М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 124
Текст из файла (страница 124)
Поэтому мы преимущественно будем использовать точность воспроизведения запутанности при изучении квантовой теории информапди в гл. 12. Эту главу мы завершим коротким списком легко доказываемых свойств точности воспроизведения запутанности, которые пригодятся нам в следующих главах. (1) О < Р(р, Е) < 1. Следует из свойств статической степени совпадения. (2) Точность воспроизведения запутанности линейна по второму аргументу.
Следует из определения точности воспроизведения запутанности. (3) Для чистых состояний точность воспроизведения запутанности равна квадрату статической степени совпадения входных и выходным состояний, (9.142) Это следует из того, что чистое состояние ф) является расширением состояния самого себя и нз определения точности воспроизведения запутанности. (4) Р(р„Е) = 1 тогда и только тогда, когда для всех чистых состояний !ф) из носителя р Е(|Ф)(Ф!) = !Ф)(Ф!.
(9.143) Чтобы доказать это, предположим. что Р(р, Е) = 1, а !ф) — чистое состояние из носителя р. Введем величину р = 1/(фр ~!ч') > О (см. упр. 2.73) и такую мэтрицу плотности ~т, что (1 — р)п = р — р®)(ф. Используя выпуклость, получим (9.144) Отсюда следует Р(ф), Е = 1, что и требуется. Доказательство обратного утверждения заключается в простом применении определения точности воспроизведения запутанности. 9.3. Насколько квантовый канал сохраняет информацию7 523 (5) Пусть (фЕ()Ф) (р!) ф) > 1 — и для всех ~ф) из носителя р и некоторого и, Тогда Р(р, Е) > 1 — (39/2) (см.
задачу 9.3). Задача 9.1 (альтернативное определение степени совпадения). Пока- жите, что Р(р,п) = !пГСг(рР) сг(пР 1), (9.145) где нижняя грань берется по всем невырожденным положительно определенным матрицам Р. Задача 9.2. Пусть Š— сохраняющее след квантовое преобразование, Пока.- жите, что существует набор элементов этого преобразования (Ь~), такой, что Р(р, Е) =! Гг(рЕ )[~. (9.146) Задача 9.3. Докажите сформулированное выше свойство (5) точности вос- произведения запутанности. Краткое содержание главы ° Следовая метрика: Цр, и) ээ 1 Фг [р- о ~, дважды выпуклая метрика матриц плотности, уменьшающаяся под действием сохраняющих след квантовых преобразований. ° Степень совпадения: Пр, ) = с /р Э р 1 = ~ЭЬ)~.
!э! !т! Сильно вогнута: Р( „р;ро Я,д;и,) > ',) '„.,/рд;Р(рогп). ° Точность воспроизведения запутанности: Р(р,Е). Мера того, насколько хорошо сохраняется запутанность при кваитовомеханическом процессе, в котором система Я, нахцдящаяся в состоянии р и запутанная с системой Я, подвергается квантовому преобразованию Е. История и дополнительная литература Читатели, желающие узнать больше о мерах реализации квантовой информации, могут начать с диссертации Фукса 1996 года [157].
Она содержит большо количество материала по мерам различия, в том числе 528 ссылок на работы, сгруппированных по темам. Кроме того, там можно найти доказательство формулы (9.74) и еще много интересного. Доказательство того, что квантовое преобразование уменьшает следовую метрику, было выполнено Рускаи [343[. Мо- 524 Глава 9. Меры различия квантовой информации нотонность степени совпадения доказана Барнумом, Кейвсом, Фуксом, Йожа и Шумахером [34[. Иногда в литературе степенью совпадения называют квадрат величины, которую мы назвали степенью совпадения.
В работа Ульмана [394[, где Ульман доказывает названную его именем теорему, также подробно обсуждаются основные свойства степени совпадения. Доказательство теоремы Ульмана, приведенное в этой книге, принадлежит Йожа [203[. Цепное свойство степени совпадения и его связь с квантовым вычислением при наличии шума детально описаны Аароновой, Китаевым и Нисаном [10[.
Шумахер [352[ ввел понятие точностпи воспроизведения запутанности и доказал множество ее основных свойств. Нилл и Лафлам [216[ установили связь между степенью совпадения и точностью воспроизведения запутанности (задача 9.3). Более подробное доказательство этого факта приведено в работе Барнума, Нилла и Нильсена [60]. Задача 9.1 принадлежит Альберти [14[. Глава 10 ИСПРАВЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ ОШИБОК Мы узнали, что запутанность можно победить запутанностью. Джон Прескилл Ошибаться и исправлять ошибки — часть божьего замысла.
Уильям Блейк В этой главе объясняется, как сделать надежной обработку квантовой информации при наличии шума. Излагаемый материал охватывает три большие темы: основы теории квантовых ходов, исправляющих ошибки; квантовые вычисленил, устоачивые к ошибкам; пороговол теорема. Мы начнем с изложения основ теории квантовых кодов, исправляющих ошибки, которые позволяют защитить квантовую информацию от шума. С помощью этих кодов выполняется кодирование квантовых состояний специальным образом, делающим их устойчивыми к влиянию шума, а затем декодирование, когда понадобится восстановить исходное состояние. В равд. 10.1 рассмотрены основные идеи исправления классических ошибок и некоторые принципиальные условия, которые должны быть выполнены, чтобы было возможно исправление квзлтовых ошибок.
