М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 135
Текст из файла (страница 135)
= — Й ) и оставляет неизменными остальные Я; и дь Очевидно, что Х. действует как квантовый элемент НОТ на ~-й закодированный кубит. Оператор Хз удовлетворяет равенству ХздьХ] = дь для любого й и, следовательно, коммутирует со всеми образующими стабилизатора. Также легко проверить, что Х коммутирует со всеми Я; для 1 ф д и антикоммутирует с Я .
Как связаны свойства исправления ошибок симплектического кода с образующими его стабилизатора? Допустим, что мы кодируем квантовое состояние, используя симплектический ]и,?с]-код С(Я) со стабилизатором Я (дп...,д„ь). Пусть в закодированном состоянии возникает ошибка Е. Рассмотрение того, какие типы ошибок могут быть обнаружены и исправлены с использованием кода С(Я), мы проведем в три приема. Сначала мы рассмотрим, как действуют в пространстве кода различные типы ошибок, и, не приводя никаких доказательств, сформулируем интуитивные соображения, какие типы ошибок могут быть обнаружены и исправлены. Затем сформулируем и докажем общую теорему, основанную на условиях исправления ошибок и даюшую ответ на вопрос, какие типы ошибок могут быть обнаружены и исправлены с помощью симплектических кодов.
Наконец, мы опишем практический метод обнаружения и исправления ошибок с использованием понятия синдрома ошибки. Пусть С(Я) — симплектический код, в котором возникает ошибка Е Е С„. Как изменится пространство кода, если Е антикоммутирует с некоторым эле- 10.5. Симплектические коды 571 Р Пм=~ ( +д)) 2дд-й (10.102) Используя антикоммутативность, получим ед е Р = ) д — д ) ед а ~ П)=э~(1+ д)) (10.103) Но Р(1 — дд) = О, так как (1+ д~)(1 — д~) = О. Следовательно, РЕ)Е»Р = 0 для Е.
Еь б С 11д~(Б). Отсюда следует, что ошибки (Ез) удовлетворяют квантово- му условию исправления ошибок и, таким образом могут быть исправлены. ментом стабилизатора? В этом случае Е переведет С(Б) в ортогональное подпространство и ошибка в принципе может быть обнаружена (и, возможно, после обнаружения исправлена) с помощью подходящего проективного измереыия. Если Е б Б, не нужно ничего делать, потому что «ошибка» Е не меняет квантовое состояние. Неприятность возникает, когда Е коммутирует со всеми элементами группы Б (т.
е. Ед = дЕ для всех д б Я), но ые является его элементом. Множество Е б С„, такое, что Ед = дЕ для всех д б Я, называется ценшролпзаторам Я в С„и обозначается как Е(Б). В нашем случае для стабилизирующей группы Я центрэлизатор совпадает с более знакомой группой, ыормализатором Б, который обозыачается через Ф(Б) и определяется как группа, содержащая все элементы Е б С„, такие, что ЕдЕ ) б Б для всех д б Б. 'Упражнение 10.43.
Покажите, что Я д, Ж(Б) для любой подгруппы Я группы С„. 'Упражнение 10.44. Покажите, что 1»д(Б) = Я(Б) для любой подгруппы Я группы С„, не содержащей — 1. Эти рассуждения о различных типах ошибок Е приводят нас к следующей теореме, которая является квантовым условием исправления ошибок (теорема 10.1), сформулированным в терминах симплектических кодов. '1еорема 10.8 (условие исправления ошибок для симылектических кодов). Пусть Я вЂ” стабилизатор симплектического кода С(Я), а (Е ) — набор операторов из С„, такой, что Е) Еь ~ 1»'(Б) 1Б для всех «и к.
В этом случае (Ед') является исправляемым набором ошибок для кода С(Я). Вез потери общности можно ограыичиться рассмотрением только таких ошибок Ез, для которых Е = Е . В этом случае условие исправления ошибок упростится до Е Еь ф 1)1(Б )) Б для всех «' и Й. Домана»пельс»пво. Пусть Р— проектор на простраыство кода С(Б). Для фиксированных у и )« существуетдве возможности: Е~Еь б Б или Е'Еь б С„'1Л(Б).
В первом случае РЕ~ЕьР = Р, так как Р не меняется при умножении на любой элемент Б. Во втором случае (Е Еь е С„'11«'(Б)) оператор Е Еь должен автикоммутировать ( с некоторым элементом дд группы Б. Пусть д),..., д) — образующие Я, тогда 872 Глава 10. Исправление квантовых ошибок Формулировка и доказательство теоремы 10.8 являются замечательным теоретическим результатом, однако они не укэзывиот, как производить исправление ошибок, если оно возможно! Чтобы понять, как это делать, предположим, что дм...
