М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 140
Текст из файла (страница 140)
К счастью, хотя ошибки и возникают в двух кубитах, эти кубиты принадлежат разным блокам. Аналогичные рассуждения можно провести и для ошибки, возникающей в других местах. Итак, ошибка в одной компоненте нашей схемы распространяется не более, чем на один кубит каждого кодового блока, так что эта реализация закодированного элемента СКОТ является устойчивой к ошибкам. Мы только что построили устойчивые к ошибкам элемент Адамара, фазовый элемент и С1чОТ.
Согласно теореме 10.6, из них можно сконструировать любой устойчивый к ошибкам элемент нормализатора. Конечно, такие элементы не исчерпывают всех возможных унитарных операций, необходимых для квантовых вычислений, однако это многообещающее начало! упражнение 10.64 (обратное распространение ошибок). Очевидно, что ошибка Х в управляющем кубите элемента СКОТ распространяется на управляемый кубит. Оказывается, что ошибка Я в управляемом кубите распростра. няегся обратно на управляющий кубит! Покажите это, используя формализм стабилизаторов, а также тождественность квантовых схем.
Вам может пригодиться упражнение 4.20. Устойчивый к ошибкам к/8-элемент Нам осталось построить всего один устойчивый к ошибкам элемент, чтобы получить стандартный набор элементов для универсального квантового вычисления. Это к/8-элемент. Мы можем также получить универсальный на:- бор элементов, добавив к уже имеющимся у нас элементу Адамара, фазовому элементу и элементу Сг1ОТ устойчивый к ошибкам элемент Тоффоли (см. подрэзд. 4.5.3). Это позволит проводить произвольное квантовое вычисление устойчивым к ошибкам способом. Оказывается, устойчивый к ошибкам л/8- элемент очень легко построить; используя более сложные конструкции, можно реализовать и элемент Тоффоли. Построим схему, реализующую к/8-элемент с помощью уже известных, устойчивых к ошибкам элементов, таких как СКОТ, фазовый и Х элементы. 10.6, Квантовые вычисления, устойчивые к ошибкам 593 В этой схеме, однако, есть две компоненты, про которые мы пока не знаем, как сделать их устойчивыми к ошибкам.
Одна из ннх — это приготовление всполсогаптельиого состояния. Нужно, чтобы сбой в любом элементе приводил к не более чем одной ошибке в блоке кубитов, кодирующем вспомогательное состояние. Как это может быть сделано, мы объясним позже в этом разделе. Вторая компонента этой схемы — измерение. Нужно, чтобы ошибка в любом элементе процедуры измерения не влияла на его результат. Если это произойдет, ошибка распространится на несколько кубитов первого блока, так как выполнение закодированной операции ЯХ зависит от результата измерения. Как построить такую процедуру измерения, описано в следующем разделе.
(Строго говоря, для этой устойчивой к ошибкам процедуры измерения вероятность ошибки равна 0(рз), где р — вероятность ошибки в одном элементе процедуры. Мы пренебрежем этим в нашем рассмотрении. Более точный анализ немного сложнее и может быть проведен аналогичным образом.) тр> Рис. 10.25. Квантовая схема, реализующая устойчивый к ошибкам к/8-злемент. Пунктиром обведена часть схемы для процедуры приготовления вспомогательного состояния ()0) + ехр(ек/4))1))/т/2 Эта процедура не является устойчивой к ошибкам, как реализовать ее устойчивым к ошибкам способом, описано в тексте Перечеркнутые линии обозначают семикубитовые блоки, двойная линия — классический бит, являющийся результатом измерения Элемент оХ управляется результатом измерения На рис. 10.25 показана схема, реализующая тг/8-элемент.
Все части схемы могут быть сделаны устойчивыми к ошибкам, за исключением может быть части, обведенной пунктирной рамкой, и измерения. В начале работы схемы мы имеем два закодированных кубита. Это кубит [1Ь) = а[0) + Ь[1), который мы хотим преобразовать ([О) и [1) обозначают здесь логические состояния) и приготовленный кубит в состоянии [О) + ехр(зх/4) [1) ~/2 (10.П8) Приготовление такого состояния осуществляет часть схемы, обведенная пунк- тирной рамкой.
Как сделать эту процедуру устойчивой к ошибкам, мы вскоре объясним. Применение элемента С)к)ОТ к этим двум состояниям дает — [[О) (а[1) + Ь[0)) + ехр(зся/4)[1) (а[0) + Ь[1))[ 1 ь/г 1 = — [(а[0) + Ьехр(йг/4)[1)) [О) + (Ь[0) + аехр(тя/4)[1)) [1)) . ~/2 (10.119) 594 Глава 10. Исправление квантовых ошибок После этого мы измеряем второй кубит. Если в результате получается О, то операция завершена. В противном случае на первый кубит действуем оператором (10.120) В результате получаем состояние а/О) + Ь ехр(ах/4)/1) (с точностью до общего фазового множителя), что и требовалось.
