М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 133
Текст из файла (страница 133)
Определим 2п х 2п матрицу Л следующим образом: л-[ (10.84) Здесь матрицы Х имеют размер п х и. Элементы д и д' группы Паули коммутируют тогда и только тогда, когда т(д)Лт(д") = О. Формула хЛу определяет некоторое «косое» скалярное произведение матричных строк х и у, которое показывает, коммутируют ли соответствующие им элементы группы Паули, э'пражненне 10.33. Покажите, что д и д' коммутируют тогда и только тогда, когда т(д)Лт(д )т = О. (При использовании проверочных матриц арифметические операции производятся по модулю 2.) Ътпражненне 10.34.
Пусть Я = (дм...,дД. Покажите, что — Х не является элементом Я тогда и только тогда, когда д~д = Х для всех «', и д ф — Х для всех у. 'Упражнение 10.35. Пусть о — подгруппа С„, не содержащая — Х. Покажите, что д = Х для всех д 6 Я и, следовательно, д1 = д. Пусть Я = (ди..., дД. Существует очень полезный способ представления образующих дм..., д~ с использованием проверочной матлХтицм.
Это матрица 1 х 2п, строки которой соответствуют образующим от дс до дь Левая половина матрицы содержит единицы в позициях, соответствующих операторам Х в образующих. Правая половина матрицы содержит единицы в позициях, соответствующих операторам Я. Единица, находящаяся в одной позиции в левой и правой половинах матрицы, соответствует оператору У в образующей.
Более строго, »тя строка строится следующим образом. Если д~ содержит Х в Х-ом кубите, то в (-ом и п+ ~-ом столбцах стоят нули; если д; содержит Х в ~-ом кубите, то в Х-ом столбце стоит 1, а в п + Х-ом — ноль; если д; содержит У в ~-ом кубите, то в ~-ом и п + ~-ом столбцах стоят единицы; наконец, если д; содержит Я в ~-ом кубите, то в ~-ом столбце стоит ноль, а в п+ ~-ом — единица.
Для семикубитового кода Стина мы можем записать проверочную матрицу, используя рис. 10.6: 562 Глава 10. Исправление квантовых ошибок Полезная взаимосвязь между независимостью образующих и проверочной мат- рицей устанавливается с помощью следующего утверждения: эттверждение 10.3. Пусть Я = (дм...,д») не содержит — 1. Образующие д»,..., д» независимы тогда и только тогда, когда строки соответствующей проверочной матрицы линейно независимы. Доказатиельстиво.
Приведем доказательство от противного. Заметим сыачэла, что дд равно 1 для всех т (упр. 10.35). Кроме того, г(д) + г(д') = т(дд'), т. е. сложение в строковом представлении соответствует умножению элементов группы. Поэтому строки проверочной матрицы линейно зависимы (2 '» а»г(д») = 0 и ат ф 0 для некоторого у) тогда и только тогда, когда П»д," равно тождественному оператору с точностью до некоторого множителя. Но — Х ф Я, поэтому множитель должен быть равен 1, и последнее условие эквивалентно условию ду = д ' = П» д,".
Следовательно, д»,..., д» не независимые Образующие. ° С помощью следующего утверждение легко доказать, что т'з имеет размерность 2", если Я задается» = и — к коммутирующими независимыми образующими и — 1 ф Я. Мы еще не рэз используем это утверждение. Доказательство опять проводится с использованием проверочной матрицы. Ъттверждение 10.4. Пусть группа Я = (дм...,д») задана» независимыми образующими и — Х ф Я.
Допустим, что т' — некоторое число из набора 1,..., ». Существует д е С„, такое, что дд»д = — д» и дд д = дт для любого т' ф т. Доиазаительстиво. Пусть С вЂ” проверочная матрица, соответствующая операторам д»,...,д». В соответствии с утверждением (10.3) строки С линейно независимы, поэтому существует такой 2и-мерный вектор х, что СЛх = еп где е» вЂ” »-мерный вектор с единицей в т-й позиции и остальными нулями в остальных позициях. Выберем д так, что г(д) = х~. Тогда по определению х мы имеем г(д )Лт(д) = 0 для т ~ т и г(д»)Лг(д)т = 1. Следовательно, дд»дт = — д» и дд.дт = д для т' ~ т. ° Мы завершим рассмотрение основных элементов формализма стабилизаторов доказательством того, что т'з ыетривиально, если Я задается независимыми коммутирующими образующими и — 1 ф Я.
