М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 125
Текст из файла (страница 125)
528 Глава 10. Исправление квантовых ошибок ° Непрсрыеносгпь ошибки. Множество возможных ошибок одного кубита является непрерывным. Определение того, какая ошибка провзошла, потребует бесконечной точности и, следовательно, бесконечных ресурсов. ° Разрушение квантовой информации при измерении. При классическом исправлении ошибок мы смотрим на полученную по каналу информацию и решаем, какое декодирование применять. В квантовой механике измерение полностью разрушает квантовое состояние, что делает восстановление исходной информации невозможным. !О) — ~ !Оь) ги !000) !1) !1ь) — = !111). (10.3) (10.4) Суперпозиция состояний !О) и )1) кодируется соответствующей суперпозицией состояний !Ог.) и !1ь). Обозначения !Оь) и )1г.) показывают, что это логические, а не физические ноль и единица.
Схема, осуществляющая такое кодирование, изображена на рис. 10.2. )О) !О) Рис. 10.2. Схема кодирования для трехкубитового кода, исправляющего классические ошибки. Копируемые данные поступают по верхней линки Упражнение 10.1. Проверьте, что схема на рис. 10.2 действительно осуществляет описанное выше кодирование. Предположим, что состояние а)0) + Ь)1) было без ошибок закодировано в а!000) + Ь|111). Каждый из трех кубитов передается независимо по каналу с классической ошибкой.
Пусть при передаче произошла ошибка не более, чем в одном кубите. Существует простая процедура исправления такой ошибки, которая позволяет восстановить исходное квантовое состояние. Она состоит из двух частей: К счастью, как мы покажем, все эти проблемы можно обойти. Предположим, что мы передаем кубиты по каналу, который оставляет их неизменными с вероятностью 1 — р и меняет с вероятностью р, т. е. с вероятностью р состояние !тр) переходит в состояние Х!тЬ), где Х вЂ” матрица Паули о*, или операптор классического пзлгекенил бита. Такой канал называется каналом с классической ошибкой.
Код, который мы сейчас опишем, может исправлять такие ошибки. Предположим, что мы кодируем состояние одного кубита а!О) + Ь|1) тремя кубитами: а)000) + Ь)111). Удобно записать зто преобразование следуюшдм образом: 10.1. Введение 529 (1) Обнаружение ошибки, или нахождение ее синдрома. Мы производим измерение, которое показывает, какая ошибка произошла.
Результат измерения называется синдромом ошибки. Для канала с классической ошибкой существует четыре различных синдрома, соответствующих четырем проекторам: ошибки нет (10.5) ошибка Ь первом кубите (10.6) ошибка во втором кубите (10.7) ошибка в третьем кубите. (10.8) Ре ьз (000)(000!+ )Ш)(11Ц Р1 ге /100)(100/+ /ОП)(01Ц Рэ ш /010)(010/+ /101)(101! Рз = /001)(ООЦ + )110)(110! Предположим, например, что ошибка произошла в первом кубите, так что полученное состояние 4~ = а)100) + Ь)011). Заметим, что в этом случае (ф~РфЯ = 1, так что результат такого измерения (синдром ошибки) обязательно будет равен 1.
Синдромы, соответствующие операторам Ро, Рэ и Рз, будут равны нулю. Более того, определение синдромов не меняет квантовое состояние: после измерений оно останется равным а)100) + Ь)011). Обратите внимание, что синдромы содержат информацию только о том, какая ошибка произошла. По ним мы не сможем определить а и Ь и узнать, какое состояние было закодировано. Это является общим свойством синдромов.
При получении информации о квантовом состоянии оно непременно нарушается. (2) Исправление о~иибюи. Мы используем синдром ошибки, чтобы понять, как восстановить исходное состояние. Например, если синдром, соответствующий оператору Р~, равен 1, это означает, что ошибка произошла в первом кубите. Мы инвертируем первый кубит и в точности восстанавливаем исходное состояние а(000) + Ь(111). В четырех возможных случаях наши действия такие: если равен единице синдром, соответствующий оператору Ро, то никакой ошибки не произошло и мы оставляем состояние неизменным; если равен единице один из синдромов, соответствующих Рм Рэ или Рз, мы инвертируем первый, второй или третий кубит соответственно.
Легко показать, что в каждом случае в точности восстанавливается исходное состояние. Улучшение анализа ошибок Приведенный выше анализ ошибок недостаточен. Проблема заключается в том, что квантовые состояния и возможные ошибки бывают различными. Пространство состояний непрерывно, так что ошибка может изменить состояние Такая процедура исправления ошибки сработает, если только ошибка произошла не более, чем в одном кубите. Вероятность этого равна (1-р)э+Зр(1 — р) э = 1 — Зря + 2рз. Вероятность того, что ошибка останется неисправленной, равна Зря — 2рз, т. е. точно такая же, как для классического кода с повторением, который мы обсуждали ранее. Точно так же при р < 1/2 кодирование и декодирование увеличивают надежность передачи квантового состояния. 530 Глава 10. Исправление квантовых ошибок как в небольшой степени, так и полностью.
Одним из примеров является классическая ошибка Х, которая никак не влияет на состояние ()О) + ~1))/~/2, но меняет состояние ~0) на )1). В первом случае не нужно заботиться об исправлении такой ошибки, во втором придется ее исправлять. Чтобы разобраться с этой проблемой, мы используем понятие степени совпадения, введенное в гл. 9. Вспомним, что степень совпадения чистого и смешанного состояний есть Р(~ф), р) = ~/(ф)р~ф).
