М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 132
Текст из файла (страница 132)
Так как С~ является [7, 4]-кодом, а Сзл — [7, 3]- кодом, то СЯЯ(См Сз) — квантовый [7, Ц-код, способный исправлять ошибки в одном кубите. Этот квантовый [7, 1]-код нам будет удобно использовать в примерах этой главы. По имени создателя он называется кодам Стива Кодовые слова из Ся могут быть легко получены из (10.77) и упр. 10.28. Мы не будем выписывать их явно, а запишем их в качестве составляющих состояния [Оь) кода Стина, [О+ С,): 10.5. Симплектические коды 557 10.5 Симплектические коды Мы когерентпностаь делим, чтоб спастпи Ее',когда один нарушив бит, У нас ошибка встпанет на путин И время вычислений удлинит. Так можем сдвиг по фазе мы учесть.
Когда ж ошибка вновь вкрадетсл в код, Ее' мы измеряем — и Бог весть, По Х, по У или Я она пойдет. ХХз зашумленных девяти, семи, пяти Один выводим точный. Чтобы сбой Отсечь, мм данные должны найти, Что коммутаировать способны меж собой. Призвав на память группы, мы учтем Ошибки квантовмм путем. Сонет по исправлению квантовых ошибок Д. Готтесмана Симплектические (стабилизирующие) коды являются важным классом квантовых кодов. Они строятся аналогично классическим линейным кодам. Чтобы понять симплектические коды, полезно сначала разработать формализм стабилизаторов, эффективный метод описания широкого класса квантовомеханических преобразований.
Применение формализма стабилизаторов выходит далеко за пределы квантового исправления ошибок. Однако, в этой книге мы используем его в основном для этой цели. После введения формализма стабилизаторов мы покажем, как с его помощью можно описать унитарные элементы и измерения, а также приведем важную теорему, определяющую ограничения на применение стабилизаторов. Затем опишем построение симплектических кодов, приведем конкретные примеры кодов и схемы для кодирования, декодирования и исправления.
10.5.1 Формализм стабилизаторов Основная идея формализма стабилизаторов может быть проиллюстрирована следующим примером. Рассмотрим ЭПР состояние двух кубитов )00) + (11) ,/г (10.80) Легко проверить, что это состояние удовлетворяет равенствам Хт Хг(тр) = )тр) и ЯтЕг)ф) = (тд); мы говорим, что состояние )тд) стабилизируется операторами ХдХг и ЕтЯг. Очевидно, что это единственное такое состояние с точностью до общего фазового множителя. Основная идея формализма стабилизаторов за- 858 Глава 10. Исправление квантовых ошибок ключаегся в том, что для большого числа квантовых состояний проще работать с операторами, которые стабилизируют их, чем собственно с этими состояниями.
Это утверждение на первый взгляд достаточно удивительно, однако оно верно. Оказывается, что многие квантовые коды, в том числе СЯЯ коды и код Шара, гораздо более компактно описываются стабилизаторами, чем векторами состояний. Что более важно, ошибки в кубитах, операции, подобные элементу Адамара, фазовому элементу и даже ОХОТ элементу, а также измерения в вычислительном базисе легко описываются формализмом стабилизаторов. Основная причина эффективности формализма стабилизаторов заключается в использовании п1еории групп, основные элементы которой приведены в Приложении 2. Наиболее интересная для нас группа — группа Паули С„для и кубитов.
Для одного кубита группа Паули определена как множество всех матриц Паули с множителями ~1 и ~0 С1 = (~Х, ЫХ, ~Х, ~1Х, ~У, ЫУ, ~Я, ~Ы). (10.81) Этот набор матриц образует группу по отношению к операции матричного умножения. Вам может показаться странным, почему мы не опустили множители ~1 и ~г1 Причина этого в том, что эти множители делают множество С1 замкнутым по отношению к умножению, а это необходимо, чтобы С1 было группой.
Группа Паули для п кубитов определяется как множество, содержащее все возможные тензорные произведения из и матриц Паули также с множителями ~1 и Ы. Теперь мы можем более точно ввести понятие стабилизатора. Пусть Я— подгруппа С„. Обозначим через Ив множество и-кубитовых состояний, которые сохраняются под действием любого элемента из Я. Ув называется векторным пространством, стабилизированным Я, а Я называется стабилизатором пространства гю Предлагаем вам убедиться в правильности утверждения слеРбчощего упражнения. Упражнение 10. 29.
Покажите, что произвольная линейная комбинация элементов Ъв принадлежит Ив. Следовательно, гв является подпространством п-мерного пространства состояний кубитов. Покажите, что гв является пересечением надпространств, стабилизируемых каждым оператором из Я (т. е. пересечением собственных пространств, соответствующих собственному числу 1, всех элементов Я). Рассмотрим простой пример действия формализма стабилизаторов.
Пусть и = 3 и Я = (1, Я1 Яг, ЕгЯг, Я1Яг1. Подпространство, стабилизируемое оператором Я1 Яг, является линейной оболочкой векторов )000), )001), )110), и (111); надпространство, стабилизнруемое оператором ЯгЯг, является линейной оболочкой векторов )000), )100), 1011), и )111). Элементы )000) и (Ш) — общие для этих двух наборов. Уже из этого можно заключить, что Ив в данном случае— линейная оболочка этих двух векторов. В этом примере мы определили Ъв, рассмотрев подпространства, стабилизируемые только двумя операторами из Я.
