М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 121
Текст из файла (страница 121)
Используя эту теорему, докажите, что любое сохраняющее след квантовое пре- образование Е имеет неподвижную точку, т. е., что существует р, такое, что Е(р) = р. Упражнение 9.10. Пусть сохраняющее след квантовое преобразование Е яв- ляется строго сжимаюи1им, т. е. для любых р и и выполняется неравенство .Р(Е(р), Е(п)) < Р(р, а). Докажите, что Е имеет единственную неподвижную точку.
Упражнение 9.11. Пусть Š— сохраняющее след квантовое преобразование, для которого существуют матрица плотности рс и сохраняющее след квантовое преобразование Е', такие, что 506 Глава 9. Меры различия квэлтовой информации преобразования Е'. Используя совместную выпуклость следовой метрики, покажите, что преобразование Е является строго сжимающим и, следовательно, имеет единственную неподвижную точку. Упражнение 9.12. Рассмотрим деполяризующий канал, введенный в подрэзд.
8.3.4, Е(р) = р1(2+(1 — р) р. Для произвольных р и и найдите 1г(Е(р), Е(гг) ), используя блоховское представление, и явно докажите, что отображение Е является строго сжимающим, т. е. что 17(Е(р), Е( т)) < 17(р, гг). 'Упражнение 9.13. Покажите, что канал с классической ошибкой (подрэзд. 8.3.3) является сжимающим, но не является строго сжимающим. Найдите множество неподвижных точек для этого канала. 9.2.2 Степень совпадения Второй мерой различия квантовых состояний является сгпепень совпадения. Степень совпадения не является метрикой для матриц плотности, но мы пока- жем, что из нее можно получить полезную метрику.
Мы дадим здесь опреде- ление и приведем основные свойства степени совпадения. Для состояний р и гг степень совпадения определяется как (9.53) р = ~~г г;!г)(з), гг = ~э;)г)(э!. (9.54) В этом случае Р(р,гг) = эг ~ г;э;Я(ю~ — Фг ~~г ~айаг)г)(г( (9.55) (9.56) (9.57) Р(гь э;), (9.58) т.
е. если состояния р и гг коммутируют, квантовая степень совпадения г'(р, гг) равна классической степени совпадения Г(го э;) для распределений их соб- ственных значений г; и э;. С первого взгляда не очевидно, что это полезная мера различия состояний р и гг. Она даже не выглядит симметричной! Мы покажем, что степень совпэ дения симметрична по своим аргументам и имеет другие свойства, которые характерны для хорошей меры различия.
Существуют два важных случая, в которых степень совпадения можно записать в более явном виде. Во-первых, если р и гг коммутируют, т. е. они диэ гональны в некотором ортонормированном базисе ~4): 9.2. Насколько близки два квантовых состояния7 507 Во-вторых, вычислим степень совпадения для чистого состояния ~гр) и произвольного состояния р. Из формулы (9.53) мы видим, что нм, ) = логэгэгг (9.59) ~/(ФФФ) (9.60) т. е. степень совпадения равна квадратному корню из перекрытия состояний ~ ф) и р. Этот важный результат мы будем часто использовать. В случае одного кубита можно явно вычислить расстояние между его состояниями в следовой метрике и дать его геометрическую интерпретацию (половина эвкпццового расстояния между соответствующими точками на сфере Блоха).
К сожалению, не известно подобной геометрической интерпретации для степени совпадения состояний кубита. Тем не менее, степень совпадения обладает многими свойствами следовой метрики. Например, она инвариантна относительно унитарных преобразований: Г(УРУС, УОУС) = Р(р, и). (9.61) Упражнение 9.14 (инвариантность степени совпадения относительно унитарных преобразований). Докажите равенство (9.61), используя тот факт, что для любого положительного оператора А выполняется равенство ~/УАУС = У~/АУС. Существует также полезное свойство степени совпадения, аналогичное свойству (9.22) для следовой метрики. Теорема 9.4 (теорема Ульмана). Пусть р и о — состояния квантовой системы Я.
