М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 126

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 126)

Это наводит на мысль использовать для исправления фазовых ошибок состояния (Оь) ы !+++) и !1ь) = ! — -) в качестве логических нуля и единицы. Все операции исправления ошибок — кодирование, обнаружение ошибки и восстановление — выполняются так же, как для канала с классической ошибкой, но в базисе )+) и ! — ) вместо )0) и )1).

Для замены базиса мы используем элемент Адамара. 532 Глава 10. Исправление квантовых ошибок )О) !О) Рис. 10.3. Схема кодировакия для трехкубитового кода, исправляющего фаэоаые ошибки. Кодирование для канала с фазовой ошибкой осуществляется в два этапа. Сначала мы кодируем состояние одного кубита тремя кубитами, точно так же, как для канала с классической ошибкой, и затем применяем преобразование Адамара к каждому из этих трех кубитов (рис. 10.3). Поиск ошибки производится такими же проективными измерениями, как и раньше, но сопряженными преобразованиями Адамара, Р, г Р' гн НэзР Ншэ. Точно так же, синдромы ошибки могут быть найдены измерением величин Нэ~ЕгЕэНээ = ХгХэ и НиэЕэЕэНеэ = ХэХэ. Интересно интерпретировать эти измерения аналогично измерениям ЕгЕэ и ЕэЕэ при исправлении классической ошибки.

Здесь измерения ХгХэ и ХэХэ соответствуют сравнению знаков первого и второго или второго и третьего кубитов соответственно. Действительно, измерение ХгХэ дает +1 для состояний типа )+)/+)Э( ) или / — )/ — ) Э( ) и -1 для состояний типа )+)/ — ) Э ( ) или / — )/+) Э ( ).

Обнаруженная ошибка исправляется теми же операторами, что и в случае классической ошибки, но также сопряженными с преобразованием Адамара. Например, если мы обнаружили изменение знака первого кубита с ~+) на ~ — ), мы исправляем ошибку, действуя на первый кубит оператором НХг Н = Ем Аналогично мы поступаем и в случае других ошибок.

Очевидно, что код, исправляющий фэзовые ошибки, имеет те же характеристики, что и код, исправляющий классические ошибки. В частности, он имеет такую же минимальную степень совпадения и, следовательно, тот же критерий большей надежности по сравнению с отсутствием исправления ошибок. Мы можем назвать каналы с фэзовой и классической ошибками унитарно экеивааеяшнмми, так как существует такой унитарный оператор У (преобразование Адамара), что действие одного канала совпадает с действием другого, если на вход первого канала применяется оператор Н, а на выходе сг'г.

Эти операторы могут быль включены в схемы кодирования и исправления ошибок; для произвольных унитарных операторов эта идея отражена в задаче 10.1. 'Упражнение 10.4. Рассмотрим трехкубитовый код, исправляющий классические ошибки. Предположим, что мы находим синдром ошибки, измеряя восемь ортогонэльных проекторов на состояния вычислительного базиса. (1) Укажите соответствующие проекторы и объясните, как нужно интерпретировать результаты измерений? Как определить, произошла ли ошибка, и если произошла, то в каком из трех кубитов? 10.2.

Код Шора 533 (2) Покажите, что процедура восстановления может быть выполнена только для состояний вычислительного базиса. (3) Какова минимальная степень совпадения для такой процедуры исправ- ления ошибок? 10.2 Код Шора Существует простой квантовый код для исправления пропзвальиоб ошибки в одном кубите. По имени создателя он назван кодом Шара. Этот код является комбинацией трехкубитовых кодов, исправляющих классические и фазовые ошибки. Кубит сначала кодируется кодом, исправляющим фазовую ошибку, $0) -ъ $+++), $1) -+ $ — — ), а затем каждый из полученных кубитов кодируется кодом, исправляющим классическую ошибку: $+) — + ($000) + $111))/~/2, $ — ) -е ($000) — $111))/~/2. Получается девятикубитовый код с кодовыми словами ($000) + $111))($000) + $111))($000) + $111)) $0) — + $0б) 2~/2 ($000) — $111) ) ($000) — $111) ) ($000) — $111) ) $1) $1) 2~/2 (10.13) $Ф $0) Рис.

10.Я. кодирующая схема для девятикубитпвпто кода шора часть состояний $0) изображена с отступом, чтсбы показать, что вта схема получена объединением двух предыдущих Кодирующая схема для кода Шора показана на рис. 10.4. Первая часть схемы такая же, как для кода, исправляющего фезовую ошибку (ср. с рис. 10.3).

534 Глава 10. Исправление квантовых ошибок Вторая часть — три копии схемы для кода, исправляющего классическую ошибку (рис. 10.2). Такое объединение кодов называют касяадимм. Аналогичным образом можно строить новые коды из комбинации уже известных; мы будем пользоваться этим методом для получения некоторых важных результатов относительно исправления квантовых ошибок. Код Шора исправляет как фэзовую так и классическую ошибку в любом кубите.

Чтобы показать это, предположим сначала, что произошла классическая ошибка в первом кубите. Как в случае кода, исправляющего классическую ошибку, мы производим измерение Я1 Яэ и находим, что первые два кубита различаются. Это показывает, что ошибка произошла в одном из них. После этого мы сравниваем второй и третий кубиты. Производя измерение Я9Яз„находим, что они совпадают. Мы делаем вывод, что ошибка произошла в первом кубите и исправляем ее, переворачивая этот кубит. Аналогично мы можем обнаружить и исправить ошибку в любом из девяти кубитов. Подобным образом мы поступаем с фазовой ошибкой. Предположим, что она произошла в первом кубите. При этом изменится знак в первом блоке кубитов: (000) + (111) изменится на (000) — )111) и наоборот.