Это показывает возможность описания группы с помощью ее обраврющия. Как определяется в Приложении 2, 10.5. Симплектические коды 559 элементы дп..., д~ из группы С называются ее образующими, если любой элемент группы может быть записан в виде произведения элементов из набора дп...,дь В этом случае мы записываем С = (дм...,д~). В нашем примере Я = (ЕзЯг, ЯгЯз), так как ЯзЯз = (Язв)(ЯгЯз) и 1 = (Я~Юг)~. Большим преимуществом такого способа описания групп являегся его кпмпактпноспзь. Действительно, в Приложении 2 показано, что группа, С размера ~С~ имеет не более !об(~С~) образующих. Кроме того, чтобы проверить, что некоторый вектор стабилизируется группой Я, достаточно проверить, что он стабилизируется образующими группы; если это так, то вектор стабилизируется и любыми произведениями образующих.
Это делает такое представление групп наиболее удобным для нас. (Обозначение (...), которое мы используем для образующих группы, совпадает с обозначением для, средних наблюдаемых величин, введенных в подразд. 2.2.5, однако на практике всегда ясно, как это обозначение используется.) Не все подгруппы Я группы Паули являются стабилизаторами нетривиального векторного пространства. Рассмотрим, например, подгруппу Сы состояшую из элементов (х1, хХ). Очевидно, что единственное решение уравнения (-1))4) = )4) есть (ф = О, и, следовательно, группа (~1, хХ) является стабилизатором тривиального векторного пространства.
Каким же условиям должна удовлегворять Я, чтобы стабилизировать нетривиальное векторное пространство Уз? Можно легко указать два условия: необходимо, чтобы (а) элементы Я коммутировали и (6) — 1 не являлся элементом Я. Эти условия являются и достаточными; мы докажем это позже. Упражнение 10.30. Покажите, что из — 1 ф Я следует хз1 ф Я.
Чтобы увидеть, почему эти условия являются необходимыми, предположим, что Уз — нетривиальное векторное пространство, т. е. оно содержит ненулевой вектор ~ф). Пусть Ф и М вЂ” элементы Я. Эти элементы являются тензорными произведениями матриц Паули, возможно с некоторым общим множителем. Поскольку матрицы Паули коммутируют или антикоммутируют друг с другом, то и 1У и М должны коммутировать или автикоммутировать. Чтобы доказать условие (а), допустим, что И и М антикоммутируют. При этом — ФМ = Мг1 и мы имеем — ф) = — ЖМ(Ф) = МЖф) = (ф, где первое и последнее равенство следуют из того, что Ф и М стабилизируют ~ф).
Итак, мы имеем — ~ф) = ф); это означает, что ~Зз) — нулевой вектор. Мы пришли к противоречию, так как ~ф) — ненулевой вектор. Следовательно, М и М должны коммутировать. Чтобы доказать условие (6), что — 1 ф Я, заметим, что если — 1 является элементом Я, то мы имеем — 1~ЗЗ) = ~ф), что опять ведет к противоречию. 'Упражнение 10.31. Пусть Я вЂ” подгруппа С„с образующими дм..., дь Покажите, что все элементы Я коммутируют тогда и только тогда, когда д; и ду коммутируют для любой пары з, у. Хорошим примером использования формализма стабилизаторов является семикубитовый код Стина.
Оказывается, что шесть образующих дз... дз; по- 560 Глава 10. Исправление квантовых ошибок казанных на рис. 10.6, задают стабилизатор кодового пространства кода Стина. Оцените, насколько яснее и компактнее такое описание по сравнению с достаточно запутанным описанием через векторы состояний (10.78) и (10.79). Дополнительные преимущества проявятся, когда мы будем рассматривать исправление квантовых ошибок с этой точки зрения. Обратите также внимание на похожую структуру образующих на рис. 10.6 и проверочных матриц классических линейных кодов Сз и Сзд, использованных для построения кода Стина. (Для кода Стива код Сз = Сзл является [7,4, 3]-кодом Хэмминга с проверочной матрицей (10.76).) Первые три образующих стабилизатора содержат Х в позициях, соответствующих единицам в проверочной матрице для кода Сн Остальные три образующих содержат Я в позициях, соответствующих единицам в проверочной матрице для кода Сз~ .
Используя этот факт, легко выполнить следующее упражнение. Рис. 10.6. Образующие стабилизатора для семикубитовом кода Стина Каждый элемент представляет собой тензорное произведение соответствующих кубитов. Например, г1г1г1г = гэ1эгэ1эгэ1эг=г,г,г,г Упражнение 10.32. Проверьте, что образующие, показанные на рис. 10.6, стабилизируют кодовые слова кода Стина, приведенные в подрэзд. 10.4.2.
Подобным образом мы будем использовать формализм стабилизаторов для описэ ния широкого класса квантовых кодов. Сейчас важно понять, что нет ничего необычного в коде Стина: это всего лишь подпространспю векторного пространства, которое может быть описано с помощью стабилизаторов. Мы хотим, чтобы образующие дн...,д~ были нсзаеисилаы в том смысле, что удаление одного из них делает задаваемую ими группу меньше: (д,",д~-,д+,",М Ф (дм",ж) (10.82) Определить прямым вычислением, является ли набор образующих независимым, достаточно трудоемко.
К счастью, это можно сделать простым способом, основанным на понятии проверочной матрицы. Матрица названа проверочной потому, что она играет ту же роль в теории симплектических кодов, что и проверочная матрица в теории классических линейных кодов. 10.5. Симплектические коды 561 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 О 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (10.83) Проверочная матрица не содержит информации о множителях перед образующими, однако она включает много другой полезной информации, причем так, что мы введем специальное обозначение т(д) для строки (2п-мерного вектора), соответствующей элементу д группы Паули.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