Введем вторую систему гг, ксторая является копией Я. Тогда Р(р, о) = гпах ( (г)фр) (, (9.62) !Ф> М> где максимум берется по всем чистым состояниям !гр) и /ср) системы ЯВ, до которых можно расширить р и и Для доказательства теоремы Ульмана нам потребуется простая лемма. Лемма 9.5. Пусть А — произволъный оператор, а У вЂ” унитарный оператор. Тогда ~ Сг(АУ)( < Сг ~А), (9.63) причем равенство имеет место при У = УС, где А = ~А~У вЂ” полярное разложение оператора А. Доиазательсосео. Для случая равенства доказателъство очевидно. Заметим, что /Сг(АУ)~ = ~Сг(!А~УУ)~ = ~Сг(~А!Уз~А/г7зУУ)~. (9.64) Применив неравенство Коши-Шварца для скалярного произведения Гильберта-Шмидта, получим (9.65) = Сг)А~.
)Сг(АУ)~ < Лемма доказана. 508 Глава 9. Меры различия квантовой информации У !И=(У В,/РЦ~)! ), (9.66) где Ул и УΠ— некоторые унитарные операторы в системах В и Я. Аналогично, если !у) — некоторое расширение состояния <т, то существуют унитарные операторы Ул и К~, такие, что !у) = (г'л Э ~/оК~)!гп).
(9.67) Взяв скалярное произведение, получим !(4!!<р)! = !(т! (УлУнэУ~~,/р /пУд) !гп) ~ . Используя результат упражнения 9.16, мы видим, что !(ф!!у) ! = !Фг ($ЯУлУ~~~/р~/аК~) ~ . Введя обозначение,У ке К~$ЯУяУ~О, запишем уравнение: (9.68) (9.69) !(Ф!И = !сг(Л~/ У)! (9.70) Согласно лемме 9.5, ~(Фм~~~ ~л я=~"/Ф%Ф", (9.71) Чтобы показать, что равенство может выполняться, подставим вместо /р~/о его полярное разложение ! /р /о!У. Положим Уо = Ул = Ун = Х, а 1~о = У1. Легко показать, что при этих условиях достигается равенство. 'Упражнение 9.15.
Покажите, что Р(р, о) = шах ! (ф!у) !, !т) (9.72) где !ф) — некоторое фпнсщюеанное расширение р, а максимум берется по всем расширениям о до чистого состояния. 'Упражнение 9.16. Скалярное произведение Гильберта — Шмидта и за- путанность. Предложим, что Я и Я вЂ” две квантовые системы с одним гиль- бертовом пространством. Пусть |1н) и !1о) — ортонормнрованные базисы для В и Я. Пусть А — оператор, действующий на В, а  — оператор, действующий на Я.
Введем !гп) гн',1,. !гя)!го). Покажите, что Гг(А1В) = (т!(А ® В)!т), (9.73) Доков апгельспгео, (Георема Ульмана) Зафиксируем ортонормированные базисы !1л) и !1о) в системах В и Ч. Так как В и Я имеют одинаковую размерность, можно считать, что индекс 1 в них имеет одинаковый набор возможных значений. Введем !т) =,С, !гл)!ггпу). Пусть |ф) — некоторое расширение состояния р. Тогда из разложения Шмидта легко пол чить 9.2. Насколько близки два квантовых состояния? 509 где с левой стороны стоит произведение матриц, причем подразумевается, что матричные элементы А вычисляются в базисе ~4я), а матричные элементы В— в базисе ~ь|~).
В отличие от выражение (9.53) формула Ульмана (9.62) не позволяет в явном виде вычислять степень совпадения. Однако, во многих случаях свойства степени совпадения легче получать из формулы Ульмана. Например, из нее видно, что степень совпадения симметрична но своим аргументам: Р(р, о) = Р(<т, р), и что она всегда заключена между 0 и 1: 0 < Г(р, и) < 1. Если р = а, из формулы Ульмана очевидно, что Г(р, о ) = 1. Если р ф о, то для любых расширений ри<тдочистыхсостояний ф) и )<р) имеем рр) ф ~ф и,значит, Р(р,о) < 1, С другой стороны, из формулы (9.53) также можно получить некоторые полезные свойства степени совпадения.
