М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 137
Текст из файла (страница 137)
Если мы хотим закодировать неизвестное состояние, это можно сделать с помощью закодированного ~0) е» состояния, как описано в задаче 10.4. Пока нам будет достаточно умения приготовить закодированное ~0) е» состояние. Декодирование также является достаточно простой процедурой, однако для многих целей полное декодирование не обязательно. Оказывается, что методы устойчивых к ошибкам квантовых вычислений позволяют выполнять логические операции над закодированными данными. Выходные данные такого вычисления могут быть непосредственно определены измерением логических операторов Х без необходимости декодирования и измерения в вычислительном базисе. Таким образом, унитарное квантовое декодирование, сохраняющее квантовую информацию, не очень важно для наппгх целей. Если такое декодирование все же необходимо, например при использовании кодов, исправляющвх 10.5. Симплектические коды 579 ошибки для передачи информации по каналу с шумом, оно может быть выполнено с помощью унитарной кодирующей схемы из задачи 10.3, работающей в обратную сторону.
Процедура исправления ошибок для симплектического кода уже была описана в подрэзд. 10.5.5. Она очень похожа на процедуру кодирования: необходимо последовательно измерить образующие дз,..., дя э и получить синдромы ошибок Д,..., 8„». Далее с помощью классических вычислений можно определить необходимые для исправления ошибок операторы Е . Ключом к построению схем для только что описанных процедур кодирования, декодирования и исправления ошибок, является умение измерять операторы.
Напомним, что такие измерения являются обобщением проективных измерений, которые мы широко используем. При таких измерениях состояние проектируется на собственное состояние оператора, что дает в результате проекцию состояния и собственное значение. Это может напомнить вам алгоритм оценки собственного значения, описанный в гл. 5. Напомним из этой главы и упражнения 4.34, что схема, показанная на рис.
10.13, может быть использована для измерения однокубитового оператора М (с собственными значениями +1), с помощью управляемого элемента М. Варианты этой схемы для измереиия операторов Х и Я приведены на рис. 10.14 и рис. 10.15. /О) Рис. 10.13. Квантовая схема для измерения однокубитового оператора Ы с собственными значениями х1. Измеряется нижний кубит, верхний кубит является вспомогательным Конечно, то, что М вЂ” однокубитовый оператор, не является обязательным условием. На схеме рис. 10.13 можно заменить второй кубит на набор кубитов, а М вЂ” на произвольный эрмнтов оператор с собственными значениями ~1.
'Гакими операторами, например, являются произведения операторов Паули, которые нужно измерять при кодировании, декодировании и исправлении ошибок при использовании симплектических кодов. )О) )О Рис. 10.14. Квантовые скемы для измерения оператора Х. Слева — обычная конструкция, как на рис. 10.13, справа — эквивалентная схема 580 Глава 10. Исправление квантовых ошибок /О) /О) Рис. 10.10. Квантовые схемы для измерения оператора Я Слева — обычная конструкция, как на рис 10 13, справа — упрощенная схема. Ю) !6 ю) Ю) 9 Ю) Рис.
10.16. Квантовые схемы для измерения образующих кода Стина, которые определяют синдром ошибок. Верхние шесть вспомогательных кубитов используются для измерения, а нижние семь — кубиты кода В качестве конкретного примера рассмотрим измерение синдрома и процедуру кодирования для семикубитового кода Стина. Удобно начать со стандартной формы проверочной матрицы (10.П2), так как из нее можно просто найти образующие, которые необходимо измерять. Вспомнив, что единицы в левой части матрицы соответствуют операторам Х, а в правой — операторам Я, сразу получим схему, изображенную на рис. 10.16.
Обратите внимание на соответствие в расположении нулей и единиц в проверочной матрице и, управляемых элементов Я и Х на схеме. С помощью этой схемы можно исправлять ошибки, если после измерений применить к кубитам произведение операторов Паули, соответствующее результатам измерений. Кроме того эту схему можно использовать для приготовления закодированного логического состояния ~0), 10.6.
Квантовые вычисления, устойчивые к ошибкам 581 если дополнить ее измерением оператора Я и исправлять знаки образующих стабилизатора, как было описано выше. Упражнение 10.58. Проверьте, что схемы на рис. 10.13 — 10.15 работают правильно и докажите эквивалентность соответствующих схем. 'Упражнение 10.59. Покажите, что используя эквивалентность схем на рис. 10.14 и 10.15, можно заменить схему измерения синдрома, изображенную на рис. 10.16, схемой, представленной на рис. 10.17.
Ю) Ю !Ф Ю> Р 55 Рис. 10.17. Квантовая схема, эквивалентная схеме на рис 10 1б Упражнение 10.60. Постройте схему измерения синдрома, аналогичную изображенной иа рис. 10.16, но для девятикубитового и пятикубитового кода. Упражнение 10.61. Найдите в явном виде операторы Е, соответствующие 1 различным результатам измерения синдрома, с помощью схемы, изображенной на рис. 10.16. 10.6 Квантовые вычисления, устойчивые к ошибкам Одним из основных применений исправления квантовых ошибок является защита квантовой информации не только при хранении и передаче, но и при выполнении вычислений над ней.
