М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 129
Текст из файла (страница 129)
(10.44) Степень совпадения будет удовлетворять соотношению Г> (1 — р)" Ц1 — р+пр) =1 — — р +0(р ). (10.45) (х) э з 2 Таким образом, если вероятность ошибки р достаточно мала, использование кода, исправляющего ошибку, увеличивает степень совпадения закодированных квантовых состояний.
544 Глава 10. Исправление квантовых ошибок Не все каналы с шумом могут быть описаны просто случайной комбинацией отсутствия ошибки, классической ошибки, и фэзовой ошибки, и сочета; ния классической и фазовой ошибок. Многие реальные квантовые каналы не имеют такой интерпретации.
Рассмотрим пример затухания амплитуды (см. подрэзд. 8.3.5) с элементами преобразования Еэ и Е~. (10.46) Параметр т — небольшое положительное число, характеризующее величину за тухания амплитуды; при уменьшении 7 до нуля затухание ослабевает и канал становится бесшумным. Естественно было бы предположить, что канал с затуханием амплитуды имеетэквивэлентноеописание втерминахнабораэлементов преобразования, причем один из элементов пропорционален тождественному оператору, Щу)1, Е'„Еэ',...), где Д у) -+ 1 при у -+ О.
Если это так, то канал с затуханием амплитуды, действующий на кубиты независимо, можно рассматривать так же, как и деполяризующий канал. Однако оказывается, что такое описание канала с затуханием амплитуды невозможно! Это следует из теоремы 8.2 просто потому, что для 7 ) 0 не существует линейной комбинации Ес и Ем пропорциональной тождественному оператору, и, следовательно, множество элементов преобразования для канала с затуханием амплитуды не может содержать такой член. Аналогично многие другие шумовые процессы в квантовой механике в физическом смысле близкие к тождественным, не могут быть представлены операторной суммой с большой тождественйой компонентой.
Интуитивно понятно, что и в этом случае исправление ошибки должно привести к увеличению степени совпадения квантовой информации, если шум достаточно слаб. Сейчас мы покажем, что это действительно так, используя в качестве примера канал с затуханием амплитуды. Простое вычисление показывает, что минимальная степень совпадения для такого канала, действующего на один кубит, равна ~/Г- ~. Предположим теперь, что кубит кодируется и-кубитовым квантовым кодом, способным исправлять произвольные ошибки в одном кубите, и что канал с затуханием амплитуды с параметром у действует независимо на каждый кубит.
Мы покажем в общих чертах, что исправление квантовых ошибок позволяет достичь степени совпадения до 1 — 0(.у~), так что для малых значений 7 кодирование кубита дает уменьшение ошибки. эгпражиение 10.13. Покажите, что минимальная степень совпадения Е(~Ф),Е®)(ф)), где Š— преобразование для канала с затуханием амплитуды с параметром у, равна ~/à — 7.
Вводя обозначение Е, ь для действия Е на й-й кубит, запишем действие шума на закодированные кубиты в виде 10.3. Теория исправления квантовых ошибок 845 Е "(Р) =(Ео,1ЗЕсдЗ" ЗЕо,»)РЯо,1 ЗЕодЗ" ЗЕс,») Е1 З ®Есу „ Е1,1 З ® Еод + 0(7~). (10.47) Подставив выражение Ес = (1 — 7/4)1+ 7Я/4+ 0(7~), Е1 = 1/7(Х + 1у )/2 в (10.47), получим сн»( ) (1 7)в» 7 (1 7)~" 'т, (т 21) ,1=1 7 з»-г " + — (1 — -) вв (Ху + 11')р(Х вЂ” 11~) + О( уз). (10.48) 1=1 (1 — -) р+ 2п- (1 — — ) р+ 0(7~) = р+ 0(7~).
(10.49) Таким образом, с точностью до членов порядка уэ исправление ошибки возвращает квантовую систему к исходному состоянию р, и при слабом шуме (у мало) исключает ошибки, как и в случае деполяризующего канала. Наше рассмотрение было проведено для канала с затуханием амплитуды, однако его несложно распределить и на другие модели шума. Однако, в этой главе мы в основном будем работать с моделями шума, которые можно представить стохастическим набором операторов ошибок, соответствующих матрицам Паули, как в случае деполяризующего канала. Это позволит нам использовать методы классической теории вероятностей. Рассмотренные цдеи можно распространить на более широкий класс моделей шума способом, подобным тому, который мы только что описали. 35.
вв»в вы Пусть р — состояние из пространства кодов. Очевидно, что исправление ошибки не должно менять его. Влияние слагаемых Я р и РЯ легче всего понять, рассматривая Е ~ф) (ф~, где ф) — состояние из пространства кодов. По предположению, код таков, что ошибка Яу переводит )ф) в подпространство, ортогональное пространству кода, так что при определении синдрома члены Яу ф) (ф~ исчезают.
(Заметим, что даже если не предполагать ортогональность, подобное рассмотрение может быть проведено в терминах операторов ошибки, которые переводят состояние из пространства кода в ортогональные пространства.) Таким образом члены Е р, РЯ, Х.ру' и У'РХ исчезают после исправления ошибки, а члены Х РХ1 и Ъ' ру' переходят в р, так как код может исправлять ошибки в одном кубите. После исправление ошибок состояние системы будет иметь вид 546 Глава 10. Исправление квантовых ошибок 10.3.3 Вырожденные коды Коды, исправляющие квантовые ошибки, во многом похожи на коды, исправляющие классические ошибки.
Как и в классическом случае, ошибка определяется путем измерения синдрома и затем исправляется. Однако существует интересный класс кодов, исправляющих квантовые ошибки, так называемые вырожденные коды, которые существенно отличаются от кодов, исправляющих классические ошибки.