Задача исправления квантовых ошибок — увеличить эту степень совпадения при хранении или передаче информации до максимально возможного значения. Давайте сравним минимальную степень совпадения, возможную при использовании трехкубитового кода, исправляющего классические ошибки, со случаем, когда никакого исправления ошибок не производится. Предположим, что рассматривается состояние ~ф). Без использования кода, исправляющего ошибки, состояние после переда чи кубита по каналу будет р = (1 — р) )~) (Ф~ + рХ) Й(Ф(Х (10.9) Степень совпадения в этом случае Р= ~Г(ФИФ = (10.10) Второе слагаемое под знаком квадратного корня неотрицательно и равно нулю при ф) = ~0), т.
е. минимальная степень совпадения равна ~/1 — р. Предположим, что трехкубитовый код используется для защиты состояния ~ф) = а~Оь) + 6~1ь). Квантовое состояние после передачи кубита и исправления ошибки р= ((1-р)'+Зр(1-р')~ ~Ф)(Ф~+ ". (10.11) Здесь многоточием заменены слагаемые, дающие вклад от ошибок в двух или трех кубитах. Эти члены положительны, так что опустив их, мы найдем нижнюю оценку степени совпадения. Мы видим, что Р = /(ф~р~ф ) с-~г-:-ээ-~г,*.. - -~ ь-,/Г-з~~ь'.~ ким образом степень совпадения увеличиваегся при р ( 1/2.
Этот результат совпадает с тем, что был получен ранее более грубым способом. упражнение 10.2. Действие канала с классической ошибкой может быть описано квантовым преобразованием Е(р) = (1 — р)р+ рХрХ. Покажите, что его также можно представить как Е(р) = (1 — 2р) р + 2рР~ рР~ + 2рР рР, где Р~ и Р— проекторы на собственные состояния Х, ()О)+(1))/~/2 и ()О) — )1))/Д соответственно. В таком представлении кубит при передаче остается неизменным с вероятностью 1 — 2р, и измеряется в базисе ~+), ) — ) с вероятностью 2р.
Существует другой подход к рассмотрению синдромов. Он будет полезен при обобщении трехкубитового кода. Предположим, что вместо измерений четырех проекторов Рс, Ры Рг, Рз мы производим два измерения: наблюдаемой Я~Уз (т. е. Я ® Е Э 1) и затем наблюдаемой ЯзЯз. Эти наблюдаемые имеют 10.1. Введение 331 собственные значения ~1, т. е. в каждом измерении мы получаем один бит информации. Два измерения дают четыре возможных результата, как и было описано вьппе. Результат первого измерения, Я~ Уз, показывает, совпадают ли первый и второй кубиты.
Действительно, спектральное разложение Я~ Яз есть г,г, = ()ОО)(ОО)+ )П)(1Ц) Э1- ИО1)(ОЦ+ РО)(1ОО З 1, (10.12) что соответствует измерению проекторов (!00) (00/ + !11) (1Ц) Э Х и (!01) (ОЦ + )10)(10)) Э 1. Мы получаем +1, если кубиты совпадают, и — 1 в противном случае. Точно также измерение Яз2з показывает, совпадают ли второй и третий кубиты. По результатам этих измерений мы можем сказать, произошла ли классическая ошибка, и если да, то в каком кубите. Если оба измерения дают +1, с большой вероятностью ошибки не было.
Если первое измерение дает +1, а второе -1, ошибка скорее всего произошла в третьем кубите, если же первое измерение дает — 1, а второе +1, то ошибка в первом кубите. Если оба измерения дают — 1, скорее всего ошибка произошла во втором кубите. Существенно, что ни одно из измерений не дает информации об амплитудах а и Ь закодированного квантового состояния и, таким образом, не разрушает суперпозиций квантовых состояний, которые мы хотим сохранить при использовании этого кода. Упражнение 10.3.
Покажите, что измерения АЯз и ЯзЯз с точностью до переобозначения результатов эквивалентны измерениям четырех проекторов, определенных в (10.5)-(10.8), в том смысле, что обе процедуры дают одинаковую статистику измерений и оставляют кубиты в одинаковых состояниях. 10 1.2 Трехкубитовый код, исправляющий фазовые ошибки Только что описанный код интересен, однако он не является существенно новым по сравнению с классическим кодом, исправляющим ошибки. Кроме того, ои не решает многие проблемы, в частности, с его помощью можно исправлять только классические ошибки.
Более интересен код, исправляющий фаэовме ошибки. С вероятностью 1 — р состояние кубита не изменяется. С вероятностью р изменяется относительная фаза состояний )0) и ~1). Более точно оператор фазовой ошибки, 2, действуя на кубит с вероятностью р ) О, переводит состояние а)0) + Ь!1) в состояние а!0) — Ь)1).
Классического аналога такой ошибки не существует, однако канал с фэзовой ошибкой можно легко превратить в канал с классической ошибкой. Предположим, что мы работаем в базисе (+) ш ((0) + )1))/2, ) — ) ш (~0) — )1))/2. В этом базисе оператор Я меняет ~+) на ) — ) и наоборот, т. е. работает как оператор классической ошибки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