В разд. 10.2 приведен простой пример кода, исправляющего ошибки, который мы в разд. 10.3 обобщим в теорию квантовых кодов, исправляющих ошибки. В разд. 10.4 объяснено несколько идей классической теории линейных кодов и то, как из них получаются квантовые коды Кальдербанха-Жора-Стиха (СЯБ коды). Раздел 10.5 дополнит наш обзор квантовых кодов, исправляющих ошибки, обсуждением хорошо разработанного класса симплектических (стабилизирующих) кодов, тесно связанных с классическими кодами, исправляющими ошибки. При рассмотрении теории исправления квантовых ошибок предполагаем, что кодирование и декодирование квантовых состояний могут быть выполнены безошибочно. Это справедливо, если, например, мы хотим передать квантовые состояния по каналу связи с шумом и можем использовать почти безошибочные квантовые компьютеры для кодирования и декодирования состояний на входе и выходе канала.
Однако, такое предположение нельзя сделать, если квантовые элементы, используемые для кодирования и декодирования, сами подвержены шуму. К счастью, теория квантового вы"шсленил, устойчивого 1с 526 Глава 10. Исправление квантовых ошибок ошибкам, которая излагается в равд. 10.6, позволяет обойтись без предположения об идеальности кодирования и декодирования. Более того, устойчивость к ошибкам позволяет производить логические операции над закодированными квантовыми состояниями так, чтобы исключить в них ошибки.
Глава завершается пороговой теоремой квантовых вычислений (подразд. 10.6.4): если шум в казсдам квантовом элементе системы меньше некоторого постоянного порогового значения, с помощью этой системы можно выполнить произвольно длинное квантовое вычисление. Конечно, зто утверждение верно не во всех случаях, мы обсудим условия его применимости. Тем не менее, пороговая теорема является важным результатом, покавывзющим, что шум, судя по всему, не является фундаментальным препятствием для длинных квантовых вычислений. 10.1 Введение (10.1) (10.2) 0 — + 000 1 -+ 111.
Строки 000 и 111 иногда называют логическим О и логическим 1, так как они играют роль нуля н единицы соответственно. Теперь мы передаем все три бита ло каналу, Адресат, получнв три бита, должен решить, каково было значение походного битв, Предположим, что было получено 001. Если вероятность из- Шум очень мешает работе вычислительных систем.
Мы стремимся строить наши системы так, чтобы полностью избежать шума. Если же зто невозможно, мы стараемся защитить их от его последствий. Например, компоненты современных компьютеров очень надежны, обычно в них происходит менее одной ошибки на 10ы операций, Для большинства практических задач можно считать, что в компонентах компьютера полностью отсутствует шум. С другой стороны, многие широко используемые системы существенно подвержены шуму. Модемы и С0-проигрыватели используют коды, исправляющие ошибки, чтобы защититься от него.
Методы борьбы с шумом могут быть достаточно сложными, по их основные принципы понять довольно просто. Ключевая идея состоит в том, что если мы хотим защитить сообщение от шума, нужно закодировать его, добавив некоторую избыточную информацию. Таким образом, даже если часть информации в закодированном сообщении будет испорчена, избыточность позволит нам декодировав его, восстановить всю исходную информацию. Например, предположим, что мы хотим передать из одного места в другое один бит информации по классическому каналу связи с шумом. Шум в канале изменяет бит с вероятностью р > 0; с вероятностью 1 — р бит передается без ошибки. Такой канал называют двоичным симметричным каналом, его схема изображена па рпс.
10,1, Простое средство защиты передаваемого бита от шума в двоичном симметричном канале — заменить его на трн копии:. 10.1. Введение 527 менения бита р не слишком велика, то в канале наверняка был изменен третий бит, и исходный бит был О. 1-р о о Рис. 10.1. Двоичный симметричный канал. Этот тип декодирования называется выбором по большписшер, так как окончательное значение 0 или 1 определяется по тому, какое из значений встретилось ббльшее число рэз. Выбор по большинству не сработает, если при передаче изменились два или три бита. Вероятность этого Зрэ(1- р) + рэ, т. е, вероятность ошибки в нашей системе р, = Зрэ — 2рэ.
Вез кодирования вероятность ошибки р. При использовании этого кода передача более надежна (р, < р), если р < 1/2. Только что описанный тип кода называют кодом с повторением, так кэк кодирование сообщения заключается в повторении его несколько раз. Аналогичный метод используется и прн разговоре: если мы не понимаем кого-то, например из-за иностранного акцента, то просим повторить сказанное. Мы можем не разобрать всех слов при каждом повторе, но, объединив их вместе, можно понять все сорбщение. В теории кодов, исправлнющих классические ошибки, разработано много сложных методов, однако основная идея всегда заключается в добавлении избыточной информации прн кодированк, количество которой выбирается в зависимости от интенсивности шума в канале так, чтобы можно было восстановить исходное сообщение, 10.1.1 Трехкубитовый код! исправляющий классические ошибки Чтобы защитить квантовые состояния от шума, нам хотелось бы разработать кво итлоеме коды, исправляющие ошибки, которые основаны на подобных принципах.
Существует несколько важных различий между классической и квантовой информацией, поэтому нужны новые идеи, чтобы оседать такие коды. На первый взгляд, мы имеем трн проблемы: ° Невозможность копирования. Можно было бы попытаться использовать код с повторением, копируя квантовые состояния три или более раз. Однако, это запрещено теоремой о невозможности копирования (см. Вставку 12.1). Даже если копирование возможно, нельзя измерить и сравнить три квантовых состояния, переданных по каналу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
