М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 128
Текст из файла (страница 128)
Такой метод полезен для некоторых реальных квантовых систем, в которых сложно провести необходимые измерения. Мы действуем практически так же, как в гл. 8, где объясняется, как расширить произвольное квантовое преобразование до унитарного. Сейчас мы повторим основные идеи применительно к исправлению квантовых ошибок. Предположим, что измерение синдромов ошибок в основной системе описывается операторами Мо а У» — соответствующие им унитарные операторы. Введем вспомогательную систему с базисными состояниями ~»), соответствующими возможным синдромам ошибок. Перед исправлением ошибок эта система переводится в состояние ~0).
Определим унитарный оператор У, действующий на основную и вспомогательную системы, как У/»р)/0) — = ~ (»»»М»!»р))!»). (10.31) Этот унитарный оператор может быть также определен на всем простран- стве состояний, поскольку (»р~(О~У»У~»р)~0) — ~»(р~М;"адМ )»д)б»1 (»р»М» адМ»|»р) (рПФ) (10.32) (10.33) (10.34) т. е. У сохраняет скалярные произведения и, следовательно, может быть обобщен на все пространство состояний.
Действие оператора У на систему совпадает с действием преобразования»с(о) = 2» ЦМ»»гМ»»У!'ад. Точно такое же преобразование было определено в основном тексте для исправления квантовых ошибок. Заметим, что для того, чтобы процедура исправления ошибок работала, нужно приводить вспомогательную систему в исходное состояние. 10.3.1 Дискретизация ошибок Мы обсудили защиту квантовой информации от определенного шумового про- цесса Е. Однако, в общем случае не известно, какой шум действуег на кван- товую систему.
Было бы полезно, если бы некоторый код С и преобразова- 10.3. Теория исправления квантовых ошибок 541 (7ЬРьЕь,/Р = бы ~Явь,Гр. Подставив сюда Р; = 2;, тВЕ;, получим (10.35) (10.36) (10.37) и, следовательно, Я(Г(р)) = ~, (РкРурР,'Рь(уь ьз ",~.~туГбь р ьэ сс р, (10.38) (10.39) (10.40) что и требовалось доказать. Этот результат позволяет ввести более эффективный язык для описания квантовых кодов, исправляющих ошибки.
Вместо того, чтобы говорить о том, что класс ошибок б может быть исправлен кодом С и преобразованием исправления ошибок Я., можно сказать, что набор операшорое ошибки (или просто ошибок) (Е ) исправляем. Под этим мы подразумеваем, что для этих операторов выполняется условие исправления квантовых ошибок РЕ)ЕР=а; Р. (10.41) Из теорем 10.1 и 10.2 видно, что любой шумовой процесс б с элементами преоб- разования, являющимися линейными комбинациями операторов ошибок (Е;), может быть исправлен с помощью преобразования исправления ошибок Я3 ние исправления ошибок Я. могли защитить систему от целого класса шумов. К счастью, условие квантового исправления ошибок легко модифицировать так, чтобы оно предоставляло именно такую защиту.
Теорема 10.2. Предположим, что С вЂ” квантовый код, а Я вЂ” преобразование исправления ошибок, построенное в доказательстве теоремы 10.1 для защиты от шума Е с элементами преобразования (ЕД. Пусть У вЂ” преобразование с элементами (Г;), которые являются линейными комбинациями (Е ), т. е.
Ру = ~'„ту;Еь где т; — матрица с комплексными элементами. Тогда преобразование исправления ошибок Я. также исправляет ошибки, вызванные шумом У. Доказательство. Согласно теореме 10.1, элементы преобразования (Е;) должны удовлетворять условию исправления квантовых ошибок РЕ;Е Р = ои Р. Как показано в доказательстве теоремы 10.1, элементы преобразования б могут быть выбраны тэк, что ап = 4 — диагональная матрица с действительными элементами. Преобрезование исправления ошибок Я имеет элементы в оютветствии с У„Рю где равенством (10.23) Ц, и Рь выбраны так, что для любого р из пространства кода 542 Глава 10.
Исправление квантовых ошибок Рассмотрим пример применения этого подхода. Пусть о — квантовое преобразование, действующее на один кубит. Тогда его элементы (Е;) могут быть записаны в виде линейной комбинации матриц Паули по, оз, пз, о з. Следовательно, чтобы проверить, что код Шора может исправить произвольную ошибку в первом кубите, достаточно проверить равенство (10.42) где сг) — матрицы Паули (1, Х, У и Я), действующие на первый кубит. Если это равенство выполняется, можно быть уверенным, что любая ошибка в первом кубите может быть исправлена! (Проверить это равенство достаточно просто, что является частью упражнения 10.10).
