М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 134
Текст из файла (страница 134)
Обозначив через Н элемент СКОТ с управляющим кубитом 1 и управляемым кубитом 2, запишем 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 О 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 Х~ Хз. (10.89) Аналогичным образом получим НХ~Н1 = Хю УЯ,Н1 = Я~ и НЯ~У1 = Я~Я~. Чтобы показать, как действует Н на другие элементы группы Паули, можно воспользоваться только что полученными равенствами.
Например, чтобы найти НХ~ХзН1, запишем НХ~ХзЮ = ПХ~ЮПХзН1 = (Х~Хэ)Хт = Хн Для матриц У действуем аналогично: ПУзН1 = юУХзЯзН1 = 4ПХэ171НЯзН1 = гХз(Я~Уз) = Я~Уз. Упражнение 10.36. Прямым вычислением проверьте, что НХ~Н1 = Х~Хз, УХзН1 = Хз, УЯ~ Н1 = Я~ и УЯзН1 = Я~ Уз. Эти и другие полезные соотношения для элемента Адамара, фазового элемента и элементов Паули приведены на рис. 10.7. 10.5.
Симплектические коды 565 Рис. 10.7. Изменение элементов труппы Паули под действием раэличных операторов В элементе СМОТ кубит 1 — управляющий, а кубит 2-управляемый Упражнение 10.37. Чему равно УУ~У~? В качестве примера использования формализма стабилизаторов для описания унитарных динамических процессов, рассмотрим схему обмена, приведенную в подразд. 1.3.4. Для удобства она изображена на рис. 10,8. Рассмотрим, как операторы Я1 и 32 преобразуются под действием этой схемы. Оператор Яэ преобразуется следующим образом: Ят — Ят — Я~22 — Яэ, а оператор Яй преобразуется как 32. Я~Я~ Я~ Яь Аналогично Х ~ Х и Х Х .
Очевидно, что если У вЂ” оператор обмена, то должны выполняться соотношения: УЯэУ1 = Яэ и 1г'Я2У1 = 3П аналогичные соотношения для Хэ и Хэ, Эти равенства верны для схемы, изображенной на рис. 10.8. Доказательство того, что эта схема реализует элемент У, предлагаем вам в качестве упражнения. Рис. 10.0.
Схема обмена для двух кубитов Упражнение 10.38. Пусть П и 1г — унитарные операторы, действующие на два кубита и одинаково преобразующие Хм Хт, Я~ и Яз. Покажите, что У = 1г. 566 Глава 10. Исправление квантовых ошибок Пример схемы обмена интересен, однако он не демонстрирует очень полезное свойство формализма стабилизаторов — способность описывать определенный тип запутанных квантовых состояний. Мы уже показали, что с помощью формализма стабилизаторов можно описать элемент СКОТ и элемент Адамара.
Вместе эти два элемента могут создавать запутанные состояния (см. подразд, 1.3.6). Мы покажем, как в формализме стабилизаторов может быть описан широкий класс запутанных состояний, включая кодовые слова многих квантовых кодов. Какие элементы, кроме элемента Адамара и ОХОТ, могут быть описаны в формализме стабилизаторов? Наиболее важным дополнением к этому набору является однокубитовый фазовый элемент, который определяется следующим образом: (10.90) Легко вычислить действие этого элемента иа матрицы Паули: л'пражиеиие 10.39.
Проверьте (10.91). Оказывается, что любой унитарный оператор, преобразующий элементы С„ в элементы С„, может быть составлен из элементов Адамара, фазовых элементов и элементов ОХОТ. По определению, набор операторов У, такой, что УС„У1 = С„, называется нор молизатаром С„и обозначается как Х(С„). Образующими нормализатора С„являются элемент Адамара, элемент ОМОТ и фазовый элемент. Эти три элемента иногда называют элементами нормали- затора. Доказательство этого факта простое, но полезное, оно предлагается в качестве упРажнения 10.40. Теорема 10.6. Пусть У вЂ” унитарный оператор, действующий на и кубитов, причем УдУ1 е С„для любого д е С„.
С точностью до общей фазы оператор У может быть составлен из 0(пз) элементов Адамара, фазовых и элементов ОХОТ. Упражнение 10.40. Докажите теорему 10.6 методом математической индук- ции в следующей последовательности: (1) Докажите, что из элемента Адамара и фазового элемента можно составить любой элемент нормализатора для одного кубита. (2) Пусть У вЂ” элемент Л(С„+~), действующий на и + 1 кубитов, такой, что УЯ~У1 = Х~ З д и УХ~У1 = Я~ З д' для некоторых д, д' е С„.
