М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 141

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 141)

Измерения нужны для кодирования данных, считывания результатов вычисления, определения синдрома при исправлении ошибок, а также для приготовления вспомогательных состояний, используемых в реализациях устойчивых к ошибкам элементов Тоффоли и я/8. Измерения абсолютно необходимы для проведения устойчивых к ошибкам квантовых вычислений.

Чтобы измерение было устойчивым к ошибкам, должны выполняться два условия. Во-первых, сбой в любом 10.6. Квантовые вычисления, устойчивые к ошибкам 697 месте процедуры измерения должен приводить не более, чем к одной ошибке в полученном блоке кубитов. Во-вторых, результат измерения должен быть правильным с вероятностью 1 — 0(р~), где р — вероятность сбоя. Последнее условие очень важно, так квк результат измерения может быть использован для управления другими элементами квантового компьютера, и если он неправильный, ошибка может распространиться нв многие кубиты в других кодовых блоках.

!О) Рис. 10.2б. Квантовая схема для измерения однокубитового оператора ле с собственными значениями ш1 Верхний кубит — вспомогательный, нижний — измеряемый Измерение однокубитовой наблюдаемой величины М можно выполнить с помощью схемы, изображенной на рис. 10.26. Пусть реализация оператора М над закодированным кубитом обладает свойством переноса, т. е. к каждому кубиту кода применяется оператор М'. Например, для кода Стина оператор М = Н можно реализовать путем побитового применения операторов М' = Н, а оператор М = Я вЂ” путем побитового применения М' = ЯЯ.

Можно построить схему для измерения закодированного оператора М, квк показано на рис. 10 27. (Реальный квантовый код, например Стинз, требует ббльшего числа кубитов). К сожалению, такая схема не устойчива к ошибкам. Если сбой происходит во вспомогательном состоянии на входе схемы, ошибка распространится на все ззкошароввнные кубиты. Закодированные данные Рис. 10.27. Схема процедуры измерения закодированной наблюдаемой величины М с помощью побитового применения операторов М' Схема не устойчива к ошибкам Реальный код требует болыие трех кубитов Замечательный способ построения устойчивой к ошибкам измерительной схемы схематически иллюстрируется нв рис. 10.28.

В целях упрощения данные нв рисунке кодируются только тремя кубитами. Нв практике нужно использовать больше кубитов, например кодировать данные семикубитовым кодом Стина. Кроме закодированных данных, в схеме используются вспомогательные 598 Глава 10. Исправление квантовых ошибок кубиты в состоянии ~0), по одному на каждый кубит данных. Прежде всего, переведем вспомогательные кубиты в состояние Шредингера ~00... О) + )11...

1) (обратите внимание, что это состояние не закодировано). Используемая для этого схема не устойчива к ошибкам, потому что ошибка в одном из кубитов может распространиться на несколько кубитов состояния Шредингера. Тем не менее, это не влияет на устойчивость к ошибкам всей схемы, так как после приготовления состояния Шредингера мы проводим несколько шагов проверки (на рисунке показан только один). Приготовление н пРоверка Управляемый М декодирование Рис. 10.28. Схема устойчивой к ошибкам процедуры измерения наблюдаемой величины М для закодированных данных Эта процедура повторяется три раза, результат измерения определяется путем выбора по болынинству Вероятность ошибочного результата измерения равна 0(рз), где р — вероятность сбоя в одной компоненте схемы При одном сбое в схеме в закодированных данных возникает не более одной ошибки. Процедура проверки работает следующим образом. Чтобы проверить, что состояние является состоянием Шредингера, достаточно проверить, что измерения всех величин ЯсЯ дают 1, т.

еч что сумма любых двух кубитов чегна. Чтобы проверить конкретную пару кубитов Я;Яу (ЯзЯз на рисунке) используем дополнительный кубит в состоянии ~0). Мы определяем четность суммы двух кубитов, применяя к ним два элемента ОХОТ с вспомогательным кубитом в качестве управляемого, и затем измеряем дополнительный кубит. Если измеренная четность равна 1, это означает, что вспомогательное состояние— не состояние Шредингера, выбрасываем его и начинаем готовить заново.

Пусть в одной из проверок четности произошел сбой. Проверка четности неустойчива к ошибкам; легко показать, что возможен сбой, приводящий к более чем одной ошибке в кубитах вспомогательного состояния. Например, если в дополнительном кубите возникла ошибка Я перед применением элементов СКОТ, это вызовет ошибки Я в двух кубитах вспомогательного состояния.

