М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 122
Текст из файла (страница 122)
Следовательно, мы не должны ожидать, что степень совпадения не будет увеличиваться при квантовых преобразованиях подобно следовой метрике. Наоборот, она не будет уменьшаться. Мы назовем это свойство монотонностью степени совпадения под действием квантовых преобразований, Теорема 9.6 (монотонность степени совпадения). Пусть Š— сохраняющее след квантовое преобразование, в р и о. — матрицы плотности.
Тогда Р(Е(р),Е(о)) > Р(р,о). (9.87) Доиазагпельстиво. Пусть |гр) и !гр) — расширения р и о в совместной системе И~, такие, что Р(р, о) = !(ф!гр) !. Введем модель среды Е для преобразования Е, которая вначале находится в состоянии !О), в затем взаимодействует с системой Я с помощью унитарного оператора сг.
Заметим, что состояние Цгр)!О) является расширением состояния Е(р), в Цгр)!О) — рвсширением состояния Е(о). Согласно теореме Ульмана, Р(Е(р), Е(о)) > !(гр!(О!гг'г1г'!гр) !О) ! !(Ф! р)! — Р(р, о). (9.88) (9.89) (9.90) А(Е(р),Е(о)) < А(р,о).
(9.91) Теорема доказана. Упражнение 9.18 (сжимаемость угла). Пусть Š— сохраняющее след квантовое преобразование. Покажите, что 512 Глава 9. Меры различия квантовой информации Мы закончим изучение элементарных свойств степени совпадения, доказав с помощью теоремы Ульмана свойство, аналогичное свойству сильной выпуклости для следовой метрики. Теорема 9.7 (сильная вогнутость степени совпадения). Пусть р; и д;— распределения вероятностей с одинаковым набором индексов, а р; и о~ — матрицы плотности с тем же набором индексов. Тогда Г ~ р;р;, ~ д~о; > ~~~,/р;д;Р(р;,о;). (9.92) !Ф) ге,~ ~/р*~Ф') ~~); ~у) ы ~) ЯДу~) ~в) (9.93) Заметим, что ф) является расширением состояния матрицы плотности,>, р;р;, а ~~о) — расширением состояния 'С,. дгоь Поэтому, согласно теореме Ульмана, Е ,'>~,р ре~' д;а; > )(ф~о)) = ~~~,,/р;д;(Ф~~р;) = ~~~,/р;д;Р(рьо1).
(9.94) 1 1 1 В Теорема доказана. Упражнение 9.19 (совместная вогнутость степени совпадения). До- кажите, что степень совпадения обладает свойством совместной вогкртосшш Р ~'~~р;рь~ р~о~ > ~ р;Р(р;,о;). (9.95) 'Упражнение 9.20 (вогнутость степени совпадения). Докажите, что сте- пень совпадения вогнута по первому аргументу: Г ~~ р<рно > ~ р<Р(рео). (9.96) Вогнутость по второму аргументу следует из симметрии степени совпадения. Неудивительно, что этот результат можно использовать для доказательства вогнутости, поэтому мы называем это свойство сильной еогиртостью степени совпадения.
Оно не вполне аналогично сильной выпуклости следовой метрики, однако общая суть этих двух свойств позволяет нам дать им похожие названия. ,Жисазатлельстлво. Пусть ~Ф;) и ~~рД вЂ” расширения состояний р~ и о, такие, что я(р. о,) (ф,фр;). Введем дополнительную систему с ортонормированными бэзисными состояниями р), соответствующими индексам г' в распределениях вероятностей. Определим 9.2.
Насколько близки два квантовых состояния? 513 9.2.3 Связь между мерами различия Следовая метрика и степень совпадения тесно связаны друг с другом, несмотря на их очень разную форму. Во многих случаях они качественно могут рассматриваться как эквивалентные меры различия. Мы получим более точные соотношения мелсзу следовой метрикой и степенью совпадения. В случае чистых состояний следовая метрика и степень совпадения полностью эквивалентны. Чтобы это увидеть, рассмотрим следовую метрику для двух чистых состояний ~а) и ~Ь). Используя ортогонализацию Грэма-Шмидта, можно найти ортонормированные состояния ~0) и (1), такие, что ~а) = ~0), а )Ь) = совр)0) + эш 9~1). Заметим, что Р()а), (Ь)) = ! сое В~. Далее, в Ю(~а),!Ь)) = — Ьг ~ з(пд/ 'г=Р~'Т, в г (9.97) (9.98) (9.99) Мы видим, что следовая метрика для двух чистых состояний является функцией степени совпадении этих состояний, и, наоборот, степень совпадения можно выразить через следовую метрику.
