М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 142
Текст из файла (страница 142)
Очевидное обобщение процедуры, проиллюстрированной на рис. 10.28, для такого измерения показано на рис. 10.29. Мы, как и раньше, приготавливаем и проверяем состояние Шредингера, а затем побитово применяем к закодированным данным управляемые операторы, чтобы получить устойчивую к ошибкам процедуру измерения оператора Х~ЯзХз. Имея Покажите, как можно построить такое-состояние устойчивым к ошибкам спо- собом. Для этого может быть полезно найти образующие стабилизатора этого состояния. 10.6.
Квантовые вычисления, устойчивые к ошибкам 601 возможность устойчиво к ошибкам измерять такие наблюдаемые величины, мы можем выполнять кодирование данных, измерение синдрома, измерение в (логическом) вычислительном базисе, т. е. все, что необходимо для квантового вычисления. Для кодирования достаточно приготавливать закодированное состояние ~0). В случае симплектического кода (например, кода Стина) это можно сделать устойчивым к ошибкам способом измерив образующие стабилизатора и закодированный оператор 2, а затем исправив знаки образующих стабилизатора и закодированного Я, как было описано в доказательстве утверждения 10.4 в подрезд.
10.5.1. В упр. 10.73 приведен пример устойчивого к ошибкам приготовления состояния ~0), закодированного кодом Стина. Устойчивые к ошибкам измерения синдрома и измерения в закодированном вычислительном базисе реализуются аналогичным образом, !0000> + !И11) .Я Рис. 10.30. Один этап устоанивов к огпибкам процедуры приготовления состояния )О), эакодированного кодом Стина Упраэкненне 10.73 (устойчивое к ошибкам построение закодированного состояния).
Закодированное кодом Стина состояние ~0) может быть построено следующим, устойчивым к ошибкам способом: (1) Начните со схемы, изображенной на рис. 10.16, и замените измерения образующих, как показано на рис. 10.30. Здесь вспомогательные кубиты находятся в состоянии Шредингера ~00... О) + ~11... 1), а операции переставлены так, чтобы использовать разные вспомогательные кубиты в качестве управляющих. При этом ошибки не распространяются внутри кодового блока.
(2) Добавьте устойчивое к ошибкам измерение Я. (3) Вычислите вероятность ошибки этой схемы, а также схемы, в которой измерения образующих выполняются три раза и результат выбирается по большинству. (4) Перечислите все операции, которые должны управляться результатами измерения, и покажите, что они могут быть сделаны устойчивыми к ошибкам. 602 Глава 10. Исправление квантовых ошибок Упражнение 10.Т4. Постройте устойчивую к ошибкам квантовую схему для приготовления состояния ~0), закодированного пятикубитовым кодом (см. подразд.10.5.6). 10.6.4 Элементы надежного квантового вычисления Наиболее важным результатом теории квантовых кодов, исправляющих ошибки, является пороговая теорема для квантовых вычислений.
Она утверждает, что, если шум в вгпдельных квантовых элементах меньше некоторого порогового значения, можно эффективно вьтолнить произвольно длинное квантовое вычисление. Другими словами, шум не является серьезной проблемой для квантовых вычислений. Основная идея доказательства этого утверждения была намечена в подразд. 10.6.1. Выполнение устойчивых к ошибкам операций над закодированными состояниями попеременно с исправлением ошибок приведет к уменьшению вероятности ошибки с р до 0(рг). Строя каскадные коды и иерархические устойчивые к ошибкам процедуры для них, можно уменьшить вероятность ошибки до 0(рг), затем до 0(рг) и далее до уровня, который нам необходим. Это можно сделать, если только вероятность ошибки р ( р„,р.
Для описанных выше процедур мы оценили пороговое значение р„,р 10 г — 10 в. Такое сильное утверждение, как пороговая теорема нуждается в уточнениях. Из нее не следует, что квантовое вычисление можно защитить от совершенно произвольного шума. Пороговая теорема основывается на небольшом количестве физически разумных предположений о виде шума, действующего на квантовый компьютер, и об имеющейся архитектуре квантового компьютера. Модель ошибки, которую мы рассмотрели, достаточно проста, и, конечно, в случае реального квантового компьютера нам придется иметь дело и с другими типами шума.