Подробно получение этого результата описано ниже в упражнениях. Такая же конструкция используется и для реализации устойчивого к ошибкам элемента Тоффоли (см. упражнение 10.88). Для построения устойчивого к ошибкам х/8-элемента требуется устойчивый к ошибкам метод приготовления вспомогательного состояния 6. Такое приготовление можно осуществить с использованием устойчивого к ошибкам измерения, которое детально описано в следующем разделе. Как показано на рис. 10.25, 6 можно приготовить, применяя элемент Адамара и затем х/8- элемент к состоянию )О).
Состояние (О) является собственным состоянием оператора Я и соответствует собственному значению +1. Поэтому 6 является собственным состоянием оператора ТНЕНТ1 = ТХТ1 = е '"~4ЯХ, таклсе соответствующим собственному значению +1. Следовательно, состояние 6 может быть приготовлено с помощью устойчивого к ошибкам измерения состояния ~0) оператором е ' /~ЯХ.
Если получен результат +1, значит состояние 6 приготовлено правильно. Если же мы получили — 1, можно либо повторять эту процедуру сначала, пока не получим +1, либо применить к полученному состоянию устойчивый к ошибкам элемент Я. В последнем случае, поскольку ЛЯХА = — ЯХ, из собственного состояния оператора е ' /~ЯХ, соответствующего собственному значению — 1, мы получим собственное состояние, соответствующее собственному значению +1. Какой бы из этих способов мы не применили, любой сбой в нашей процедуре приведет не более, чем к одной ошибке в одном кубите закодированного состояния 6. Нетрудно видеть, что процедура для к/8-элемента, которую мы описали, устойчива к ошибкам как единое целое.
Однако, может быть полезно это рассмотреть на конкретном примере. Предположим, что сбой происходит при построении вспомогательного состояния и в одном из его кубитов возникает ошибка. Ошибка распространяется через закошгрованный элемент СКОТ на соответствующие кубиты в каждом из двух блоков. Одна ошибка во втором блоке не влияет на результат измерения (так как измерение устойчиво к ошибкам), поэтому мы правильно определим, применять или нет элемент ЯХ. Ошибка в первом блоке распространится через этот элемент, что приведет к одной ошибке в выходном блоке кубитов. Также можно показать, что любая одиночная ошибка в нашей реализации х/8-элемента не приведет к более, чем одной ошибке в выходном кодовом блоке.
эгпражиеиие 10.6б. Можно произвести обмен кубита в неизвестном состоянии ~ф) с кубитом, приготовленным в состоянии )О) с помощью двух элементов СЫОТ, используя схему рисунка 10.6. Квантовые вычисления, устойчивые к ошибкам 595 !Ф? !О) Покажите, что приведенные ниже две схемы с одним элементом Сг ГОТ, изме- рением и классически управляемым однокубитовым элементом выполняют ту же задачу. 'Упражнение 10.66 (устойчивый к ошибкам л/8-элемент).
Один из способов сделать устойчивый к ошибкам л/8-элемент состоит в следующем: обменять кубит в состоянии >гу) с кубитом в известном состоянии !О) и затем применить л/8-элемент к результату. Это можно сделать с помощью приведенной ниже схемы. !О) ТЯ ! /» На первый взгляд кажется, что эти действия бесполезны, однако зто не так. Покажите, используя соотношения ТХ = ехр( — Гл/4)ЯХ и ТГГ = Г/Т (У вЂ” элемент СКОТ, Т действует на управляющий кубит), что эта схема эквивалентна схеме на рис. 10.25. Упражнение 10.67. Покажите, что приведенные ниже схемы эквивалентны.
Гб1 Упражнение 10.68 (устойчивый к ошибкам элемент Тоффоли). С помощью процедуры, использованной в предыдущих упражнениях для л/8-элемента, можно построить устойчивый к ошибкам элймент Тоффоли. (1) Произведем обмен трехкубитового состояния !худ), которое мы хотим преобразовать, с известным состоянием !000). После этого применим элемент Тоффоли к полученным кубитам.
Покажите, что приведенная ниже схема выполняет именно такие действия. ,П !О) !Ф> >гу) Н !О) Н Х ф) >Ф> 696 Глава 10. Исправление квантовых ошибок !О) !х) !у> !0) /х9 ху) !у> (2) Используя правила коммутации из упр. 10.67, покажите, что если передвинуть элемент Тоффоли в левую часть, то получится следующая схема: ( !0) !у> !0) ~~ еху> (3) Предположив, что схема приготовления вспомогательного состояния, обведенная пунктирной рамкой, может быть сделана устойчивым к ошибкам способом, покажите, что вся схема дает устойчивую к ошибкам реализацию элемента Тоффоли для кода Стива. 10.6.3 'Устойчивое к ошибкам измерение Очень полезным и важным средством при конструировании устойчивых к ошибкам схем является возможность иамерлпзь оператор М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