Это можно показать на примере кода Шоре. Рассмотрим действие ошибок Я~ и Яэ на закодированное кодом Шора состояние. Как мы уже отмечали, действие этих ошибок одинаково для состояний ~0ь) и ~1ь). В классическом случае ошибки в разных битах обязательно ведут к различным результатам.
Вырожденные коды имеют как достоинства, так и недостатки. С одной стороны, к ним неприменимы классические методы доиазательства, используемые для получения условий исправления ошибок. Мы увидим это в следующем подразделе, где рассматривается квантовая граница Хэмминга. С другой стороны, вырожденные коды — одни из самых интересных квантовых кодов! В некотором смысле они могут «содержать в себе больше информации», чем классические коды, так как различные ошибки не обязательно должны переводить пространство кодов в ортогональные нодпространства. Возможно (хотя еще и не доказано), что это позволит создать вырожденный код, сохраняющий информацию более эффективно, чем любой невырожденный код. 10.3.4 Квантовая граница Хэмминга Для различных приложений нужны по возможности «нанлучшие» квантовые коды.
Что означает слово «наилучшие» вЂ” зависит от конкретной задачи. По этой причине нам хотелось бы иметь некоторый критерий, который определяет, существует ли код с заданными характеристиками. В этом разделе мы рассмотрим квантовую границу Хэмминга — простое неравенство, дающее некоторую информацию об общих свойствах квантовых кодов. К сожалению, это неравенство применимо лишь к невырожденным кодам, но оно даст нам идеи, как должны выглядеть более общие неравенства. Пусть невырожденный код используется для кодирования й кубитов и кубитами так, что исправление ошибки возможно в любом наборе из $ или меньшего числа кубитов. Допустим, произошло у ошибок, причем у < $.
Возможны (".) вариантов расположения ошибочных кубитов. Для каждого из них существуег 31 возможных ошибок (в каждом кубите может произойти одна из трех ошибок — Х, У и Я). Следовательно, полное число возможных ошибок в $ или меньшем числе кубитов равно (10.50) (Обратите внимание, что у = 0 соответствует отсутствию ошибки, т. е. «ошибке» Х.) Чтобы закодировать я кубитов невырожденным способом, все ошиб- 10.4. Построение квантовых кодов 547 ки должны соответствовать попарноортогональным 2"-мерным подпростран- ствам в 2"-мерном пространстве.
Из этого следует неравенство ( )П2 ~2" у=о (10.51) Это и есть квантовая граница Хэмминга. Пусть, например, мы кодируем один кубит и кубитэми так, чтобы любая ошибка в одном из кубитов могла быть исправлена. В этом случае граница Хэмминга имеет вид 2(1+ Зп) < 2". (10.52) Подстановка показывает, что неравенство выполняется только при п > 5. Следовательно, не существует невырожденный код, кодирующий один кубит менее, чем пятью кубитами, и способный исправить любые ошибки в одном кубите.
Конечно, не все квантовые коды невырождены, так что граница Хэмминга не является универсальным критерием существования квантового кода. (Тем не менее на момент написания книги не известно кодов, даже вырожденных, которые нарушали бы границу Хэмминга). Позже мы приведем неравенства, которые могут быть применимы к любым квантовым кодам. Например, в подрэзд. 12.4.3 мы докажем квантовую гранину Синглтона: любой код, кодирующий э кубитов п кубитами и исправляющий ошибки в 1 кубитах, должен удовлетворять неравенству п > 4$ + л.
Отсюда следует, что для наименьшего кода, кодирующего один кубит и исправляющего любую ошибки в одном кубите, должно выполняться неравенство п > 4+ 1 = 5, то есть он должен быть пятикубитовым. 10.4 Построение квантовых кодов Теперь мы имеем теоретическую основу для изучения квантовых кодов, исправляющих ошибки, по у нас еще нет достаточного количества примеров таких кодов. Чтобы исправить это, мы начнем с краткого введения в теорию классических линейных кодов в подрэзд. 10.4.1, затем в подразд. 10.4.2 объясним, как идеи теории классических линейных кодов могут быть использованы для построения большого класса квантовых кодов, известных как коды Кальдербанка — Шора — Стина (СЯЯ коды).
Разд. 10.5 посвящен симплектическим кодам, еще более широкому классу кодов, чем СЯЯ коды, который обеспечивает эффективные средства для построения большого числа различных квантовых кодов. 10,4.1 Классические линейные коды Классические коды, исправляющие ошибки, имеют множество технических приложений, тэл что неудивительно, что хорошо разработана теория для таких кодов. Наш интерес к методам классического исправления ошибок вызван тем, 548 Глава 10. Исправление квантовых ошибок что многие из них могут быть использованы при исправлении квантовых ошибок.
Особенно интересна теория классических линейных кодов, которая может быть применена для разработки большого числа хороших квантовых кодов, исправляющих ошибки. В этом разделе дан обзор классических линейных кодов, причем основное внимание уделено идеям, важным для исправления квантовых ошибок. Лииебииб код С, кодирующий й битов информации в и-битовое пространство кода, задается порождающей ( образующей) матрицсй С размера п х й с элементами из пространства 2э (т. е. с нулями и единицами). Матрица С преобразует исходное сообщение в код; й-битовое сообщение х кодируется в Сх, где х рассматривается как 7-вектор столбец. Умножение и все другие арифметические операции в этом разделе производятся по модулю 2. В качестве простого примера рассмотрим образующую матрицу кода с повторением, которая преобразует один бит в три его копии: '] (10.53) Умножение матрицы С на возможные входные сообщения 0 и 1 преобразует их в закодированную форму: С[0] = (О, О, 0) и С[1] = (1, 1, 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