К счастью, можно показать, что несколько ошибок Я в кубитах вспомогательного состояния ые распространяются на закодированные данные, хотя и могут привести к неправильному результату измерения. Чтобы справиться с этой проблемой, мы (как подробно описано ниже), производим измерение трижды и затем выбираем результат по большинству. Таким образом, вероятность неправильного результата (т. е. ошибки в двух или трех измерениях) равна 0(рэ), где р— 10.6. Квантовые вычисления, устойчивые к ошибкам 599 вероятность одного сбоя. Ошибки Х и У могут распространяться на закодированные данные, однако, к счастью, один сбой при приготовлении и проверке вспомогательного состояния может стать причиной только одной ошибки Х или У во вспомогательном состоянии, а, следовательно, и в закодированных данных.

Это означает, что описанная нами процедура устойчива к ошибкам. Упражнение 10.69. Покажите, что один сбой при приготовлении и проверке вспомогательного состояния приводит не более, чем к одной ошибке Х или У в этом состоянии. эгпражнеиие 10.70. Покажите, что ошибки Я во вспомогательном состоянии не распространяются на закодированные данные, но могут стать причиной неправильного результата измерения. После того как состояние Шредингера проверено, мы применяем управляемый элемент М' между парами кубитов вспомогательного состояния и закодированными данными, используя каждый кубит вспомогательного состояния не более одного раза.

Если вспомогательное состояние есть (00... О), закодированные данные остаются без изменения, если же вспомогательная система находится в состоянии ~11... 1), к закодированным данным применяется закодированный элемент М. Структура состояния Шредингера такова, что ошибки не могут распространяться от одного управляемого элемента М' к другому. Следовательно, один сбой при проверке вспомогательного состояния не приведет к более, чем одной ошибке в закодированных данных.

Результат измерения получается декодированием состояния Шредингера с помощью набора элементов ОХОТ и элемента Адамара. Полученный кубит находится в состоянии 0 или 1 в зависимости от собственного значения М, соответствующего' состоянию данных. Последние элементы никак не влияют на данные и, следовательно, ошибка в них не может распространиться на кубиты данных.

Однако она может повлиять на правильность результата измерения. Если повторить процедуру измерения три раза и выбрать результат по большинству, то вероятность ошибки в результате измерения будет равна 0(р~), где р — вероятность сбоя в одной компоненте схемы. Мы описали метод проведения устойчивых к ошибкам измерений, такой, что результат измерения ошибочен с вероятностью 0(р~), а один сбой приводит не более, чем к одной ошибке в закодированных данных.Эта конструкция может быть применена для любой однокубитовой наблюдаемой величины М, закодированный вариант которой может быть реализован побитово.

Для кода Стина такими величинами могут быть элемент оператор Адамара, фазовый оператор и операторы Паули и с некоторой модификацией наблюдаемая М = е ' ~4ЯХ. Чтобы построить управляемый элемент для такого оператора М, мы побитово применяем управляемый элемент ЯХЯ к каждой паре кубитов во вспомогательном состоянии и закодированных данных, а затем к каждому кубиту вспомогательного состояния применяем элемент Т. Как показано в подразд. 10.6.2, устойчивое к ошибкам измерение этой наблюдаемой величины может быть использовано для приготовления вспомогательного со- 600 Глава 10. Исправление квантовых ошибок стояния, используемого в устойчивой к ошибкам реализации я/8-элемента.

'Упражнение 10.71. Проверьте, что для М = е ' У~ЯХ только что описанная процедура измерения М устойчива к ошибкам. 'Упражнение 10.Т2 (построение вспомогательного состояния для ус- тойчивого к ошибкам элемента Тоффоли). В упр. 10.68 обведенный пунк- тирной рамкой участок схемы приготовляет вспомогательное состояние !000) + !010) + !100) + )111) 2 (10.121) Измерение образующих стабилизатора Мы описали устойчивую и ошибкам процедуру измерения, когда М вЂ” однокубитовая наблюдаемая величина. Этот метод можно обобщить и на более общий случай.

Для наших целей достаточно научиться измерять образующие стабилизатора, которые имеют вцд тензорного произведения матриц Паули. Такие измерения позволят выполнить устойчивую к ошибкам процедуру исправления ошибок, начальное кодирование данных и измерение закодированных операторов Я для получения результатов вычисления. !000) + 1111) Рис. 10.29.

Схема устоачивого к ошибкам измерения оператора ХЯХ на трех кубитах. В качестве простого примера предположим, что мы хотим измерить оператор ХзЯзХз, действующий на три первых кубита семикубитового блока, закодированного кодом Стина.

Характеристики

Список файлов книги