармонического осциллятора экспоненциально затухает как е "<" с некоторой константой Л в результате затухания фазы. 8.4 Применения квантовых преобразований Формализм квантовых преобразований имеет многочисленные применения. В этом равд. мы опишем два из них. В подрэзд.
8.4.1 рассматривается теория мастер-уравнения — картина квантового шума, дополнительная к формализму квантовых преобразований. Мастоер-ураенекпе описывает квантовый шум в непрерменола времени в терминах дифференциальных уравнений. Этот подход 8.4. Применения квантовых преобразований 481 к квантовому шуму чаще всего используется физиками. В 8.4.2 мы опишем то- мографию квантового процесса — метод экспериментального определения ди- намики квантовой системы.
8.4.1 Мастер-уравнения В самых разнообразных дисциплинах встречаются открытые системы, для изучения которых можно использовать многие методы помимо квантовых преобразований. В этом разделе мы кратко опишем один из таких методов — подход мастер-уравнений. Динамика открытых квантовых систем хорошо изучена в сфере квантовой оптики.
Основной целью в этом контексте, является описание временнбй эволюции открытой системы при помощи дифференциального уравнения, которое адекватно описывает неунвтарное поведение. Такое описание предоставляется мастер-уравнением, которое в свмом общем случае может быть записано в форме Линдблада: — = — -«Н,р«+ Ц21 р1~ — (фу,р)~, (8.134) др 4 — = — — «Н,р«+.у«2в рв+ — в~в р — рв+в 1, дг Ь (8.135) где в+ ы о — повышающий атомный оператор. Ф 31 ~а па ыасле ю где (х, у) = ху + ух обозначает антикоммутатор, Н вЂ” гамильтониан системы (эрмитов оператор, соответствующий когерентной части динамики), а Ьв— операторы Линдблада, представляющие взаимодействие системы со средой. Дифференциальное уравнение записано в приведенной выше форме, чтобы обеспечить то, что процесс вполне положителен в смысле, аналогичном использованному для описания квантовых преобразований.
Также принято считать, что состояние системы и среды в начальный момент является факторизуемым. Кроме того, вывод мастер-уравнения некоторого процесса обычно начинают с гамильтониана модели система-среда, а затем, чтобы определить Ьг, используют приближения Варна и Маркова. Заметим, что в формализме мастер-уравнения в любой момент времеви выполняется равенство 1г(р($)) = 1.
В качестве примера уравнения Линдблэда рассмотрим двухуровневую атомную систему, взаимодействующую с вакуумом и способную к спонтанному излучению. Когерентная часть эволюции атома описывается гамильтонианом Н = -йюо~/2. Ви — это разность энергий атомных уровней. Опонтанное излучение приводит к тому, что атом, находившийся в возбужденном состоянии, переходит, излучая фотон, в основное состояние «О). Это излучение описывается оператором Линдблада,/фв, где в = «0)(Ц вЂ” понижающий атомный оператор, а ч — скорость спонтанного излучения. Мастер-уравнение, описывающее этот процесс, имеет вид 482 Глава 8. Квантовый шум и квантовые преобразования Чтобы решить это уравнение полезно перейти к представлению взаимодействия, т. е. сделать замену переменных: р(г) ~~и~ р(г)е-1н~ Тогда уравнение движения для р выглядит как (8.136) — = 7[2йра+ — У+У р — ра+а ог (8.137) где а еънйа е-ънг е-йище (8.138) (8.139) д.
агнца е-гнс еоийа + = + + Окончательное уравнение движения имеет следующий вид: ор — = 7[2а ра~ — а.~а р — ра+а' 1. а (8.140) Это уравнение легко решить, используя блоховское векторное представление р. Решение определяется формулами Лв = Ля(0)е ~', Л, = Л,(0) гтв+ 1 — гтг Обозначив 7' = 1 — ехр(-2г7), можно легко проверить, что такая эволюция эквивалентна уравнению р = Е(р(0)) аэ Еор(0)Ео ~+ Ег р(0)Е~1 (8.144) где (8.145) (8.146) — элементы, задающие квантовое преобразование Е.
