М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 138
Текст из файла (страница 138)
Если сбой, происходящий только в одной компоненте процедуры, приводит к не более, чем одной ошибке в каждом выходном блоке кубитов, то такая процедура назьгвается устойчивой к ошибкам. Например, рассмотрим 584 Глава 10. Исправление квантовых ошибок устойчивую к ошибкам процедуру исправления ошибок. Если сбой происходит в одной из ее компонент, то на выходе получаем блок кубитов с ошибкой не более, чем в одном кубите. Под «компонентой» процедуры мы понимаем любые элементарные операции, в том числе логические элементы, измерения, передачу и приготовление квантовых состояний. Определение устойчивости к ошибкам в литературе иногда имеет более общий вид, учитывающий некоторые дополнительные тонкости. Для наших целей достаточно приведенного выше определения.
Конечно, мы хотим применять в наших квантовых вычислениях не только закодированные элементы. Нам также будут нужны устойчивые к ошибкам процедуры измерения и приготовления квантовых состояний. Измерение наблюдаемой величины для набора закодированных кубитов назовем устойчивым к ошибкам, если в случае сбоя в одной компоненте этой процедуры ошибка возникнет не более, чем в одном кубите каждого блока выходных данных; кроме того, вероятность ошибки в измеренном результате должна быть 0(рз), где р— максимальная вероятность сбоя в каждой компоненте процедуры измерения.
Приготовление закодированного квантового состояния назовем устойчивым к ошибкам, если сбой в одном элементе этой процедуры приводит к ошибке не более, чем в одном кубите каждого блока выходных данных. Чтобы сделать определение устойчивости к ошибкам более точным, необходима определенная модель ошибок.
Одно из основных упрощений, которое мы делаем, заключается в том, что мы рассматриваем только четыре типа ошибок — Х, Х, У и Я, которые могут происходить стохастически с соответствующими вероятностями. Мы допускаем возможность скоррелированных ошибок в двух кубитах для элементов типа СМОТ, однако полагаем, что они имеют вид тензорного произведения матриц Паули и имеют определенную вероятность. Такой подход позволит нам использовать знакомые методы классической теории вероятностей для определения вероятности того, что схема дает правильные результаты.
При более сложном анализе устойчивости к ошибкам (см. раздел «История и дополнительная литература» в конце главы) рассматриваются горездо более общие модели ошибок, допускающие, например, произвольно скоррелированные ошибки в нескольких кубитах. Однако, более сложные способы исследования устойчивости к ошибкам являются обобщением рассмотренного нами в сочетании с более глубоким анализом того факта (который мы уже рассматривали в этой главе), что для исправления непрерывного множества возможных ошибок достаточно исправить только некоторое дискретное множество ошибок.
Используя нашу модель ошибок, мы можем более точно определить что означает «распространение» ошибок по схеме. Рассмотрим, например, элемент ОХОТ, изображенный на рис. 10.20. Предположим, что перед применением СКОТ в первом кубите возникла ошибка Х. Если обозначить унитарный оператор, соответствующий элементу СМОТ, через У, то действие схемы будет следующим: УХ~ = УХ~У~У = Х~ХзУ, т. е. как если бы элемент был идеален, а затем ошибки Х возникли в обоих кубитах. Дальше в этой главе мы будем часто применять подобное преобразование, чтобы посмотреть, как ошиб- 10.6, Квантовые вычисления, устойчивые к ошибкам 585 ки распространяются по нашей схеме. Более интересен пример распространения ошибки, когда сбой происходит в самом элементе СХОТ.
Пусть элементу СХОТ с шумом соответствует квантовое преобразование б. Это преобразование может быть записано в следующем виде: Е = Е с И ~ и И, где И вЂ” преобразование, соответствующее идеальному элементу СХОТ. Таким образом, действие элемента СХОТ с шумом эквивалентен по действию идеального элемента СХОТ, с последующим преобразованием б о И '.
В случае, если наш элемент достаточно хорош, это преобразование близко к тождественному и может быть представлено в рамках нашей модели ошибок с помощью тензорных произведений операторов Паули, таких как Л З Х, действующих на два кубита с некоторой малой вероятностью р. В приведенных ниже разделах будут подробно рассмотрены устойчивые к ошибкам реализации всех перечисленных операций: квантовая логика с универсальным набором элементов, измерение и приготовление квантовых состояний.
Мы опишем конкретные схемы реализации кода Стина, которые легко обобщэются на другие симплектические коды. Сейчас, однако, представим, что у нас уже имеются все эти процедуры. Как использовать их, чтобы проводить безошибочное квантовое вычисление? Пример: устойчивый к ошибкам элемент СКОТ Рассмотрим реализацию устойчивого к ошибкам элемента СХОТ с последующим исправлением ошибок, как показано на рис. 10.21. Кубиты будем рассматривать в четырех точках: на входе в схему (1), после элемента СХОТ (2), после измерения синдрома (3) и после исправления ошибки (4).
Мы хотим показать, что вероятность двух или более ошибок в первом закодированном блоке кубитов равна 0(рэ), где р — вероятность сбоя в каждом из компонент схемы. Так как идеальное декодирование (гипотетическое) первого блока кубитов не возможно только в случае двух или более ошибок в этом блоке, то, следовательно, схема увеличивает вероятность ошибки (в идеально декодированном кубите) на 0(р~).
т т т ) 1 2 3 4 Рис. 10.21. Диаграмма устойчивого к ошибкам элемента, включающая исправление ошибок 586 Глава 10. Исправление квантовых ошибок Чтобы показать это, рассмотрим все возможные варианты, когда схема дает две или более ошибки в первом закодированном блоке кубитов.
