М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 139
Текст из файла (страница 139)
588 Глава 10. Исправление квантовых ошибок Рис. 10.22. Двухуровневый каскадный код, кодирующий один кубит девятью кубитами Мы ис- пользуем только трехкубитовые коды, чтобы сделать рисунок проще В реальных оммах должен использоваться, например код Стива, позволяющий исправлять произвольные ощибки хотя бы в одном кубите.
Предположим, что мы хотим построить схему, содержашую р(п) логических элементов, где и определяется размером задачи, а р(п) — некоторый полинам от и. Это может быть, например, схема для квантового алгоритма разложения на множители. Допустим, что мы хотим, чтобы окончательная точность нашей схемы была равна г. Для этого необходимо, чтобы в каждом элементе верхнего уровня вероятность ошибки была равна г/р(п). Следовательно, число уровней Й каскадного кода, который надо использовать, должен удовлетворять неравенству (р)" — < —, с р(п) (10.113) Если р < рп,р = 1/с, то такое )с можно найти. Это условие, р < р„,р называют пороговвьы условием для квантовых вычислений. Если оно выполняется,мож- но достичь произвольной точности вычислений. Насколько большим должен быть размер схемы, чтобы получить заданную точность? Заметим, что !ой о' ак = = 0(ро!у(1обр(п)/г)), (10.114) /1о8(р(п)/сг) ' 1 1о8(1/рс) где ро1у — полинам некоторой фиксированной степени.
Следовательно, наша схема содержит 0(ро 1 у (1о8 р(п) /г) р(п) ) (10.115) элементов, т. е. ее размер всего в ро1у(1обр(п)/г) раз больше размера исходной схемы. Обобщив наши рассуждения, получаем пороговую тпеореыу для хвантова~х вычислений: 10.6.
Квантовые вычисления, устойчивые к ошибкам 589 Теорема 10.9 (пороговая теорема для квантовых вычислений). Квантовая схема, состоящая из р(п) логических элементов, может быть смоделирована с вероятностью ошибки не более в с использованием 0(ро1у(1оя р(п)/г)р(п) ) (10.П6) физических элементов с вероятностью ошибки не более р, если р меньше некоторого порогового зиачекпл р < р„,р и при заданных разумных предположениях о характере шума в физических элементах.
Каково пороговое значение рарр? Для кода Стива мы оценили, что с = 104; исходя их этого значения очень грубая оценка дает р„„р 10 ~. Следует подчеркнуть, что наши рассуждения были (очень) нестрогими, гораздо более сложные вычисления дают величину порогового значения 10 ~ — 10 в. Кроме того, эта величина очень сильно зависит от свойств вычислительной системы. Например, если в системе невозможны параллельные вычисления, то пороговое условие невозможно удовлетворить, поскольку ошибки в схеме будут накапливаться слишком быстро и их невозможно будет исправлять.
Кроме квантовых операций требуются и классические вычисления, с помощью которых обрабатываются синдромы и определяется, какие элементы использовать для исправления ошибок. Обсуждение возможных ограничений при оценке порогового значения дано в подрэзд. 10.6.4.
'Упражнение 10.62. Прямым вычислением покажите, что каскадный код, полученный объединением симплектических [пп Ц- и [пг, Ц-кодов, является симплектическим [пи па, Ц-кодом. 10.6.2 Устойчивые к ошибкам квантовые логические элементы Основой построения устойчивых к ошибкам квантовых схем является создание устойчивых к ошибкам логических операций над закодированными состояниями. В гл. 4 (подрзд. 4.5.3) мы показали, что элемент Адамара, фазовый элемент, СНОТ и я/8-элемент образуют универсальный набор логических элементов, на основе которого может быть реализовано любое квантовое вычисление. Ниже мы опишем устойчивые к ошибкам реализации. Образрющие нормализатпора Начнем с устойчивых к ошибкам реализаций образующих нормализатора— элемента Адамара, фазового элемента и СКОТ для случая кода Стина. Поняв основные принципы такой нормализации, их легко обобщить на любой симплектический код.
Из формулы (10.107) операторы Паули г и Х, действующие на закодированные состояния, могут быть выражены через операторы Паули для незакодировалных состояний следующим образом: г = г,г,г.г.г.г,г,; х = х,х,х,х.х.х.х,. (10. П 7) Закодированный элемент Адамара Й должен при сопряжении менять Х на г и наоборот (то есть НХН1 = г и Йгй1 = Х), также кэл элемент Адамара меняет г на Х и наоборот.
Таким свойством обладает оператор Й = 590 Глава 10. Исправление квантовых ошибок Нт НгНЬН4 НЬНЬНт, следовательно, элемент Адамара для закодированного ку- бита может быть реализован, как показано на рис. 10.23. — ~Н~— СН)— — ~Н~— — Он— — ин— — Пн— — ПН— ауЬ!О ) + а-Ь!1 яо,>+ иг,> Рис. 10 23. Побитовая реализация элемента Адамара для ктбита, ээкодированного кодом Стина.
'Упражнение 10.63. Пусть У вЂ” унитарный оператор на подпространстве кода Стина и УЯУт = Х и УХУт = Я. Докажите, что с точностью до общего фазового множителя оператор У следующим образом действует на закодированные состояния: |Оь) -+ 1|Об) + |1ь))/~/2 и!1ь) -+ ЦОЬ) — |1ь))/~/2. То, что мы нэлтли такой оператор — очень хорошее начало, однако теперь нужно доказать, что он устойчив к ошибкам. Для этого рассмотрим, как распространяются ошибки. Так как в нашей реализации элемента Адамара Й = Нетникакие два кубита не взаимодействуют, разумно предположить, что сбой в одной компоненте схемы приведет к не более чем одной ошибке в выходном блоке кубитов.
