М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 120
Текст из файла (страница 120)
Пусть состояниям р и а соответствуют блоховские векторы т" и е", - 1+т ааз 1+в" а р= 2 а= 2 (Здесь т — вектор матриц Паули, не нужно путать его с состоянием а.) Легко вычислить расстояние между состояниями а и р в следовой метрике: 1 Р(р, а) = — Сг !р — а.! 2 1 — сг !(т" — е) а!. 4 (9.16) (9.19) Так как (т — в) а имеет собственные значения Цт" — е>, след >(т" — е> ° а! есть 2!т" — е! и Р(р,а) = ~™, (9.20) РЯр111,11а(1!) = Р(р а). (9.21) т. е. расстояние межлу двумя состояниями одного кубита в следовой метрике равно половине обычного евклидового расстояния между их представлениями на сфере Блоха! Это интуитивное геометрическое представление состояния кубита бывает полезно для понимания общих свойств следовой метрики.
Свойства можно предсказать или опровергнуть, рассматривая простые примеры на блоховской сфере. Например, поворот сферы Блоха не меняет евклидового расстояния. Отсюда можно предположить, что следовая метрика может сохраняться при унитарных преобразованиях: 9.2. Насколько близки два квантовых состояния? 501 Это предположение может быть легко проверено. Мы будем часто возвращаться к сфере Блоха при рассмотрении следовой метрики. Для понимания свойств следовой метрики лучше всего начать с доказательства формулы, которая является обобщением выражение (9.3) для классической следовой метрики: (9.22) Р(р, а) = шах сг(Р(р — сг)). Существует способ рассмотрения квантовой следовой метрики, который еще больше связывает ее с классической: Теорема 9.1.
Пусть Е,„= элементы РОУМ, ар„, = МрЕ„,) и ь, гн ЫаЕг„)— вероятности получения результата измерений, обозначенного буквой т. Тогда Р(р,сг) = шахР(р,д ), (н 1 (9.23) где максимум берется по всем РОМ (Е Доказательство. Заметим, что Р(р,д,„) = — ~~г ~ЯЕ (р — а))~. (9.24) Здесь максимум берется либо по всем проекторам Р, либо по всем положительно определенным операторам Р < 1; формула верна в любом из этих двух случаев. Эта формула позволяет дать интересную интерпретацию следовой метрики. Напомним, что элементы РОУМ вЂ” это положительно определенные операторы Р < 1.
Значит, следовая метрика равна максимальной разности вероятностей получения результата измерения, соответствующего элементу Р07М Р, для состояний р и о. Мы докажем формулу (9.22) для случая, когда максимум берется по всем проекторам. Для случая положительно определенных операторов Р < 1 доказательство проводится аналогичным образом. Доказательство основано на том факте, что разность р — о можно представить в виде р — а = с1 — Я, где Я и Я вЂ” полоогсппселько определенные операторы с ортогональными носителями (см.
упр. 9.7). Следовательно, ~р — а~ = Я + Я, и, значит, Р(р, а) = (Фг(Я) + Фг(Я)) /2. Но Фг(Я вЂ” Я) = Фг(р — о ) = О, так что Фг(Я) = Фг(Я), и, следовательно, Р(р-сг) = $г(Я). Пусть Р— проектор на носитель оператора Я. Тогда 'сг(Р(р-а)) = сг(Р٠— Я)) = сг(с;с) = Р(р,а). Пусть теперь Р— произвольный проектор. Тогда сг(Р(р, а)) = сг(Р(С.) — Я)) < сг(РС.1) < 1г(с1) = Р(р, а). Формула (9.22) доказана.
'Упражнение 9.7. Покажите, что для любых состояний р и сг можно представить их разность в виде р — о = Я вЂ” Я, где ссг и Я вЂ” положителъно определенные операторы с ортогональными носителями. (Указание. Используйте спектральное разложение р — а = 'с1РЮ и разбейте диагональную матрицу Р на положителъную и отрицательную части.
Такое разложение нам еще пригодится.) 502 Глава 9. Меры различия квантовой информации Используя спектральное разложение, можно записать р — и = Я вЂ” 8, где Я и Я вЂ” положительно определенные операторы с ортогональными носителями. Следовательно, ~р — сг( = Я + Я и ) Сг(Е~(р — и))( = (Сг(Е~(Я вЂ” Я))( < Сг(Е (Я+Я)) < Сг(Е !р — о ~). (9,25) (9.26) (9.27) Отсюда (9.28) (9.29) (9.30) Р(р,т) < Р(р,п) + Р(о,т). (9.31) Чтобы показать это, заметим, что по уравнению (9.22) существует такой про- ектор Р, что Р(р, т) = Сг(Р(р — т)) Сг(Р(р — <т)) + Сг(Р(п — т)) < Р(р,п) +Р(~т,т). (9.32) (9.33) (9.34) Таким образом, следовая метрика, действительно, является метрикой. Мы еще не знаем всех свойств следовой метрики, однако уже можем доказать несколько действительно необычных результатов, которые оказываются Здесь мы использовали условие полноты для элементов РОУМ, ,'С', Е,„= Х.
Равенство достигается для измерений, РОУМ которых содержит проекторы на носители операторов Я и Я. Эти измерения дают такие распределения вероятностей, что Р(р»ь, с,а) = Р(р, и). Таким образом, если две матрицы плотности близки друг к другу в смысле следовой метрики, то при любом измерении над этими квантовыми состояниями распределения вероятностей результатов близки друг к другу в смысле классической следовой метрики. Это дает вторую интерпретацию следовой метрики для двух квантовых состояний, как наибольшего значения следовой метрики для распределений вероятностей, полученных при измерениях над этими квантовыми состояниями.