Определим элемент У', действующий на и кубитов, следующим образом: Г~ф) се ~/2(0(У((0) З (ф)). Используя предположение индукции, покажите, что элемент У может быть реализован с использованием 0(пз) элементов Адамара, фазовых и элементов СКОТ. 10.5. Симплектические коды 567 (3) Покажите, что любой элемент У е Ж(тт„З может быть сконструирован с использованием 0(п~) Адамара, фазовых и элементов Ср?ОТ . Рис. 10.0. Конструкция, используемая для доказательства того, что элементы Адамара, фазо- вые элементы и ОтОТ являются образующими нормализзтора АГ(йп) Мы увидели, что много интересных квантовых элементов входит в нормализатор И(С„).
Существуют ли элементы, не входящие в него? Оказывается, большинство квантовых элементов не входит в нормализатор. Особенно интересными являются два из них: (х/8)-элемент и элемент Тоффоли. Пусть У— элемент Тоффоли с управляющими кубитами 1 и 2 и управляемым кубитом 3, а Т вЂ” (тг/8)-элемент. Можно легко вычислить действие этих элементов на матрицы Паули: тгт1 = г, тхтз = —, Х+У т/2 (10.92) 2 1+ гз + Хз гзХз УХзУ = Хз З 2 игзи1 г, (10.94) (7ХзУ1 = Хз УгзУ1 = гз З (10 95) 2 К сожалению, рассмотрение в формализме стабилизаторов схем, содержащих (я/8)- и Тоффолн элементы, менее удобно, чем рассмотрение схем, состоящих только из элементов Адамара, фазовых и элементов С?4ОТ. Однако кодирование, декодирование, обнаружение и исправление ошибок для симплектическнх кодов может быть выполнено с использованием этих элементов, так что формализм стабилизаторов можно применять для изучения таких кодов.
э'празкнение 10.41. Проверьте формулы (10.92-10.95). 10.5.3 Измерения в формализме стабилизаторов Мы показали, как некоторый ограниченный класс унитарных элементов может быть удобно описан в формализме стабилизаторов. Измерения в вычислительном базисе также могут быть описаны в формализме стабилизаторов. Чтобы показать это, предположим, что мы производим измерение оператором д Е суп 568 Глава 10.
Исправление квантовых ошибок (оператор д эрмитов и, следовательно, может рассматриваться как наблюдаемая величина, см. подразд. 2.2.5). Без потери общности можно считать д произведением матриц Паули без множителя — 1 или Ы. Пусть система находится в состоянии ~ф), которое стабилизируется группой (ды...,д~). Как этот стабилизатор меняется при измерении? Существует два возможных варианта. ° д коммутирует со всеми образующими стабилизатора. ° д аитикоммутирует с одной или несколькими образующими. Пусть стабилизатор имеет образующие (дм..., д„) и д антикоммутирует с дь Без потери общности можно считать, что д коммутирует со всеми остальными образующими (дю..., д„). Действительно, если д не коммутирует, например с дз, можно заменить дз на оператор дпдз, с которым д коммутирует.
(10.96) (10.97) Используя тот факт, что д~(ф) = ~ф) и дд~ = — д~д, получаем р(+1) = сг ( — д~ ~ф) (ф) /Х+д (, 2 — Сг д~ (ф) (ф (10.98) (10.99) Переставим циклически операторы под знаком следа так, чтобы дд оказался спРава, и, пРименив Равенство д~ = ды Уничтожим его с помоЩью )15) (см. упр. 10.35). В результате получим (10.100) В первом случае д или -д является элементом стабилизатора. Действительно, поскольку д1д(ф) = дд~)ф) = д(ф) для любой образующей, состояние дед) является элементом Уз и, следовательно, пропорционально ~ф).
Так как д~ = Х, то д(ф) = ~~ф) и значит д или — д является элементом стабилизатора. Предположим, что д является элементом стабилизатора. (Случай — д рассматривается аналогично.) При этом д~ф) = ~ф) и измерение д дает +1 с вероятностью 1, не нарушал состояния системы и, следовательно, не изменяя стабилизатора. Что же происходит во втором случае, когда д антикоммутирует с д~ и коммутирует со всеми остальными образующими? Заметим, что д имеет собственные значения ~1 и, следовательно, проекторы для результатов измерения ~1 равны (Ххд) /2 соответственно. Вероятности различных результатов измерений равны 10.5.