(1) По одной ошибке в каждом блоке входных данных. Это может стать причиной двух ошибок в первом выходном блоке, например, из-за распространения ошибки из второго блока в первый в закодированном элементе СКОТ. Если входные данные до этого обрабатывались устойчивым к ошибкам способом, то можно утверждать, что вероятность ошибки в первом входном блоке кубитов равна сер, так как эта ошибка должна произойти во время измерения синдрома или исправления ошибки на предыдущем шаге. Постоянная сс определяется числом мест, в которых могла произойти ошибка при выполнении этих операций.
Если предположить, что вероятность ошибки во втором блоке кубитов также равна сер и что эти две ошибки (по одной в каждом блоке) происходят независимо, то мы получим для данного случая вероятность ошибки сезрз. В конструкции кода Стина, которая будет описана ниже, вклад в сс дают шесть отдельных измерений синдромов, каждое из которых имеет примерно 10 позиций, в которых может произойти ошибка, и исправление ошибки, которое дает еще семь позиций, т. е. сс ю 70. (2) Ошибка в одном из входных блоков и сбой в элементе СКОТ.
Вероятность этого равна с~р, где постоянная с~ определяется количеством пар э точек, где могут произойти такие ошибки. При использовании кода Стина ошибка во входном блоке может произойти примерно в 70 местах (мы это показали в предыдущем пункте). Это число надо умножить на 2 (так как ошибка может быть в любом из двух блоков) н на число мест в элементе ОХОТ, где может произойти сбой (в нашем случае это 7). В результате получаем с~ ы 7 х 2 х 70 10з пар позиций, в которых могут произойти две такие ошибки. (3) Обе ошибки происходят в элементе СКОТ.
Вероятность этого равна сэр~, где сз — число пар точек в элементе ОХОТ, где могут произойти ошибки. Для кода Стина сз ю 10з. (4) Одна ошибка происходит в элементе Сг1ОТ, вторая — при измерении синдрома. Нас интересует только случай, когда измерение синдрома дает неправильный результат. Это происходит с вероятностью сзрз (для кода Стина сз — 10з). Другой интересный (но несущественный для нас) случай — когда измерение синдрома дает правильный результат. В этом случае ошибка от элемента СКОТ будет исправлена и на выходе останется только одна ошибка, возникшая при измерении синдрома.
(5) Две или большее число ошибок возникают при измерении синдрома. Это происходит с вероятностью не более с4р~, где с4 — число пар точек, в которых могут возникнуть ошибки. (Для кода Стина с~ 70з ы 5 х 10з.) (6) Одна ошибка возникает при измерении синдрома и одна — при исправлении ошибки. Это происходит с вероятностью не более сэр~, где сев 10.6. Квантовые вычисления, устойчивые к ошибкам 587 число пар точек, в которых могут возникнуть ошибки. (Для кода Сти- на сэ — 70 х 7 ~ 500.) (7) Две или большее число ошибок возникают при исправлении ошибок. Это происходит с вероятностью не более свр, где св — число пар точек, в ко- 2 торых могут возникнуть ошибки. (Для кода Стина св — 7~ — 50.) Мы получили, что вероятность возникновения двух или большего числа ошибок в первом блоке кубитов в этой схеме не больше, чем срз, где постоянная с = сб + с1 + сз + сз + с4 + св + св.
Для кода Стина с ж 104. Если выполнить идеальное декодирование первого блока кубитов, то ошибки с вероятностью будут не больше ср~. Это действительно замечательный результат: нам удалось построить элемент СХОТ, работающий без ошибок с вероятностью 1 — срэ, из элементов с вероятностью ошибки р. Это означает, что для достаточно малых р (например р ( 10 4) можно повысить надежность нашей схемы. Аналогичным образом можно рассмотреть другие компоненты, которые необходимы в квантовых вычислениях. Делая наши элементы устойчивыми к ошибкам, можно понизить вероятность ошибки в ных с р до срз для некоторой постоянной с.
Мы оценили величину с только для ОХОТ элемента, однако, и для других устойчивых к ошибкам операций оценки дают близкие величины. Мы будем далее использовать с ш 10 для количественных оценок. Каскадные коды и пороговая теорема Каскадные коды позволяют еще больше уменьшить вероятность ошибки. Идея заключается в рекурсивном применении метода, описанного выше, которое приводит к иерархии квантовых схем: Се (исходная схема), См Сз и т.д. Сначала каждый кубит кодируется некоторым квантовым кодом, каждый кубит которого также кодируется, и так далее до бесконечности (см.
рис. 10.22). Затем каждый элемент схемы Со, например элемент Адамара, заменяется на устойчивую к ошибкам процедуру в схеме Сы реализующую закодированный элемеыт Адамара и исправление ошибок. Затем каждый элемент цепи С1 заменяется в цепи Сз на процедуру, реализующую закодированную версию этого элемента и исправление ошибок, и т.д. Рассмотрим только что описанный двухуровневый каскадный код. Если вероятыость ошибки на ыижнем уровне (уровне физических кубитов) равна р, то на среднем уровне (одиы уровень кодирования) она равна ср~.
На самом верхнем уровые (два уровня кодирования) вероятность того, что наша схема даст правильный результат, равна с(ср~)~. Следовательно, для каскадного кода с й уровнями вероятность ошибки равна (ср)э /с, тогда как размер схемы для такого кода в ак раз больше размера исходной схемы (д определяется максимальным числом операций, необходимых для построения устойчивой к ошибкам процедуры, реализующей закодированный элемент и исправление ошибок) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