Мы использовали термин аследовая метрика», поэтому нужно проверить, выполняются ли для нее свойства метрики на пространстве матриц плотности. Очевидно, что в случае геометрической картины для одного кубита это верно. Верно ли это в более общем случае? Очевидно, что Р(р, и) = 0 тогда и только тогда, когда р = и и что Р(, ) симметрична по своим аргументам. Осталось проверить, что выполняется неравенство треугольника 9.2. Насколько близки два квантовых состояния? 503 полезными во многих случаях. Наиболее интересный результат заключается в том, что никакой физический процесс не может увеличить расстояние между двумя квантовыми состояниями, как это показано на рис. 9.4.
Сформулируем это более точно в виде следующей теоремы: Теорема 9.2 (сохраняющне след квантовые преобразования являются сжимающими). Пусть Š— сохраняющие след квантовые преобразования, а р и гт — матрицы плотности. Тогда Р(Е(р), Е(гт)) < Р(р, гг). (9.35) Дояазангелъс иге о. Используя спектральное разложение, запишем р — гг = Я-Я, где Я и Я вЂ” положительно определенные матрицы с ортогональнымн носителями. Пусть Р— проектор, такой, что Р(Е(р), Е(гт)) = сг[Р(Е(р) — Е(гт))]. Заметим, что Фг(Я)— $г(Я) = 1г(р) — сг(гт) = О, Гг(Я) = Фг(Я) и поэтому Фг(Е®)) = Фг(Е(Я)). Используя это, получим Р(р, о) (9.36) (9.37) (9.38) Теорема доказана.
Существует важный частный случай этой теоремы, который можно понять с помощью следующей аналогии. Представьте, что вэм показывают две различные картины. Если вы достаточно хорошо видите, вам несложно отличить их друг от друга. С другой стороны, если закрыть ббльшие части этих картин, отличить их будет сложнее. Это проиллюстрировано на рис. 9.5.
Аналогично, если мы «закроем» части двух квантовых состояний, расстояние между ними не увеличится. Чтобы это доказать, напомним, что взятие частичного следа является сохраняющим след квантовым преобразованием. Согласно теореме 9.2, для состояний рл~ и о ~~ составной квантовой системы АВ расстояние между р~ = 1гв(р~~) и ~г4 = »гв(гтлв) не больше расстояния между рлв и о'~в, Р(рА с.А) ~ Р(рАВ тАВ) (9.45) 1 — гг [р — гт[ 2 1 — Фг [Я вЂ” Я[ 1 1 — гг(Я) + — гг(Я) 2 2 »г(Е(Я)) + сг(Е(Я)) 1 1 2 2 Вг(Е(Я) ) 1г(РЕЯ)) сг(Р(Е(ч) — Е(Я))) Фг(Р(Е(р) — Е(гт) )) Р(Е(р)-Е(гг)).
(9.39) (9.40) (9.41) (9.42) (9.43) (9.44) 504 Глава 9. Меры различия квантовой информации Рис. 9.4. Сохраняющие след квантовые преобразования являются окимающими в пространстве матриц плотнооти Рис. 9.5. Объекты менее различимы, если доступна только часть информации о них. Во многих случаях нужно оценить следовую метрику для смеси состояний. В этом может помочь следующая теорема.
Теорема 9.3 (сильная выпуклость следовой метрики) . Пусть (рс) и (9с)— распределения вероятностей, с одинаковым набором индексов, а р; и <тс — матрицы плотности с тем же набором индексов. Тогда Р у Рсрь „~ Чести ~ (Р(рь Чс) + ~~ РсР(Ро стс) (9 4б) где Р(рь цс) — классическая следовая метрика для распределений вероятностей (р;) и (дД. Это свойство используется при доказательстве выпуклости следовой мет- рики, поэтому мы называем его сильной выпуклостью. 9.2.
Насколько близки два квантовых состояния? 505 Довез агпель ство. В соответствии с формулой 9.22 существует проектор Р, такой, что Р Яр;ри ~ Ъа< = ~~~ р;1г(Рр~) — ~ 4гСт(Рог) (9.47) г В г г — рМ(Р(рг — оз)) + ~~~ (р; — 9;) 1г(Ро;) (9.48) В г < 'ЕРР(Рг а?)+Р(Р Ря) (9.49) где Р(рь 4г) — классическая следовая метрика для распределений вероятностей (1а) и (дг). Формула (9.22) использована в последней строке. Частным случаем этой теоремы является тот факт, что следовая метрика является совместно вмпркаой по своим аргументам: Р ,'> р;р;, ~~ р;а; < ~ р<Р(рь а,). (9.50) Упражнение 9.8 (выпуклость следовой метрики). Покажите, что сле- довая метрика выпукла по своему первому аргументу: Р ~ ргрг,а < '> р~Р(риа). (9.51) Е(р) = рро + (1 — р)ЕЪ ) (9.52) для некоторого 0 < р < 1.
Это означает, что входное состояние р с вероятностью р заменяется на состояние рс, а с вероятностью 1 — р изменяется с помощью Так как следовая метрика симметрична, из выпуклости по первому аргуыенту еле,зует выпуклость по второму аргументу. Упражнение 9.9 (существование неподвижной точки). Теорема Ша- удера о неподеижной гпочке — классический математический результат, заклю- чающийся в том, что любое непрерывное отображение в себя выпуклого ком- пактного множества в гильбертовом пространстве имеет неподвижную точку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