Тем не менее, по-видимому введенные здесь методы в сочетании с более сложными квантовыми кодами, исправляющими ошибки, и более сложным анализом позволят сформулировать пороговую теорему с более широкой областью применимости, чем мы рассматривали. У нас нет возможности выполнить здесь более сложный анализ; приведем только несколько наблюдений. Во-первых, полезно заметить, что пороговая теорема требует наличия большой степени параллельности в нашей схеме. Даже если мы хотим всего лишь хранить квантовую информацию, нам периодически придется исправлять ошибки и для этого нужна схема с большой степенью параллельности.
Поэтому важной задачей будущих создателей квантовых компьютеров является разработка архитектур, обеспечивающих параллельное вычисление, с тем, чтобы были применимы методы устойчивого к ошибкам квантового вычисления. Во-вторых, при рассмотрении пороговой величины мы совершенно пренебрегали сложностью классических вычислений и передачи данных, которые необходимы при приготовлении состояний, измерении синдрома и восстановлении состояний. Эта сложность может быть велика.
Например, для восстановления состояний на высших уровнях каскадных кодов необходима передача классической информации между всеми частями квантовой системы. Эта передача должна выполняться гораздо быстрее, чем возни- 10.6. Квантовые вычисления, устойчивые к ошибкам 603 кают ошибки, иначе ошибки будут появляться снова, сводя на нет действие процедур исправления ошибок. Можно провести более сложный анализ этой проблемы, однако как и при других усложнениях это приведет к худшему пороговому значению для квантовых вычислений. В третьих, наши устойчивые к ошибкам процедуры измерения и к/8-элементы используют вспомогательные кубиты в состоянии ~0) (в которых возможен небольшой шум). Можно показать, что для выполнении пороговой теоремы требуется некоторый постоянный расход таких свежих кубитов.
Следовательно, разработчики квантового компьютера должны сделать его архитектуру не только способной к параллельным вычислениям, но и обеспечивающей возможность переводить вспомогательные кубиты в базисные состояния. Мы рассматривали только основные принципы и не ставили перед собой цели оптимизировать используемые методы.
На практике скорее всего будут применяться улучшенные версии наших конструкций. Простое, но важное правило состоит в том, что нужно провально выбрать код. Мы использовали код Стина, так как с ним легко работать и демонстрировать на нем основные принципы. Однако, на практике другие коды могут работать гораздо лучше. Например, в первом уровне каскадного кода может оказаться полезным использовать код, оптимизированный для исправления именно тех типов ошибок, которые встречаются в конкретной физической системе, Идеи, на которых основана пороговая теорема, могут быть применены множеством различных способов в зависимости от типа шума в конкретной реализации квантового вычисления. Скептики могут сказать, что все такие модели шума, для которых можно доказать пороговую теорему, достаточно ограничены и не реализуются в реальных физических системах.
Ответить на это можно только, продемонстрировав в лаборатории длительное устойчивое к ошибкам квантовое вычисление. Основной результат нашего рассмотрения заключается в доказательстве того, что не существует принципиального физического ограничения для изготовления квантового компьютера. Подведем итоги. В этой главе мы описали основные принципы, в соответствии с которыми может быть надежно обработана квантовая информация на конкретном примере квантового вычисления. Эти принципы применимы и для других систем обработки квантовой информации, таких кэк квантовые каналы передачи данных, которые могут, например, использоваться для квантовой криптографии.
Непрочность квантовой информации во всех известных системах делает неизбежным использование квантового исправления ошибок, однако оно оказывается настолько эффективным, что позволяет проводить надежные квантовые вычисления с помощью подверженных шуму элементов при условии, что вероятность ошибки в них меньше определенного порогового уровня. Задача 10.1. Каналы Е~ и Ез называются эквивалентными, если существуют унитарные каналы У и У, такие, что Еэ = П о б~ о У. (1) Покажите, что отношение эквивалентности для каналов является отношением эквивалентности.
604 Глава 10. Исправление квантовых ошибок (2) Покажите, как преобразовать код, исправляющий ошибки в канале бп в код, исправляющий ошибки в канале Еэ. Считайте, что процедура исправления ошибок для канала 8~ состоит из ироективного измерения и условного унитарного преобразования. Покажите, как таким же образом выполнить процедуру исправления ошибок для Яэ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