Этот результат объясняет одно явление, которое может показаться загадочным при первом знакомстве с литературой по исправлению квантовых ошибок: многие авторы уделяют особое внимание деполяризующему каналу Е(р) = (1 — р)р+ р/3(ХрХ+ УрУ+ ЯрЯ). Может показаться, что это сильно ограничивает применимость их моделей исправления ошибок, но это не так. Только ч'го мы показали, что способность исправлять ошибки деполяризующего канала автоматийески дает возможность исправлять произвольные однокубитовые ошибки. Таким образом, мы выяснили, что квантовые ошибки могут быть дискретизироваиы, так кэк для исправления непрерывного множества ошибок одного кубита достаточно исправить лишь конечный набор ошибок: четыре матрицы Паули. Подобный результат справедлив и для многокомпонеитных квантовых систем.
Это совершенно непохоже на исправление ошибок в классических аналоговых системах. В таких системах исправление ошибок очень сложно из-за бесконечного числа синдромов ошибок. Исправление ошибок при классической цифровой обработке информации намного успешнее, благодаря конечному числу синдромов ошибки. Удивительно, что исправление квантовых ошибок гораздо больше похоже на цифровое, чем на аналоговое классическое исправление ошибок. Упражнение 10.8. Проверьте, что трехкубитовый код, исправляющий фазовые ошибки ~0ь) = (+++), ~1ь) = ( — — — ), удовлетворяет условию исправления квантовых ошибок для набора операторов (1, Ям Яз, Ез). Упражнение 10.9.
Опять рассмотрим трехкубитовый код, исправляющий фазовые ошибки, Пусть Р; и ф — проекторы на состояния ~0) и ~1) соответственно для кубита 1. Докажите, что трехкубитовый код, исправляющий фазовые ошибки, защищает от множества ошибок (1, Рп Я и Рг, Яз, Рз, Яз) Упражнение 10.10.
Проверьте прямым вычислением условие исправления квантовых ошибок для кода Шора и набора операторов ошибок, состоящего из 1 и Х, Ъ', Яу для 1 = 1...9. Упражнение 10.11. Найдите элементы однокубитового квантового преобразования Е, которое заменяет входное состояние р на совершенно случайное состояние Х/2. Удивительно, что даже такие ошибки могут быть исправлены кодами типа кода Шора! 10.3.
Теория исправления квантовых ошибок 543 10.3.2 Модели независимых ошибок Как объединить исправление квантовых ошибок и критерий надежности квантовых вычислений, введенный в гл. 9? Мы объясним здесь, как это может быть сделано с использованием предположения о независимости ошпбок в разных кубитах. Интуитивно понятно, что если шумовой процесс действует независимо на разные кубиты, то при условии, что шум достаточно слабый, исправление ошибок должно приводить к увеличению степени совпадения. Чтобы проиллюстрировать это, мы начнем с рассмотрения деполяризующего канала, который особенно просто демонстрирует основные идеи.
Затем распространим эти идеи на другие важные типы каналов. Вспомним, что деполяризующий канал может быть описан одним параметром, а именно, вероятностью р. Действие такого канала на один кубит определено формулой Е(р) = (1 — р)р + р/3(ХрХ + УрУ + ЯрЯ). Кубит остается неизменным с вероятностью (1 — р) и подвергается действию операторов Х, У или Я с вероятностью р/3. Деполяризующий канал особенно легко рассматривать в терминах исправления квантовых ошибок, так как он просто описываетсн четырьмя основными операторами ошибок 1, Х, У и Я, которые чаще всего используются при анализе квантовых кодов. Мы обсудим деполяризующий канал и затем вернемся к рассмотрению процессов, не имеющих такой простой интерпретации в терминах 1, Х, У и Я.
Простое вычисление показывает, что минимальная степень совпадения для состояний, переданных по у, щ —,/Г-' ~щ7з - 1 — р(з + аЭЧ э'пражнение 10.12. Покажите, что степень совпадения для состояний ~0) е(эхо~~ р /Г-'зр/з щ у, ю щщ;щ щ ~ у щ р 'Г-'ь!з. Предположим, что мы кодируем один кубит информации квантовым кодом из и кубитов, который исправляет ошибки в одном кубите. Пусть деполяризующий канал с параметром р действует независимо на каждый кубит; суммарное действие на п кубитов описывается выражением и 3 бе"(р) = (1- р)"р+ ~',~(1- р)"-"-' '„р ', +..., (10А3) ущп ь=~ где многоточием обозначены положительные слагаемые более высокого порядка, которые мы не рассматриваем. После исправления ошибок все члены этой суммы вернутся к состоянию р при условии, что р принадлежит коду: (Я ®Е ")(р) = ((1 — р)" +п(1 — р)" р)р+....
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
