М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 127
Текст из файла (страница 127)
536 Глава 10. Исправление квантовых ошибок 10.3 Теория исправления квантовых ошибок Можем ли мы построить общую теорию кодов, исправляющих квантовые ошибки? В этом разделе приводятся основы такой теории, в том числе условия испровлеиил квантовых ошибок — набор уравнений, которые должны выполняться, чтобы исправление ошибок было возможно. Конечно, это не гарантирует существование хороших кодов, исправляющих квантовые ошибки.
Этот вопрос мы обсудим в разд. 10.4, но сначала мы получим базу, необходимую для построения таких кодов. Основные идеи теории кодов, исправляющих квантовые ошибки, являются естественным обобщением клей, введенных при описании кода Шора. Квантовые состояния кодируются некоторым унитарным оператором в код, исправляющий ивановые ошибки, который определяется как подпространство С некоторого ббльшего гильбертова пространства. Введем обозначение Р для проектора на это подпространство. Для трехкубитового кода, исправляющего классические ошибки, Р = (000)(000( + (111)(11Ц. После кодирования на полученное состояние действует шум, вызывая некоторую ошибку.
Затем производятся измерения и определяется тип возникшей ошибки, ее синдром. После этого выполняется операция восстановления, которая возвращает квантовую систему в исходное состояние. Эта простая картина проиллюстрирована на рис. 10.5: различные синдромы ошибки соответствуют ортогональным подпространствам в гильбертовом пространстве. Подпространства должны быть ортогональны, иначе их будет невозможно различить при измерении синдромов. Более того, все подпространства должны быть недеформированными версиями исходного пространства кодов в том смысле, что при действии ошибки ортогональность кодов должна сохраняться, чтобы можно было восстановить исходное состояние.
Эта интуитивная картина и является содержанием условий исправления квантовых ошибок, описанных ниже. Чтобы разработать общую теорию исправления квантовых ошибок, нужно сделать как можно меньше предположений о природе шума и о процедуре, используемой для исправления ошибок. Мы не будем предполагать, что исправление ошибок происходит в два этапа (обнаружение ошибки и восстановление исходного состояния) и что шум в системе кубитов слабый. Вместо этого мы предположим только, что шум описывается квантовым преобразованием Е, а полная процедура исправления ошибки — сохраняющим след преобразованием Я, которое назовем преобразованием исправлехил тиибки.
Это преобразование объединяет обнаружение ошибки и восстановление исходного состояния. Для успешного исправления ошибки мы потребуем, чтобы для любого состояния р, носитель которого лежит в подпространстве С, (Я. о Е) (р) сс р. (10.15) Вам может показаться странным, почему мы написали ос вместо =. Если Е— сохраняющее след квантовое преобразование, то взяв след от обеих частей формулы, мы увидим, что сс перейдет в =.
Однако, иногда мы будем рассматривать при исправлении ошибок не сохраняющее след квантовое преобразование Е. 10.3. ТеоРия исправления квантовых ошибок 537 В этих случаях больше подходит знак сс. Конечно, преобразование гс должно исправлять ошибку с вероятностью 1, поэтому мы потребовали, чтобы Я. сохраняло след. (А) (Б) Рис. 10.5.
Гильбертово пространство при квантовом кодировании А — плохой код с неортогональными деформированными подпространствами, Б — хороший код с ортогональными (рааличными) недеформированными подпросгранствами. Условия направления квантовь~х ошибок это простой набор уравнений, которые надо проверить, чтобы убедиться, что код, исправляющий квантовые ошибки, может защитить от шума Б. Мы используем эти условия, чтобы построить различные квантовые коды и исследовать нх общие свойства. Теорема 10.1 (условия исправления квантовых ошибок).
Пусть С— квантовый код, а Р— проектор на С. Предположим, что с — квантовое преобразование с элементами (Ее). Для существования квантового преобразования гс, исправляющего шум Б на множестве С, необходимо и достаточно, чтобы РЕ,'Е1Р = а;, Р, (10.16) где ст — некоторая эрмитова матрица.
Мы называем элементы преобразования (Ее) шума Б ошнбхалеа, и если такое гс существует, говорим, что (Е;) является исправяяемььм множестпволг огапбок Доиазатпадъсгпео. Докажем сначала достаточность (10.16), явно построив преобразование гс, при условии, что равенство (10.16) выполняется. Мы используем конструкцию из двух частей, как и в коде Шара — обнаружение ошибки и восстановление исходного состояния и покажем таким образом что исправление ошибки всегда 538 Глава 10. Исправление квантовых ошибок может быль выполнено в виде такой двухшаговой процедуры. Пусть (Е;)— набор элементов преобразования, удовлетворяющий условию (10.16). По определению, а — эрмитова матрица и, следовательно, она может быть приведена к диагональному виду, И вЂ” чаи, где и — некоторая унитарная матрица, а о' диа:- гональна. Определим операторы Рь ш 2, игьЕь Согласно теореме 8.2, (Р<)— тоже набор элементов преобразования Е. Прямой подстановкой получаем РРь Р~Р = ~~~ и~~,.и (РЕ1Е Р.