д„ь — образующие стабилизатора симплектического [и, й[- кода, а (Ед) — множество исправляемых ошибок для этого кода. Обнаружение ошибки выполняется последовательным измерением образующих дм... д„ю что дает синдром ошибки, состоящий из результатов измерений А,... Вэ-ь. Если произошла ошибка Е, синдром состоит из таких Вп что ЕдаЕ = Адь 1 Если Е, — единственная ошибка, имеющая такой сиццром, то исправление выполняется оператором Е . В случае двух различных ошибок Е, и Ед с одинаковым синдромом Е, РЕ. = Е. РЕ.„где Р— проектор на пространство кодов. Следовательно Е[Е РЕ',Е = Р и, значит Е'Е и Я. Таким образом, исправление ошибки Е, можно выполнить, применив оператор Е .
Итак, для каждого возможного синдрома ошибки следует найти какую-нибудь, Е,, дающую такой синдром, и использовать для ее исправления оператор Е . Теорема 10.8 обосновывает определение понятия кодового расстояния для квантового кода, аналогичного для классического кода. Весом оператора Е б С„мы назовем число членов в тензорном произведении, не равных тождественному оператору.
Например, вес оператора Х~Я4Ъе равен трем. Кодовым расстоянием снмплектического кода С(Я) называется минимальный вес элементов У(Я) 1Я. Если С(Я) — [и, е[-код с расстоянием й, мы называем его симплектическим [и, й, д[-кодом. Согласно теореме 10.8 код с расстоянием не менее 21+ 1 способен исправлять ошибки в любых 1 кубитах, как и в классическом случае. 'Упражнение 10.45 (исправление локализованных ошибок). Пусть С(В) — симплектический [и, я, д[-код.
Допустим, что я кубитов кодируются и кубитами с помощью этого кода и затем подвергаются действию шума. Однако, к счастью, нам известно, что шуму подверглись только д — 1 кубитов, и более того, нам точно известно, какие именно д — 1 кубитов подверглись шуму. Покажите, что такие локализованные ошибки можно исправить.
10.5.6 Примеры Сейчас мы приведем несколько простых примеров симплектических кодов, в том числе уже знакомые нам коды, такие как девятикубитовый код Шора и СЯЯ коды. Мы рассмотрим эти коды с новой точки зрения — в формализме стабилизаторов. В каждом случае свойства кода легко определить, применив теорему 10.8 к образующим его стабилизатора. Эти примеры помогут нам в построении схем для кодирования и декодирования.
Трехкдбитоеый ход, исправляющий классические ошибки Рассмотрим знакомый нам трехкубитовый код, исправляющий классические ошибки, который является линейной оболочкой состояний [000) и [111). Его стабилизатор имеет образующие Я~Уз и ЯзЯз. Путем перебора найдем, что любое 10.3. Симплектнческие коды 873 произведение двух элементов (1, Хм Хз, Хз, Хт Хан Х1 Хз, ХзХз) из множества (Х, Хм Хз, Хз) антикоммутирует, по крайней мере, с одной из образующих стабилизатора (кроме оператора 1, который входит в Я).
Следовательно, согласно теореме 10.8, (Х, Хп Хз, Хз1 является множеством исправляемых ошибок для классического трехкубитового кода со стабилизатором (ЯтЯз, ЯзЯз). Обнаружение ошибки для этого кода производится с помощью измерений образующих стабилизатора ЯтЯз и ЯзЯз.
Если, например, происходит ошибка Хм то стабилизатор преобразуется в ( — ЯтЯз, ЯзЯз) и измерения дают — 1 и +1; в случае ошибки Хз будут получены — 1 и — 1; в случае ошибки Хз измерения дают — +1 и — 1; в случае тривиальной ошибки 1 будут получены +1 и +1. В каждом случае исправление производится очевидным образом с помощью обратного оператора ошибки, найденной с помощью измерений синдрома. Операции исправления ошибок для трехкубитового кода, исправляющего классические ошибки, представлены на рис.
10.10. Рис. 10.10. Исправление ошибок на языке формализма стабилизаторов для трелкубитового кода, исправляющего классические ошибки. Конечно, только что изложенная процедура повторяет то, что мы уже описали раньше для случая трехкубитового кода, исправляющего классические ошибки! Использование теории групп было бы ненужшям, если бы мы хотели ограничиться таким простым примером. Реальная польза формализма стабилизаторов будет видна на более сложных примерах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