Более того, к такому изменению приведет фазовая ошибка в любам из первых трех кубитов. Процедура, которую мы сейчас опишем, исправит любую из этих трех ошибок. Нахождение синдрома начинается со сравнения знака первого и второго блоков куб итон. Например, блоки ()000) — ) 111) ) ((000) — ) 111) ) имеют одинаковый знак, а ()000) — )1П))()000) + (111)) — разные. Если фвзовая ошибка произошла в каком-то из первых трех кубитов, мы обнаружим, что знаки первого и второго блоков различны.

После этого мы сравниваем знаки второго и третьего блоков и находим, что они совпадают. Мы делаем вывод, что ошибка произошла в первом блоке нз трех кубитов и исправляем ее, меняя знак первого блока. Так можно исправить ошибку в любом из девяти кубитов. Упражнение 10.5. Покажите, что нахождение синдрома для обнаружения фазовой ошибки в коде Шора эквивалентно измерению Х7хзхзхвхвхв и Хвха хех7хехв. Упражнение 10.6. Покажите, что исправление фэзовой ошибки в одном из трех первых кубитов может быть выполнено с помощью оператора Я1 Я9Я9.

Предположим теперь, что в первом кубите возникли и классическая и фазовая ошибки, т. е. на него подействовал оператор ахи Легко видеть, что в этом случае процедура исправления классической ошибки обнаружит и исправит классическую ошибку, а процедура исправления фэзовой ошибки обнаружит и исправит фэзовую ошибку в первом блоке из трех кубитов. Таким образом, код Шора может исправить комбинацию из классической и фазовой ошибок в одном кубите. Более того, сейчас мы покажем, что код Шора может исправить произвольную ошибку, при условии, что она произошла только в одном кубите.

Ошибка может быть очень маленькой вроде поворота сферы Блоха на угол х/263 радиан вокруг оси в или, наоборот, очень большой, вроде замены кубита на произвольное неправильное состояние. Интересно, что для исправления таких ошибок нам не потребуется никакой дополнительной работы: толь- 10.2. Код Шора 535 ко что описанная процедура хорошо подходит для этого случая. Это пример той необычной ситуации, когда непрерывное множество ошибок одного кубита может быть исправлено с помощью процедуры, исправляющей некоторое дискрегпиое подмножество ошибок. Все остальные возможные ошибки исправляются автоматически. Такая дискретизация делает исправление квантовых ошибок возможным в отличие от исправления классических ошибок в аналоговых вычислительных системах, где подобная дискретизация невозможна.

Чтобы упростить рассмотрение, предположим, что произвольная ошибка возникает только в первом кубите. Потом мы вернемся к случаю, когда шуму подвержены и другие кубнты. В соответствии с материалом, изложенным в гл. 8, мы описываем шум сохраняющим след квантовым преобразованием Е. Нам удобно представить преобразование Е в виде операторной суммы с элементами (Е;). Предположим, что состояние закодированного кубита до возникновения ошибки ~ф) = а)0ь) + Д1ь).

Состояние после действия шума будет Е((ф)(ф~) = 2, ЕЯ ЯЕ1. Рассмотрим один из членов суммы, ЕЯЯЕ1. Так как оператор Е; действуег только на первый кубит, его можно представить в виде линейной комбинации тождественного оператора 1, оператора классической ошибки Хм оператора фазовой ошибки Я~ и Х~Яь (10.14) Е; = е о1+ епХ~ + е гА + е;зХ~Я~ Квантовое состояние Е; ~ ф) (ненормированное) может быть записано как супер. позиция состояний ~ф), Х~~ф), Е~~ф) и Х~Е~~ф).

Измерение синдрома ошибки переведет это состояние в одно из четырех состояний )ф), Х~~ф), Я~)ф) или Х~ Я~ ф). Исходное состояние ~ф) может быть восстановлено из каждого из них выполнением соответствующей операции. Все это верно и для других элементов преобразования Еь Таким образом, восстановление исходного состояния возможно независимо от вида ошибки. Это основное и очень важное свойство квантового исправления ошибок: квантовый код, исправляющий некоторое дискретное множество ошибок (фазовую, классическую или их комбинацию, как в этом примере), способен автоматически исправлять гораздо большее (непрерывное!) множество ошибок.

Что же происходит, когда шуму подвержено более одного кубита? С этим вопросом нам помогут разобраться две простые идеи. Во-первых, во многих случаях можно приближенно считать, что шум действует на кубиты независимо. Если влияние шума на кубит достаточно мало, можно представить действие шума в виде суммы с членами, соответствующими отсутствию ошибки, ошибке в одном, двух и т.д. кубитах.

При этом первые два члена будут много больше остальных. Исправляя ошибку, мы избавляемся от этих двух членов и оставляем члены более высокого порядка, получая суммарное уменьшение ошибки. Более подробный анализ этой идеи будет дан ниже. Иногда, конечно, нельзя предполагать, что шум действует на кубиты независимо. В этом случае мы используем другой подход: коды, исправляющие ошибки в более чем одном кубите. Такие коды могут быть построены способом, аналогичным построению кода Шора. Основные идеи того, как это может быть сделано, мы объясним позднее в этой главе.

Характеристики

Список файлов книги