М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 123
Текст из файла (страница 123)
Квантовые источники информации и точность воспроизведения запутанности Мы обсуждаем динамические меры сохранения информации, но пока строго не определили, что подразумеваем под источником информации. Ниже мы введем два определения этого понятия и с их помощью рассмотрим несколько динамических мер сохранения информации. Не совсем ясно, как наилучшим образом определить квантовый источник информации. В классическом случае наилучшее решение этой задачи совсем не очевидно, возможны и различные неэквивалентные определения, на основе каждого из которых можно построить полную и полезную теорию информации. Так как классическая информация является частным случаем квантовой, неудивительно, что в квантовой механике существует еще больше способов определения источника информации.
В завершение этой главы мы введем два квантовых определения источвика информации, объясним, как из них получаются соответствующие меры сохранения информации и докажем ыекоторые элементарные свойства этих мер. Дальнейшее обсуждение квантовых источников информации мы отложим до гл. 12. Первое определение квантового источника — это поток одинаковых квантовых систем (например, кубитов), которые возникают в результате некоторого физического процесса и имеют состояния рх„рх„....
Здесь Х~ — независимые одинаково распределенные случайные величины, а р — некоторый фиксированный набор матриц плотности. Например, можно представить себе поток кубитов, которые с одинаковой вероятностью 1/2 приготавливаются либо в состоянии )О), либо в состоянии (~0) + (1))/~/2. Такое определение квантового источника через ансамбль квантовых систем естественным образом ведет к определению средней ио ансамблю степени совяаденил. Эта величина определяет, насколько хорошо сохранявгся информа- 518 Глава 9. Меры различия квантовой информации ция,полученная из источника при действии шума, описываемого сохраняющим след квантовым преобразованием Е, (9.127) Здесь р — распределения вероятностей, соответствующие различным начальным состояниям системы р .
Очевидно, что 0 < Р < 1, и если Р ж 1, то в среднем канал Е передает состояния, полученные из источника, с большой степенью точности. Может возникнуть вопрос, почему в правой части формулы степень совпадения возводится в квадрат. Есть два ответа на этот вопрос: простой и сложный. Простой ответ состоит в том, что средняя по ансамблю степень совпадения, определенная таким способом, связана с точностью воспроизведения запутанности, которую мы введем ниже. Более сложный ответ заключается в том, что теория квантовой информации находится сейчас в стадии разработки, и пока не вполне понятно, каким должно быть еправильноеэ определение для такого понятия как сохранение информации.
Тем не менее, в гл. 12 мы увидим, что на основе средней по ансамблю степени совпадения и точности воспроизведения запутанности можно построить полную теорию квантовой информации. Это дает нам надежду, что эти меры определены правильно, хотя полная теория квантовой информации еще не разработана. Упражнение 9.23.
Покажите, что Р = 1 тогда и только тогда, когда Е(рз) = р для всех 1, таких, что р > О. Второе определение квантового источника, которое мы рассмотрим, основано на предположении, что канал, хорошо сохраняющий информэлдю, хорошо сохраняет и запдшааиость состояний. Основная идея взята из обсуждения классической вероятности ошибки в равд. 9.1.
Как там было отмечено, в квантовом процессе не существует аналога классической вероятности ошибки р(Х ~1 У), так как нет квантового аналога распределению вероятностей, определенному в два разных момента времени. Вместо этого, мы будем исполь. зовать квантовый аналог процесса, проиллюстрированного на рис. 9.7. Здесь динамическая мера различия вводится следующим образом.
Случайная переменная Х копируется в Х, и, подвергаясь шуму, переходит в У. В качестве меры различия используется некоторое расстояние В[(Х, Х),(Х', У)] между совместными распределениями (Х, Х) и (Х', У). Опишем квантовый аналог этой модели. Квантовая система О. находится вначале в состоянии р. Предполагается, что состояние О. некоторым образом запутано с окружающим миром. Эта запутанность играет роль корреляции между Х и Х в классическом случае.
Мы опишем эту запутанность, введя некоторую фиктивную систему Л, такую, что совместная система ВЯ находится в чистом состоянии. Оказывается, что все наши результаты не зависят от того, кэк мы производим расширение до чистого состояния, поэтому, будем предполагать произвольную запутанность с внешним миром. Эволюция системы Я описывается преобразованием Е. Эта ситуация проиллюстрирована на рис. 9.8. 9.3. Насколько квантовый канал сохраняет информацию? 519 Р(Х 4~ П =Расстояние; Рис. 9.7. Вероятность оюибки в канале равна расстоянию мемсду распределениями вероятностей для (Х, Х) и (Х', У) в следовой метрике Рис.