Пусть ошибка произошла в первом кубите на входе элемента Адамара. Для определенности докажем, что это ошибка Я. Тогда полное действие на первый кубит описывается оператором НЕ. Как и при рассмотрении элемента СМОТ, применяя тождественный оператор 1 = Н1Н, получим НЯ = НЕНтН = ХН, т. е.результат такой, как если бы после элемента Адамара в кубите возникла ошибка Х. Аналогично, если ошибка произошла в самом элементе Адамара, его действие эквивалентно действию идеального элемента и небольшому шуму в кубите после него.
Этот шум в рамках нашей модели описан операторами Х, 1' и Я, каждый из которых действует с некоторой небольшой вероятностью. Таким образом, схема на рис. 10.23 действительно устойчива к ошибкам, так как сбой не распространяется на соседние кубиты и, следовательно, не создает более одной ошибки в выходном блоке кубитов. Из рассмотрения схемы, приведенной на рис. 10.23, можно получить представление об общих принципах.
Во-первых, любой реализованный побитово элемент автоматически получается устойчивым к ошибкам. Сбой в таком элементе не создаст более одной ошибки в выходном блоке кубитов и, следовательно, вероятность ошибки не увеличивается, оставаясь под контролем кода, исправляющего ошибки. Говорят, что такие элементы обладают свойством переноса. Свойство переноса полезно тем, что оно дает общий принцип построе- 10.6. Квантовые вычисления, устойчивые к ошибкам 691 ния квантовых схем, устойчивых к ошибкам. Мы увидим, что многие элементы имеют свойства переноса.
Однако, устойчивый к ошибкам элемент не обязательно должен обладать свойством переноса; мы увидим это ниже на примере я/8-элемента. Используя код Стина, многие элементы помимо элемента Адамара можно реализовать побитово (следовательно, они будут устойчивы к ошибкам). Наиболее интересными из них являются — фазовый элемент и элементы Паули Я и Х. Если побитово применить элемент Х к каждому вз семи кубитов кода Стина, оператор Я преобразуется в — Я и, следовательно, Я -> (-1)т Я = — Я, а Х -+ Х.
Поэтому такая схема реализует закодированный элемент Х для кода Стина. Она также обладает свойством переноса и, следовательно, устойчива к ошибкам. Точно так же, побитово применяя оператор Я, получим устойчивую к ошибкам реализацию закодированного элемента Я.
Реализация фазового элемента, обладающего свойством переноса, немного интереснее. Элемент Я должен преобразовывать Я в Я, а Х в У = аХЯ. Однако, если мы применим элемент Я = Я1ЯгЯгЯгЯгЯеЯт, то получим преобразование Я в Я и Х в -У. Минус перед — У можно убрать с помощью оператора Я. Следовательно, применив операцию ЯЯ к каждому кубиту, получим закодированный фазовый элемент, обладающий свойством переноса и, следовательно, устойчивый к ошибкам.
Реализация устойчивого к ошибкам элемента ОХОТ по сравнению с реализацией элементов Адамара и Паули, а также фазового элемента — на первый взгляд более сложная задача, так как мы должны работать с двумя блоками из семи кубитов. Как реализовать элемент СКОТ, который не вносит больше одной ошибки в кодовый блок? К счастью, при использовании кода Стина это оказывается совсем не сложно. Соответствующая схема показана на рис. 10.24; легко увидеть, что это просто семь элементов ОХОТ, применяемых к соответствующим парам кубитов в двух блоках.
Вас может смутить, что эта конструкция нарушает наши правила; ведь ошибка в элементе СКОТ может распространиться на оба кубита! Это верно, но в данном случае несущественно, тэк как распространение ошибки может испортить кубит в другом блоке. В случае одной ошибки в каждом блоке выполняется условие устойчивости к ошибкам. Первый блок Второй блок Рис. 10.24. Элемент С1кОТ, обладающий свойством переноса, для двух 6локои кубитоа, аакодироааннмх кодом Стина 592 Глава 10. Исправление квантовых ошибок Более подробно, предположим, что, например, ошибка Х возникает в первом кубите перед элементом Сг1ОТ, который действует на первые кубиты каждого блока (будем называть их кубитами 1 'и 8). Обозначив действие элемента ОХОТ через У, для действия схемы с учетом ошибки получим УХ~ = УХ~У1У = Х~ХвУ, т. е.
как если бы элемент СКОТ сработал правильно, но после него возникли ошибки Х в первых кубитах каждого блока. Несколько сложнее случай сбоя в самом элементе СКОТ. Пусть действие ошибочного элемента описывается квантовым преобразованием Е. Это преобразование может быть переписано в виде Е = Е о 14 ' о 14, где преобразование 14 описывает действие идеального элемента СКОТ. Следовательно, действие ошибочного элемента эквивалентно идеальному действию элемента СКОТ и последующей ошибке Е о И ', которая близка к тождественному преобразованию, если элемент СКОТ достаточно хороший. В этом случае ошибка может быть представлена в рамках нашей модели ошибок через тевзорные произведения операторов Паули, такие как Х Э Я, которые действуют на два кубита с некоторой малой вероятностью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