Оказывается, что надежное квантовое вычисление возможно даже в том случае, если сбои могут происходить в логических элементах (при условии, что вероятность ошибки в каждом элементе меньше 582 Глава 10. Исправление квантовых ошибок определенного порогового уровня).
В следующих нескольких разделах мы объясним принципы квантового вычисления, устойчивого к ошибкам, которые приводят к этому замечательному результату. В подразд. 10.6.1 мы обрисуем общую картину, затем в подразд. 10.6.2 и 10.6.3 детально рассмотрим элементы квантового вычисления, устойчивого к ошибкам, и наконец в подрэзд. 10.6.4 обсудим некоторые ограничения на конструкции, устойчивые к ошибкам, а также возможности их расширения. Отметим, что строгое описание многих тонкостей квантового вычисления, устойчивого к ошибкам, выходит за пределы этой книги. Для интересующихся в конце главы приведен раздел еИстория и дополнительная литератураь .
10.6.1 'Устойчивость к ошибкам, общая картина Теория квантового вычисления, устойчивого к ошибкам, объединяет множество различных идей, ведущих к формулировке порогового условия. Ниже мы последовательно опишем их. Сначала рассмотрим вычисления над закодированными данными, объясним, при каких условиях вычислительная схема устойчива к накоплению и распространению ошибок. Затем введем фундаментальную модель шума для квантовых схем, что позволит дать более точное определение устойчивости к ошибкам. На конкретном примере элемента ОХОТ, устойчивого к ошибкам, объясним, как он предотвращает накопление и распространение ошибок.
Наконец, опишем, как можно каскадно объединять устойчивые к ошибкам элементы, получим пороговую теорему для квантовых вычислений и дадим простую оценку пороговой величины. Основные принципы Основной идеей устойчивого к ошибкам квантового вычисления является выполнение всех операций над закодированными кванпювыми состояниями таким образом, что декодирование вообще не требуется. Рассмотрим простую квантовую схему, такую, например, как на рис.
10.18. К сожалению, шуму подвержены все компоненты этой схемы: приготовление квантовых состояний, лорические элементы, измерения и даже просто передача квантовых состояний. Чтобы защититься от шума, мы заменяем каждый кубит в исходной схеме на гакодированньи1 блок кубитов,используя для этого код, исправляющий ошибки, например семикубитовый код Стина. Каждый логический элемент заменяем на схему (закодированный элемент), выполняющую действие этого элемента над закодированным состоянием, как показано на рис. 10.19. /О) Н +, /О) Рнс.
10.10. Простая квантовая схема. Если вероятность сбоя в каждом ив элементов равна р, то вероятность ошибки в выходных данных равна О(р) 10.6. Квантовые вычисления, устойчивые к ошибкам 583 щет Рис. 10.19. Схема, подобная изображенной на рис. 10.18, с использованием закодированных кубитов и закодированных логических элементов Если все элементы схемы устойчивы к ошибкам, то вероятность ошибки в выходных данных равна О(рз), где р — вероятность сбоя в каждом элементе оммы Обратите внимание на вторую процедуру исправления ошибок во втором кубите. Кажется, что эта процедура не должна выполняться. после предыдущего исправления ошибок с кубитом не происходило никаких изменений.
Однако зто не так. хранение кубита может быть источником ошибок, поэтому такие ошибки следует периодически исправлять. Последовательно выполняя процедуру исправления ошибок в закодированном состоянии, мы предотвращаем накопление ошибок. Конечно, чтобы предотвратить возникновение ошибок, недостаточно выполнять исправление ошибок даже после каждого закодированного элемента.
Существуют две проблемы. Во-первых, и это самое важное, закодированные элементы могут приводить к распространению ошибок. Например, в элементе ОХОТ на рис. 10.20 ошибка в управляющем кубите распространяется и на управляемый кубит. Поэтому закодированный элемент должен быть реализован таким образом, чтобы любая ошибка могла распространиться только на небольшое число кубитов в каждом блоке закодированных данных. Это позволит эффективно исправлять такие ошибки. Такая реализация закодированных элементов называется устойчивой и оиьибкам. Мы покажем, что возможно создать универсальный набор элементов — элемент Адамара, фазовый элемент, С1ч'ОТ и т/8-элементы, устойчивьгм к ошибкам.
Вторая проблема заключается в том, что само исправление ошибок может вводить ошибки в закодированные кубиты. Здесь нужно тщательно следить за тем, чтобы сбой в процедуре исправления ошибок не вызвал слишком много ошибок в закодированных данных. Рис. 10.20. Элемент СучОТ вызывает распространение ошибки Ошибка только в управляющем кубите передается на оба выходных кубита Это верно и для закодированной версии элемента СЙОТ, работающей с закодированными кубитзми Успьойчиевье к ошибкам операции: определения Давайте определим более точно, что означает «процедура, устойчивая к ошибкамэ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