9.8. ВЯ-представление квантового канала. Начальное состояние ВЯ является чистым. 520 Глава 9. Меры различия квантовой информации Насколько преобразование Е сохраняет запутанность систем В и, Я? Количественно мы опишем это точностью воспроизведения вапутааииости Г(р, Е), которая является функцией р и Е и определена для сохраняющих след преобразований Е следующим образом: Е(р, Е) ьз Р(И~, В'Я')~ — (ВЯ! [(Тл ® Е)(!ИЭ) (Ж!)! Ж) (9.128) (9.129) Здесь штрих обозначает состояние системы после действия квантового преобразования.
Величина в правой части равенства — квадрат статической степени совпадения начального и конечного состояний системы ВЯ. Возведение в квадрат используется только для удобства, при этом упрощаются некоторые свойства точности воспроизведения запутанности. Обратите внимание, что точность воспроизведения запутанности зависит только от р и Е и не зависит (как может показаться) от способа расширения системы до чистого состояния !Ж)). Чтобы показать это, используем факт, доказанный в упр. 2.81: расширения состояния р до двух чистых состояний !В1Я1) и !ВяЯз) связаны унитарным преобразованием У, которое депствует тааько на систему В, !ВгЮг) = У!В~Я1). Таким образом Ц!В2Я2)1Р ) Е(!В191)) Р )~ (9.130) Е(Р,Е) = (ВФРч !ВФ = ~ !(ВФЕ;!ВФ! Запишем (Вф = ~,,/рД)Я, где р = 2 .
рд!у)(Я. Отсюда (9.131) (ВфЕ<(ВЯ = ~~~,/р рь(ЯИ) ЯЕ !'и) = Еру()Е;!Я вЂ” сг(Е;р). (9.132) (9.133) (9.134) что и требовалось доказать. Точность воспроизведения запутанности показывает, насколько запутанность систем В и Я сохраняется при преобразовании Е. Если она близка к единице, запутанность сохраняется хорошо, если же она близка к нулю, запутанность почти полностью разрушается. Не очень важно, как определять точность воспроизведения запутанности: через квадрат или через первую степень статической степени совпадения. Определение, которое дано здесь, приводит к более красивой математической записи ее свойств.
Одно из замечательных свойств точности воспроизведения запутанности состоит в том, что существует очень простая формула для ее вычисления. Пусть Е; —, элементы квантового преобразования Е. Тогда 9.3. Насколько квантовый канал сохраняет информацию? 521 Подставив это выражение в (9.131), получим полезную формулу для вычисле- ний Я (р Е) ~~~ ~ 1г(рЕг)~2 (9.135) Например, точность воспроизведения запутанности для канала с затуханием фэны Е = р+ (1 — р)рЯрЯ равна Р(р, Е) = ~ $г(р)( + (1 — р)р~ Фг(рЯ))~ = (1 — р) + рсг(рЕ) . (9.136) Р(р,Е) < (Т(р,Е(р))) (9.137) Интуитивно этот результат означает, что сохранить состояние и его запутанность с внешним миром труднее, чем просто сохранить состояние.
Доказательство следует из монотонности степени совпадения при взятии частичного след: Р(КЕ) = РОЮ),И'гУ)' < ЕФ, ргУ)' Второе свойство точность воспроизведения запутанности, которое позволит нам установить ее связь со средней по ансамблю степенью совпадения, это то, что она является выпуклой функцией р. Чтобы показать это, введем функцию Дх) ги Р(хрг + (1 — х)рэ, Е). Используя выражение (9.135) и проведя элементарные вычисления, получим ~н(х) = 2 ~~~ ~ Фг((рг — рэ)Е;)~э. (9.138) Видно, что 7 "(х) > О, что и означает, что точность воспроизведения запутанности обладает свойством выпуклости. Обьединив эти два свойства, обнаружим, Г ~ ргру,Е < ~'руЕ(рг,Е) (9.139) < ~ руг(рг Е(рг))' (9.140) Видно, что с увеличением р точность воспроизведения запутанности уменьшается, как мы интуитивно и ожидали. Мы ввели понятие источника квантовой информации н связанное с ним понятие меры двумя способами. Один из них основан на том, что нам нужно сохранять ансамбль квантовых состояний с большой средней степенью совпадения; а другой — на том, что мы хотим сохранять запутанность между источником и некоторой внешней системой.
Удивительным образом эти два определения оказываются тесно связанными. Причиной этого является два полезных свойства точности воспроизведения запутанности. Во-первых, точность воспроизведения запутанности является нижней границей для квадрата статической степени совпадения входного и выходного состояний: 322 Глава 9. Меры различия квантовой информации и, следовательно, Р ~~~ р~р,Е < Р. (9.141) Таким обрезом, любой квантовый канал Е, который хорошо сохраняет запутанность исходного состояния р с внешней системой, автоматически хорошо сохраняет и ансамбль входных состояний, заданный вероятностями р~ и состояниями ру, такими что р = ~; р~р~. В этом смысле понятие квантового источника, основанное на точности воспроизведения запутанности, более сильное, чем понятие, основанное на ансамбле состояний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