Обратите внимание, что следствием этого преобразования является затухание амплитуды (сравните с уравнением (8.108)). Рассмотренная ситуация — частный случай спин-бозонной модели, в которой маленькая конечномернэл квантовая система взаимодействует с резервуаром простых гармонических осцилляторов. В физике она вано на при описании взаимодействия атомов с электромагнитным излучением, как например, в квантовом резонаторе, атомной или ионной ловушке. Е Е=-[ 1 0 0 ~~1 — 7' 0 чч~ (8.141) (8.142) (8.143) 8.4.
Применения квантовых преобразований 483 Подход мастер-уравнения менее общий, чем формализм квантовых преобразований. Решив мастер-уравнение, можно определить временную зависимость матрицы плотности, Знание ее, в свою очередь означает, что результат может быть выражен как квантовое преобразование в представлении опера торной суммой р(с) = Ее.(1)р(0)е~(), (8.147) ь где Еь(4) — зависящие от времени элементы преобразования, определяемые из решения мастер-уравнения.
Однако квантовый процесс, вырэжанный в термг~- нах представления операторной суммой, не обязательно можно записать в виде мастер-уравнения. Например, квантовые преобрезования могут описывать не марковскую динамику просто потому, что оии характеризуют только изменения состояния, а не непрерывную эволюцию во времени. Тем не менее каждый подход занимает свое место. Фактически даже квантовые преобразования не дают самого общего описания; в равд. 8. б мы рассмотрим некоторые процессы, которые нельзя представить квантовыми преобразованиями.
гг(р)1 + ьг(ХР)Х + Сг(УР)У + гг(ЕР) Я Р— 2 (8.148) гн 8.4.2 'ТЪмография квантовых процессов Квантовые преобразования дают прекрасную математическую модель для открытых квантовых систем, их легко себе представить (по крайней мере для кубитов), но какое отношение они имеют к экспериментально измеримым величинам? Какие измерения должен проделать экспериментатор, чтобы определить динамику квантовой системы? Для классической системы эта элементарная задача известна как идентификация системэс Здесь будет показано, как осуществить аналогичное действие над конечномерной квантовой системой, т. е.— тамвграфию квантвввга процесса.
Чтобы понять томографию процесса, вначале необходимо рассмотреть другую процедуру. Это так называемая томография квантового состояния — метод экспериментального определения неизвестного квантового состояния. Предположим, имеется неизвестное состояние отдельного кубита р. Как можно экспериментально определить р? Если дана единственная копия р, то измерить ее невозможно.
Главная проблема состоит в том, что никакое квантовое измерение не способно гарантированно отличить неортогональные квантовые состояния, такие, как ~0) и (~0) + ~1))/~/2. Тем не менее можно определить р, если есть большое количество экземпляров р. Например, если р — квыповое состояние, полученное в результате некоторого эксперимента, можно просто повторить эксперимент много рэз, чтобы получить много копий состояния р. Предюложим, имеется много копий однокубитовой матрицы плотности р.
Множество 1/~/2, Х/~/2, У/~/2, Я/~/2 образует ортонормированный набор матриц по отношению к скалярному произведению Гильберта-Шмидта, т. е. р можно разложить следующим образом: 484 Глава 8. Квантовый шум и квантовые преобразования Вспомним, однако, что выражения вида Фг(Ар) имеют смысл средних значений набаюдаемыз. Например, чтобы определить йг(Яр), следует измерить наблюдаемую Я большое количество раз т и получить гм гэ,..., в, равные +1 или — 1. Эмпирическое среднее этих значений 2,.
ьч/т — это оценка действительного значения Сг(Яр). Можно использовать центральную предельную теорему, чтобы определить, насколько хороша эта оценка при больших т, когда она становится практически гауссовой со средним значением, равным $г(Яр), и со стандартным отклонением Ь(Я)/~/т, где Ь(Я) — стандартное отклонение одного измерения Я, которое ограничено сверху единицей, так что стандартное отклонение нашей оценки ~ '„, «;/гп не превышает 1/~/т. Подобным же образом с большой степенью надежности можно оценить величины ~г(Хр) и «г(Ур) в пределе большого размера выборки, и, таким образом, получить хорошее приближение для р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