Действительно, для» = и — )т абра; зующих, Уз должно быть 2"-мерным (мы докажем это). Интуитивно понятно, что добавление одной образующей уменьшаег размерность Ъя в два раза из-за того, что собственные пространства тензорного произведения матриц Паули, соответствующие собственным значениям +1 и — 1, делят гильбертово пространство на два надпространства одиыаковой размерности. эттверждение 10.5. Пусть Я = (д»,..., д») порождается и — »т независимыми коммутирующими элементами С„и — 1 ф Я. Тогда $~ — 2ь-мерное векторное пространство. Во всех наших последующих рассуждениях в формализме стабилизаторов мы считаем, что стабилизаторы описываются независимыми коммутирующими образующими, такими, что — Х ф Я.
10.5. Симплектические коды 563 Доназатпельсгпво. Пусть з = (зп..., за в) — 2" "-мерный вектор с элементами из Уэ. Введем П~=ь" (1+ ( 1)*'д1) 2а-ь (10.85) Так как оператор (1+ д )/2 является проектором на собственное пространство д., соответствующее собственному числу +1, легко видеть, что Рз '"' (о,...,о) проектор на гз. В соответствии с утверждением 10.4, для каждого х существует д из множества С„, такое, что д Рз '"' (д,) = Рз и, следовательно, (о,...,о) размерность Рз совпадает с размерностью $''з, Легко видеть, что Рз для различных х ортогональны.
В завершение доказательства заметим, что 1=~~ Рз. (10.86) В левой части равенства стоит проектор на 2"-мерное пространство, в правой части — сумма 2" " ортогональных проекторов, имеющих такую же размер- ность, что и гз. Таким образом, размерность $ з равна 2ь. 10.5.2 Унитарные операторы и формализм стабилизаторов Мы уже обсудили использование формализма стабилизаторов для описания векторных пространств. С помощью формализма стабилизаторов можно также описывать динамику этих пространств в пространстве состояний под действием различных квантовых преобразований. Это очень важно, так как мы сможем описать квантовые коды, исправляющие ошибки, в формализме стабилизаторов и получим удобный способ описания шума и других динамических процессов в этих кодах.
Предположим, что мы действуем унитарным оператором У на векторное пространство Ъз, которое стабилизируется группой Я. Пусть |4) — произвольный элемент гз. Тогда для любого оператора д из Я У)Ф) = УдЯ = УдУ1 УЯ, (10.87) т. е. состояние У~4) стабилизируется оператором УдУ1. Следовательно, векторное пространство УУз стабилизируется группой УЯУ1 = (УдУ1~д Е 51. Коли дм..., дс — образующие группы Я, то Удд У1,..., Уд~ У1 — образующие группы УоУ1, поэтому, чтобы понять, как меняется стабилизатор под действием унитарного оператора, достаточно определить, как меняются его образующие. Большим преимуществом такого подхода является то, что для некоторых унитарных операторов У изменение образующих записывается особенно просто.
Предположим, например, что мы применяем элемент Адамара к одному кубиту. Заметим, что 564 Глава 10. Исправление квантовых ошибок НХН1 = Я, НУН1 = -У НЕН1 = Х (10.88) отсюда следует, что применив элемент Адамара к состоянию, стабилвзируемому оператором Я (состоянию ~0)), мы получим состояние, стабилизируемое оператором Х (~+)). Этот пример может показаться не слишком впечатляющим, поэтому рассмотрим состояние и кубитов, стабилизируемое группой (Яы Яз,..., Я„). Нетрудно понять, что это состояние ~0) н". Применим элемент Адамара к каждому кубиту. Стабилизатор при этом перейдет в (Хп Хю..., Х„); мы получим знакомое нам состояние, являющееся суперпозицией всех состояний вычислительного базиса с равными весами.
Заметим, что в этом примере для записи получившегося состояния обычным способом (в виде вектора) нужно задать 2" амплитуд. В формализме стабилизаторов нам потребовалось всего п образующих (Хп Хз,..., Х„). Можно подумать, что такая компактная запись не является неожиданностью, поскольку в данном случае мы не получаем запутанных состояний. Однако в формализме стабилизаторов можно эффективно описать и элемент СКОТ, который вместе с элементом Адамара способен создать запутанные состояния. Чтобы показать это, рассмотрим, как действует элемент СКОТ на операторы Хм Хз, А и Яз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
