Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков (1156655), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Мы знаем, что функция «р(х,() при $-+ — оо асимптотически стремится к (х Г)=( — )' ~ «р (й)з™а «м««$$« Полагая в этих равенствах 1= О, получим з з ф (х) = ( — „) ' $ ф (х, 1«) «р ($«) «$$«, «р (х) = ~ — ) ' ~ е«а*«р (1«) «$$«, а~ а' Сравнивая эти формулы с ф = $7 «р, записанной в им- пульсном представлении ф($«) = ~ У (1«, $«') «р ($«') «$$«', получаем, что 0 (1«, й') = ( „, г е «""ф (х, $«') «$х.
а' Можно показать также, что $7 ($«$«') = — ~ е-«"*«$«(х, — 1«')«(х. (з, )з Связь операторов $7 с собственными функциями непрерыв. ного спектра оператора Н становится особенно наглядной, если выписать (13) при )(з) = з, (8) и (12) в импульсном представлении Н$7а(р, $«)= йз(7~(р, $«) (17) (Н вЂ” оператор Шредингера в импульсном представлении), ~ Н~ (Р "«) $7ь (Р $«з) «(Р = б ("«$«з) (18) ~ $7~(Р~ $«) $7~(Р $«) «Л«+ ~~' Кп(Р)Кл(Р ) $ б(Р— Р ) (18) т зак. зм Формула (17) показывает, что ядра операторов Ув, рассматриваемые как функции от р, есть собственные функции непрерывного спектра, соответствующие собственному значению и».
Тогда (18) — условие вортонормированиости» собственных функций У (р,к), а (19) — условие полноты систем (у (р), 0 (р,к)). $44. Свойства коммутирующих операторов В этом параграфе мы рассмотрим свойства коммутирующих операторов, еще раз обсудим вопрос об одновременной измеримости наблюдаемых и введем важное для квантовой механики понятие полного набора коммутирующих наблюдаемых. Для начала рассмотрим два самосопряженных коммутирующих оператора А и В с чисто точечным спектром. Покажем, что такие операторы имеют общий полный набор собственных векторов.
Пусть А~р~~> = Х <р<'>, 1 = 1, 2, ..., Вф~~ =рЯ~, 1 = 1, 2, ..., По условию наборы векторов (ф<Д и (фю) являются полными в пространстве состояний,В. Обозначим через М„ собственное подпространство оператора А, соответствующее собственному значению Х , через Р проектор на это подпространство.
Аналогично введем М„' и Р„' для оператора В. Из условия АВ = ВА следует, что ЄЄ '= Р„'Р . Введем оператор Р „= Р Р'„. Очевидно, что Р „ — оператор проектирования на подпространство Ж „ = — — Я () »з'„. Если ~реп М„„, то он удовлетворяет обоим уравнениям (1). Далее, М , 1. Ж „, если индекс тп отличен от индекса т'и', Пусть (ф~~„), й = 1, 2, ...
— базис в подпространстве Я „. Для того чтобы доказать полноту системы векторов (фф й, щ, и = 1, 2, ... в М, достаточно проверить, что не существует вектора р вне, ф Ф О, ортогонального ко всем М,„,. Из полноты набора собственных векторов оператора А следует, что для любого ~р Ф О найдется номер т, для 'которого Р„у ~ О. Аналогично найдется номер п такой, что Р„'Р % Ф О, т, е. Р „р ~ О для любого ~р ~ О и некоторых т и и.
Таким образом, мы показали, что (ф~~Д является базисом в М, состоящим нз общих собственных векторов операторов А н В. Справедливо н обратное утверждение. Если два оператора имеют общий полный набор собственных векторов, то они коммутируют. Действительно, пусть (ф"„') — общий полный набор 170 собственных векторов операторов А и В А>р>л> = Л >р>л>, тп т тв' В%1'> =» рм>, й=1, 2, тв в тп (2) Тогда АВф®„=Л»„р>в> и ВАрм'„=Л» ф'в>. Из полноты набора следует, что АВ>р = ВА>в для любого ср еи,Ж.
Доказанные утверждения справедливы для произвольного числа попарно коммутирующих самосопряженных операторов А» ..., А„, ... с чисто точечным спектром и с некоторыми оговорками для операторов с непрерывным спектром. Имеет место также следующее утверждение. Если самосопряженные операторы А» ..., А„попарно коммутнруют, то существует такой самосопряженный оператор Я, что все операторы А» >'= 1, 2, ..., и являются его функциями А> = Р;(Я), Для операторов с чисто точечным спектром построить такой оператор В очень легко.
Рассмотрим случай двух коммутирующих операторов А и В. Они имеют общую полную систему собственных векторов (>Г'~>), которые удовлетворяют уравнениям (2). Определим оператор Я соотношениями В>р>~> = г>м >рм>, лт тл тв' 171 7$ где г(~> — вещественные различные числа. Очевидно, что Я— самосопряженный оператор с простым чисто точечным спектром. Введем теперь вещественные функции Р(х) и 6(х), удовлетворяющие условиям Л =г(г>„"„>), »„=6(г>в>„). Для значений х, не совпадающих с числами г>л> вид функций г(х) н 6(х) несуществен.
Из определения функции от оператора сразу следует, что А = Р(В) и В = 6(Я), Об>цая теорема для коммутирующих операторов Аь ..., А, с произвольным спектром была доказана фон Нейманом. Обсудим физические следствия сформулированных утверждений для коммутирующих операторов. Напомним, что соотношение неопределенностей Гейзенберга не накладывает никаких ограничений на дисперсии коммутирующих наблюдаемых и в этом смысле мы назвали их одновременно измеримыми. Мы теперь можем уточнить понятие одновременной измеримости. Последнее утверждение показывает, что для измерения численных значений коммутирующих наблюдаемых достаточно измерить одну наблюдаемую )г, т. е, принципиально возможно прн единичном измерении узнать численные значения всех наблю* даемых А» ..., Ат Из существовании системы общих собственных векторов следует существование'бесконечного множества состояний, в которых все эти наблюдаемые имеют определенные численные значения.