Симплектические коды 569 Так как р(+1) + р( — 1) = 1, получаем р(+1) = р( — 1) = 1/2. Пусть результат измерения +1. В этом случае новое состояние системы ф~) = (1 + д) ф)/Л. Это состояние имеет стабилизатор (д, дэ,..., д„). Точно так же, если результат измерения — 1, стабилизатор полученного состояния ( — д, дэ,..., дэ). 10.5.4 Теорема Готтесмана — Нилла Использование стабилизаторов для описания унитарных преобразований и измерений обобщается замечательной теоремой Готтесмана — Нилла. Теорема 10.7 (теорема Готтесмана — Нилла). Пусть квантовое вычисление выполняется с использованием приготовления состояний в вычислительном базисе, элементов Адамара, Паули, фазовых и элементов ОХОТ, измерений наблюдаемых из группы Паули (которые как частный случай включают измерения в вычислительном базисе), классического управления в зависимости от результатов измерений. Такое квантовое вычисление может быть эффективно продемонстрировано на классическом компьютере.
Мы уже неявно доказали теорему Готтесмана — Нилла. На классическом компьютере можно моделировать квантовые вычисления, оперируя с образующими стабилизатора. Например, чтобы промоделировать элемент Адамара, нужно соответствующим образом изменить и образующих, описывающих квантовое состояние.
Аналогичным образом можно промоделировать приготовление состояний, фазовый элемент и элементы ОХОТ, элементы Паули и измерения наблюдаемых величин из группы Паули с использованием 0(п~) операций на классическом компьютере; следовательно, квантовое вычисление из т операций может быть промоделировано 0(пят) операциями на классическом компьютере.
Теорема Готтесмана — Нилла аокэзывает, насколько тонким вопросом является эффективность квантового компьютера. Некоторые квантовые вычисления даже с сильно запутанными состояниями могут быть эффективно моделированы на классическом компьютере. Конечно, не все типы квантовых вычислений (и не все типы запутанных состояний) могут быть эффективно описаны в формализме стабилизаторов. Такие интересные задачи обработки квантовой информации, как квантовая телепортация (подразд. 1.3.7) и сверхплотное кодирование (подрэзд. 2.3) выполняются только с использованием элементов Адамара, СКОТ и измерений в вычислительном базисе. Согласно теореме Готтесмана — Нилла, они могут эффективно моделироватъся на классическом компьютере.
Мы увидим, что большое количество квантовых кодов, исправляющих ошибки, может быть описано в формализме стабилизаторов. э'пражиеиие 10.42. Используйте формализм стабилизаторов, чтобы проверить, что схема, изображенная на рис. 1.13, производит телепортацию кубитов. Обратите внимание, что формализм стабилизаторов ограничивает класс состояний, которые можно телепортировать, так что в некотором смысле он не обеспечивает полного описания квантовой телепортации. Тем не менее, такой подход позволяет понять механизм телепортации.
570 Глава 10. Исправление квантовых ошибок 10.5.5 Построение симплектических кодов Формализм стабилизаторов идеально подходит для описания квантовых кодов. В данном разделе мы проиллюстрируем это на нескольких важных кодах, таких как девятикубитовый код ШоОр, СЯЯ коды, и пятикубитовый квантовый код, самый маленький код, исправляющий произвольные ошибки в одном кубите.
Основная идея очень проста: симплектическим [и, й]-кодом называется векторное пространство Ъ~, стабилизируемое подгруппой Я группы С„, такой, что — 1 ф Я и Я имеет и — Й независимых коммутирующих образующих, (дм..., д„-ь). Обозначим такой код как С(Е). Какие состояния образуют базис для кода С(Я)? Так как стабилизатор Я имеет и — я образующих, можно выбрать любой набор из 2ь ортонормированных векторов в коде С(Я) в качестве оригинала базисных состояний. На практике, однако, удобнее выбрать некоторый определенный набор состояний следующим образом.
Сначала выберем операторы Яп..., Яь е С„, такие, что дп..., д„ы Яп..., Яь независимы и коммутируют (мы объясним, как это может быть сделано несколько позже). Оператор Я играет роль логического оператора Паули и, для логического кубита с номером д, так что логическое состояние вычислительного базиса ]хм..., хь)ь определяется как состояние, стабилизируемое оператором (д, ",д -ю(-1)*'я,...,(-1)* г~). (10.101) Мы определяем Ху как такое произведение матриц Паули, которое меняет Я на — Яз (Х Й Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