Эта взаимосвязь на уровне чистых состояний может быть использована для нахождения взаимосвязи для смешанных состояний. Пусть р и о — два произвольных квантовых состояния, а (р) и ~у)— их расширения, выбранные так, что Р(р, о) = )(ф)~~р)! = Р(~ф), )<р)). Вспоминая, что следовая метрика не увеличивается при взятии частичного следа, мы видим, что Е(р*п) < О(Ю М)) — Л-Р~а г.
(9.100) (9.101) Р( ) =~~,Л а (9.102) где р~ч и Ьг(рЕ ) и д1ч = 1г(пЕ,„) — вероятности получения результата ш при измерениях над состояниями р и и соответственно. Заметим, что (,~/р,„— .Д~)~ = ~~~ р„, + ~~ д„, — 2Р(р, и) (9,103) ПЪ ~п т — 2(1 — Р(р, и)). (9.104) 33 квакве ювь юавн Следовательно, если степень совпадения двух состояний близка к единице, то эти состояния близки друг к другу и в смысле следовой метрики. Справедливо и обратное утверждение. Чтобы показать это, рассмотрим РОМ (Е„), такой, 514 Глава 9. Меры различия квантовой информации К1юме того~ ~~/Рт ~ЯД ~ ~~~/Рт + „/Дскб~> поэтомУ (,~~. -,~д )' < у )~„—.,~д Ц,~р +,~„~ т ю > '~рт ь~ ив = ю(р„,д„) < 2.0(р, н).
(9.105) (9.106) (9.107) (9.108) Сравнив (9.104) и (9.108), получим 1 — Р(р,о) < Ю(р,о). (9.109) Итак, мы имеем 1 — ли, )~со, )~Л вЂ” Рм (9.110) р(~ ~,) )2 < р(~ р) ) (9.111) 9.3 Насколько квантовый канал сохраняет информацию? Друзья приходят и уходят, враги накапливаются. Закон Джонса (приписывается Томасу Джонсу) Насколько квантовый канал сохраняет информацию? Точнее, пусть квантовая система находится в состоянии рр), и происходит некоторый процесс, переводящий ее в состояние Е(рр)(ф~). Такая картина довольно часто наблюдается в квантовых вычислениях.
Например, рр) — это начальное состояние памяти квантового компьютера, а с описывает динамические изменения состояния памяти из-за шумовых процессов, возникающих вследствие взаимодействия Мы показали, что следовая метрика и степень совпадения являются качественно эквивалентными мерами различных квантовых состояний. И действительно, во многих случаях неважно какую из этих величин использовать.
Имея результат, выраженный через одну из них, можно получить эквивалентный резуяьтат выраженный через другую. в'пражненне 9.21. Для чистого и смешанного состояний можно сформулировать более сильное утверждение, чем неравенство (9.110). Докажите, что следовая метрика и степень совпадения в этом случае связаны слезующим образом: 9.3. Насколько квантовый канал сохраняет информацию? 515 с внешней средой. Другой пример — квантовый канал для передачи состояния !Ч') из одного места в другое. Канал всегда не идеален, его действие описывается квантовым преобразованием Е.
Очевидный способ количественного описания того, насколько состояние !ф) сохраняется в канале — это использовать статические меры различия, введенные в предыдущем разделе. Например, мы можем вычислить степень совпадения начального состояния !ф) с конечным с(>Ч')(ф!). Для случая деполяризующего канала получаем Р(>Ф), б(! И(Ф!)) (9.112) ~р 2 (9.113) Этот результат интуитивно понятен: чем больше вероятность деполяризации р, тем меньше степень совпадения начального состояния с конечным. Если величина р очень мала, то степень совпадения близка к единице и состояние 8(р) практически неотличимо от начального состояния !ф).
Нет особенных причин для использования в этом примере степени совпадения. С тем же успехом мы могли бы использовать следовую метрику. Однако, далее в этой главе мы ограничимся степенью совпадения и связанными с ней величинами. На основе свойств следовой метрики, которые мы получили в предыдущем разделе, в большинстве случаев несложно провести параллельное рассмотрение. Однако, оказывается, что вычисления удобнее проводить со степенью совпадения, поэтому мы и будем использовать ее.