Наконец, из результатов следующего параграфа будет следовать, что можно построить общую функцию распределения численных значений одновременно измеримых наблюдаемых для любого состояния. Введем понятие функции от коммутирующих операторов А и В. По вещественной функции 7"(х,у) можно построить само- сопряженный оператор [(А, В), положив 1 (А В) ф(") = Цй (».) фй где векторы ф'»„' удовлетворяют (2). Это определение согласуется с введенным ранее определением функции от одновременно измеримых наблюдаемых. Справедливым является следующее утверждение. Если оператор Р коммутирует с любым оператором С, коммутирующим со всеми операторами Аь ..., А„, [АьА»[ = О, то оператор 0 является функцией от этих операторов.
При доказательстве опять ограничимся случаем двух операторов с чисто точечным спектром. Пусть каждой паре собственных значений 2, и р„соответствует один собственный вектор Афт =7)тфта Вфтт=((тфт» В этом случае достаточно коммутативности оператора О с самими операторами А и В. Действительно, если [О, А[ = О и (р~М, то и О(р~ЗЮ, так как АО(р = РАф = Х Оф. Аналогично из условии [О, В[ = О получаем, что вместе с ф~Я'„и РфеиЯ„'. Поэтому, если реп Я т то Офя»э" „.
По условию пространства »эт, одномерны и Рф„„лишь численным МНОжнтЕЛЕМ МОжЕт ОтЛИЧатЬСЯ От ф „, т. Е. Офт»=ит»фт». ВмбИрая фуикциЮ [(Х,у) таяуЮ, ЧТО Хти=[(Хт,Хл), ВИДИМ: О = [(А, В). Перейдем к более сложному случаю, когда подпространства Я „не являются одномерными Аф(»)„= >1„ф(»), Вф'») = >(„ф(»), й =!, 2, ... Рассмотрим совокупность собственных векторов, соответствующих паре 7), йт Индекс п)п для сокращения записи опустим. Введем операторы С(п и С(п), определив их равенствами С(п(рм) = б ф(»), ф = 1»ф фн) С ( и ) ф (» ) ф ( 1 ) й [ О, йчь(', ). (р=С пф=О, ф~Ят„, 1> (Ю где уйт„ — ортогональное дополнение к надпространству М „. Легко проверить, что все опепатопы С(1) и С(1'> коммутируют 172 с А и В.
Из условия 10, С<»] = 0 получим П~<в = ОС<»<рч> = С<лО<р<л, откуда следует, что Оф<» пропорционален <р«>: О<р<л = ><<<><рн>. Покажем, что все числа н«> совпадают х<л<р<>> = О<р<>> = ОСп'><р<п = С<>о Оф<о = С<п>х<'><р<'> = ><<о<р<>>, Таким образом, векторы ф<>'> являются собственными векторами оператора О, причем собственные значения от индекса й не зависят Оф"> =х „<р<~>. Поэтому, как н в первом случае, Р = 1(А, В).
Обратим внимание на то, что коммутативности оператора 0 с самими операторами А и В здесь было бы недостаточно, Более того, если из условия коммутативности оператора О с А и В следует 0 = )(А, В), то можно утверждать, что каждой паре собственных значений» и >ь, соответствует один собственный вектор Ч> . Действительно, если таких векторов несколько, то всегда может быть построен оператор, коммутирующий с А и В и не являющийся их функцией.
Б качестве такого оператора можно взять, например, оператор С<ш. Теперь мы можем ввести важное понятие о полной системе коммутирующих операторов. Система самосопряженных операторов А>, ..., А„называется полной системой коммутирующих 'операторов, если 1) операторы А; попарно коммутируют 1А„ А>) = (>, 1, 1 = 1, 2, ..., п, 2) ни один из операторов А; не является функцией от остальных, 3) любой оператор, коммутирующий со всеми Аь есть функция от этих операторов. Из доказанных выше утверждений и условий !) и 3) определения полного набора А>, ..., А„следует, что существует общая полная система собственных векторов всех этих опе- раторов причем каждой совокупности собственных значений а>, ..., а„ соответствует один собственный вектор ч>, , Из условия 2) следует, что последним свойством не обладает общая полная система векторов для части операторов Аь ..., А„.
Фактически условие 2) обозначает, что среди операторов Аь ..., А, нет «лишних». Если в результате измерений известно, что численные значения полного набора наблюдаемых А<, ..., А„в некотором >тз состоянии с достоверностью равны аь ..., а„, то можно утверждать, что это состояние описывается вектором ф, В заключение заметим, что если набор попарно коммутирующих независимых операторов не является полным, то его можно и притом многими способами дополнить до полного набора.
5 45. Представление пространства состояний по полному набору наблюдаемых Пусть дан полный набор операторов Аь ..., А„с чисто точечным спектром. Эти операторы имеют общий полный набор собственных векторов ф , н каждому набору собственных чисел соответствует один вектор ф . Произвольный век" ~и тор ф ен йй может быть представлен в виде ряда ф(ао ..., а„), ф„, ф(ао ..., а„) =(ф, ф,, ). 1"" й Эта формула определяет взаимно-однозначное соответствие между векторами ф и функциями ф(аь..., а„), определенными на спектре операторов Аь ..., А„, ф~-~ф(аь ..., а„), Очевидно, что (Фь чз) = К ф~ (аь ..., а„) ф,(по ..., а„), ~,,...,а„ А ф а,.ф(ао ..., п„), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