Например, что Р(р, и) = 0 тогда и только тогда, когда носители р и и ортогональны. Интуитивно понятно, что в этом случае состояния идеально различимы и можно ожидать, что степень совпадения достигает минимума. Итак, степень совпадения симметрична по своим аргументам и 0 < Г(р, и) < 1, причем равенство нулю достигается тогда и только тогда, когда носители р и о ортогональны, а равенство единице — тогда и только тогда, когда р = и.
Мы видели, что квантовую следовую метрику можно связать с классической, рассматривая распределения вероятностей исходов измерений. Подобным образом можно показать, что Р(р,сг) = ппп Г(р,с ), 1н, Ъ (9.74) Р(р, и) — Фг (~я~ф7У)— стар/Етп ъ/Етъ/о0") . ~и (9.75) (9.76) Неравенство Коши-Шварца приводит к Рью < К~Ф ГЖ1Ц в.) Р(р 9 ). (9.77) (9.78) Отсюда Р(р,о) < ппп Р(р,„,д ). (9.79) Ф-1 Чтобы доказать равенство, нужно найти такой РОУМ (Ес,), для которого неравенство Коши-Шварца обращается в равенство для каждого члена суммы, т.
е. ~/Е„„/р = а„, /Е„„/ЭП для некоторого набора комплексных чисел а н,,гр,ж- ~7~р'л, * ~~ р д р "~-~ "'/Ф%7э (9.80) где минимум берется по всем РОУМ (Е„,), а р„, ке Эг(рЕ,„) и д„, ш сг(пЕ, )— распределения вероятностей для р и а, соответствующие РОЧМ (Е ). Чтобы доказать это, заметим, что 510 Глава 9. Меры различия квантовой информацни После подстановки получим, что равенство имеет место при у'Е (1 — стярМ) = О, (9.81) ,д,м=р-'р',/рТ' рчср-'р'.Пир~ в в м р, р ния М = 2, Д„~тп)(гп! и выберем Е,„= ~т)(т(р а гт = 1/Д„.
Равенство для вырожденных р следует из непрерывности. Мы доказали три важных свойства следовой метрики, а именно что она является метрикой, не увеличивается при квантовых преобразованиях; и что она обладает свойствами сильной выпуклости. Следует заметить, что аналогичные свойства выполняются и для степени совпадения, причем их доказательства существенно отличаются от соответствующих доказательств для следовой метрики, поэтому их стоит рассмотреть детально. Степень совпадения не является метрикой.
Однако, существует простой способ превратить ее в метрику. Основная идея ясна из рис. 9.6. Угол между точками на сфере является метрикой. Для квантового случая теорема Ульмана утверждает, что степень совпадения для двух состояний равна максимальному скалярному произведению их расширений до чистого состояния. Это подсказывает нам определить угол между состояниями р и рт как А(р, сг) гв агссов Е(р, сг). (9.82) Очевидно, что этот угол неотрицателен, симметричен по своим аргументам и равен нулю тогда и только тогда, когда р = сг.
'1Ь, что угол является метрикой, можно увидеть, если доказать, что для него выполняется неравенство треугольника. Рис. 9.6. Угол между двумя точнами на поверхности единичной сферы является метрикой. Мы докажем неравенство треугольника, используя теорему Ульмана и несколько очевидных свойств трехмерных векторов. Пусть ~рр) — расширение ру, 9.2. Насколько близки два квантовых состояния? 611 Выберем такие расширения для !ф) и ! у) для р и т, что (9.83) (9.84) Р(р, ) = (р!р), Р(о, т) = (гр! у), в (гр!7) положительно (это Всегдя можно сделвть, умножив /гр), !у) и /7) нв соответствующие фвзовые множители).
Из рис. 9.6 очевидно, что (9.85) вхссов((гр!7)) < А(р,о) + А(о, т). Согласно теореме Ульмвнв, Р(р, т) > (гр! у), поэтому А(р, т) < вхссов((ф! у)). Объединяя это неравенство с предыдущим, получим неравенство треугольника А(р,т) < А(р,о) + А(о,т). (9.86) Упражнение 9.1Т. Покажите, что 0 < А(р,о) < гг/2, причем первое неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда р = о. Качественно степень совпадения ведет себя как вперевернутвяэ следовая метрика, она меньше, если двв состояния более различимы, и больше, если они менее рвзличимы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