(10.17) Подстановка сюда выражения (10.16) дает РР~1.Р~Р = ~," и1~,амияР. Так как Ы = исаи, получаем (10.20) Таким образом, (10.24) (10.25) (10.26) что и требовалось. РК,'Р,Р = 1ыР. (10.18) Таким образом, мы упростили условие исправления квантовых ошибок (10.16), так как лы диагональна. Используем упрощенное условие (10.18) и полярное разложение (подразд. 2.1.10), чтобы найти синдромы. Из полярного разложения получаем РьР = Уь РРьРьР = ЯььУкР для некоторого унитарного оператора Уы Таким образом, Рь поворачивает подпространство кода в подпространство, определя- емое проектором Рь ьч 7/ьР0~ ~— — РьР7/~~/~/Екк.
Равенство (10.18) предполагает, что эти подпространства ортогональны при Й ф 1, РРь = Р Рь = = 0. ЦРФР„Р(7' (10.19) ~/4Фьь Нахождение синдромов — это проективные измерения, определяемые проекто- ром Рь и возможно, еще одним проектором, чтобы выполнялось условие пол- ноты: 2"ь Рь = 1. Восстановление исходного состояния производится операто- рами Уы Заметим, что полная процедура исправления ошибки соответствует преобразованию Я.(сг) = 2',ь У~РьпРьПю Для состояния р из этого кода про- стые вычисления дают и„'Р„Р,,/о = 7/ЯРР,/л (10.21) и„'ц РФ„РР,гр ~/4а бысть Р~/р — бм ъйкк /Р.
10.3. Теория исправления квантовых ошибок 539 Чтобы доказать необходимость условия исправления квантовых ошибок (10.16), предположим, что (Е;) — множество ошибок, которые могут быть исправлены преобразованием 72 с элементами (Яу). Определим квантовое преобразование как Ес(р) вэ Е(РрР). Поскольку РрР находится в подпространстве кода для любого р, В(Ес(р)) к РрР, (10.27) для всех р. Коэффициент пропорциональности с не зависит от р, так как обе части уравнения должны быть линейными по р. Если переписать это соотно- шение в терминах элементов преобразования, то получим ЦЕ;РрРЕ~В1 = сРрР.
(10.28) (10.29) Ц,Е;Р = сыР Сопряженное равенство имеет вид РЕ1В~~ = с*,Р и, следовательно, РЕ)В~ВьЕ Р = С';сь Р. Но И вЂ” преобразование, сохраняющее след, поэтому ~ ь Вьюсь = 1. Суммирование РЕ1Я~1ЯьЕ Р = с,'„сьуР по к дает РЕ1 Е.Р = опР, (10.30) гДе сиз =,> ь с~,сьу — некотоРаЯ эРмитова матРиЦа. Мы полУчили Условие квантового исправления ошибок.
Непосредственная проверка условия исправления квантовых ошибок — простая, но долгая процедура. В разделах 10.4 и 10.6 мы введем теоретический формализм, в котором используется условие исправления квантовых ошибок в качестве основы для построения множества интересных классов кодов, и исключаются сложности, связанные с прямой проверкой условия исправления квантовых ошибок. Пока же предлагаем вам упражнение, показывающее условие квантового исправления ошибок в действии. Упражнение 10.7. Рассмотрим трехкубитовый код, исправляющий классические ошибки (подразд. 10.1.1) и соответствующий проектор Р = )000) (000(+ ~111)(111~.
Шуу, от которого защищает этот код, имеет следующие элементы р бр,:(4г — рг~ Грс — р~х, р[à — р)х, рд — р~»~, ц р — вероятность классической ошибки. Заметим, что это преобразование не сохраняет след, так как мы пренебрегли элементами преобразования, которые соответствуют ошибкам в двух и трех кубитах. Проверьте условие квантового исправления ошибок дли данного кода и шумового процесса. Это равенство справедливо для всех р. Отсюда следует, что преобразование с элементами (Я1Е; ) идентично преобразованию с единственным элементом ~/сР.
Из теоремы 8.2 видно, что существуют такие комплексные числа сы, что 840 Глава 10. Исправление квантовых ошибок Вставка 10.1. Исправление квантовых ошибок без измерения В основном тексте мы описываем исправление квантовых ошибок как процесс, состоящий из двух частей: обнаружение ошибки с использованием квантового измерения, и восстановление исходного состояния с помощью унитарного оператора, зависящего от результата измерения. Можно исправлять ошибки, используя только унитарные операторы и вспомогательные системы в приготовленных заранее состояниях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