Мера сохранения информации — степень совпадения Р(!1э), б(!р) (р!) ) — Имеет некоторые недостатки, которые нужно устранить Для реальной памяти квантового компьютера или для квантового канала передачи данньгх нам заранее не известно начальное состояние !ф. Однако, можно вычислить наихудшее поведение системы, минимизируя степень совпадения по всем возможным начальным состояниям: Р„„„= шш Р(!ф), б(!ф) (э' !)). !Ф! (9.114) Например, для деполярнзующего канала Р„„„= ~/1 — р/2, так как степень совпадения в этом случае не зависит от начального состояния !ф).
Более интересный пример — канал с затуханием фазы, б(р) = рр+ (1 - р) грг. Для такого канала степень совпадения равна (9.115) Р(! р),г(! р)(Ф!)) = (р!(! р)(15!+ (1-р)г! р)(ФдФ) (9.115) р+ (1 — р)(Р!г! Р)'. (9.117) зз* 516 Глава 9. Меры различия квантовой информации Второе слагаемое под знаком корня неотрицательно и равно нулю при ф) = (~0) + ~1))/~/2. Следовательно, для канала с затуханием фазы минимальная степень совпадения равна Г(р, Е(р)) = Г ~ Л; )1) (1~, ~~~ ЛеЕ((1) (в)) > ~ Л;Г(~г), Е(!г)(г/)).
(9.119) (9.120) Отсюда следует, что, по крайней мере, для одного из состояний р) Г(р, Е(р)) > Г(~г),Е(~г)(1~)), (9.121) и, следовательно, Г(р, Е(р)) > Г„„„. Конечно, для нас представляет интерес защита квантовых состояний не только при передаче их по каналу, но и при вычислениях с ними. Пусть, например, мы пытаемся реализовать элемент, описываемый унитарным оператором У. Как отмечено в последней главе, такие реальные квантовые схемы подвержены шуму (к счастью, не слишком сильному), так что элемент описывается сохраняющим след преобразованием Е. Естественной мерой того, насколько хорошо действует элемент, является степень совпадения длл элемента: Г( 1/, Е) = ппп Г(У~ф), Е(рР) (ф~)). (9.122) !Ф> Пусть, например, мы пытаемся реализовать однокубитовый элемент НОТ, но вместо этого получаем элемент, подверженный шуму, Е(р) = (1 — р)ХрХ+ рЯрЯ, где малый параметр р определяет величину шума.
Степень совпадения для этого элемента равна Г(Х,Е) = пйп (фХ((1 — р)ХЯЯХ+ рЕЯ)ЯЕ) Хф) (9.123) 1Ф) ппп (1 — р) + (ф~У!ф)э (9.124) !И ~/'1 - р. Г„„„(Е) = ,/Г: р. (9.118) Вам может показаться странным, почему в определении Г „„минимум берется только по "мстим состояниям. В конце концов квантовая система не может ли находиться вначале в смешанном состоянии р? Например, память квантового компьютера может быть запутана с другими его частями, и, следовательно, ее начальное состояние будет смешанным. К счастью, совместная вогнутость степени совпадения позволит нам показать, что учет смешанных состояний не влияет на Г„„„.
Чтобы это увидеть, предположим, что начальное состояние системы р =,1 е Л1 ~1) (1~. Тогда мы имеем 9.3. Насколько квантовый канал сохраняет информацию? 517 В упр. 9.22 вы покажете, что последовательность из элементов с большой степенью совпадения также имеет большую степень совпадения. Таким образом, для выполнения квантового вычисления достаточно, чтобы каждый элемент вычисления имел большую степень совпадения. (Сравните это утверждение с подобным, но менее общим утверждением в гл. 4 отыосительно аппроксимации квантовых схем) . Упражнение 9.22 (цепиое свойство степени совпадения).
Предположим, что У и У вЂ” унитарные операторы, а Е и г — сохраняющие след квантовые преобразования, аппроксимирующие У и У. Пусть Ы(ч ) — произвольная метрика в пространстве матриц плотности (например, угол атосов(г'(р, т))). Введем величину ошибки Е(У, Е) следующим образом: Е(У, Е) = шах д(УрУ~, Е(р)). (9.126) Покажите, что Е(Ъ'У,Е ос) < Е(У,Е) + Е(г',Г). Это значит, что для выполнения квантового вычисления с большой степенью совпадения, достаточно каждый его шаг выполнять с большой степенью совпадения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
