Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков (1156655), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Имеем 1 0 О 1 оУ =Уэ, ,У,= У, оУ = — (У„, азУ„= Уэ, озУ = — У . Используя эти формулы, получим 5з(Р'! = —,' (оз' + озн) У",У4 = У+и+ =1(Рь 5зй'з = 1(1'з. 5зВ'з = 0(Р'з 5з(Р з = 0(г' е Наряду с (2) имеют место формулы 5%, =2йт,, 1=1, 2, 3, 5 Ю4 = 0% 4. Проверим формулу (3) для вектора (рз. 5 и з (51+52+53)((гз - — 'Ко',и+ о!!")з+ (озп+ азв)'+ (азп+ оз")'1 йгз= =~ — 1+ — (о~! ~о!в+ агз~огз~ + взвоз ~)~=(У~+У~ + У~пУ!.) = ч/Я 3 1 ! ! = — (Гз+ — ((Уз+ — ((Уз — — 11гз = 2(Гз.
я 2 2 2 (3) 181 Здесь мы испольэовали (1) и равенства а1= !', у = 1, 2, 3, Таким образом, первые три вектора (г'з, 1Гз и Ж'з описывают состояния, в которых квадрат полного спина системы иэ двух электронов равен 2. Число 2 можно записать в виде 2 = = 5(5+1), где 5 = 1, поэтому полный спин в этих состояниях равен единице. Проекция полного спина в соответствии с общими свойствами момента импульса принимает в этих состояниях значения ~1 и О. Вектор (Рз описывает состояние с полным спином, равным нулю. Иногда говорят, что в состоя. ниях (рь Фз, В'з спины электронов параллельны, а в состоянии (Рз — антнпараллельны. Обсудим полученный результат с точки зрения теории групп. Мы знаем, что в пространстве С~ действует неприводимое представление группы вращений операторами — (а,а,+а,а,+Оиь> (У(я)=е з .
Ясно, что отображение д- (У(д) = = 0(я)>2>(У(я) =е нз'+з"'*+з" > есть представление группы вращений в пространстве С'. Представление 0 является тензорным произведением двух одинаковых представлений (У, и оно приво- димо. Согласно результатам $ 29 пространство С4 представимо в виде прямой суммы двух ннвариантных относительно операторов 0(я) подпространств, в которых действуют неприводнмые представления.
Первое из этих подпространств натягивается на векторы В'ь В'м В'з, а второе — на вектор В'». Используя обозначения $ 29, мы можем записать этот результат в виде У> > ® У> > = У)» 9 УУ> г Заметим, что мы доказали частный случай теоремы о разложении тепзорного произведения непрвводимых представлений группы вращений. Сформулируем эту теорему без доказательства.
Пусть в пространствах >э'> и эх действуют неприводимые представления группы врашеннй УУ, и 0 . Тогда тензорное произведение представлений представимо в виде прямой суммы неприводимых представлений УУя~гэУУ>,=УУ>п л>ВУУ», ь> В...ВУУд и. Последняя формула называется разложением Клебша— Гордана. Само разложение получается переходом от базиса, составленного из векторов е>,~>е>,„,, п>ь= — Уы — 1» + 1 .,(м й=1, 2, где е> мь — собственные векторы операторов (у»з)з и У<"> к базису из векторов е, У = !1, — 1, ), ~ 1, — )з ( + 1,..., 1> + 1', М= — У, — У+ 1, ..., У.
Векторы е являются собственными для четырех коммутирующих операторов (Уп>)з, (Уел)' з (у>и ун>)з (у>п у>з>)э ш ув>)з >>> ун> Векторы е представимы в виде е> пхм — „~ хСьшп; >.и е е> „е>,„. (4) П3(, П> Индексы суммирования т~ пробегают значения — (ь+1, ..., )ы У> = 1, 2. Коэффициенты разложения С в (4) называются коэффициентами Клебша — Гордана, Заметим, что мы, переходя к базису В'ь В'м В',, В'ь нашли эти коэффициенты для случая 1'> = уз = 1/2.
Из сформулированной теоремы следует также, что если в некотором состоянии момент импульса уп> имеет значение у>, >ах а момент У(з> — значение 1м то полный момент У может пРинимать значения (1> — 1з~, 11> — 1з)+ 1,, 1>+1в Складывать таким образом можно как орбитальные или спиновые моменты для различных частиц, так и орбитальный и спиновой момент для одной частицы.
В заключение этого параграфа отметим важное для дальнейшего свойство базисных элементов Ф'ь 1= 1, 2, 3, 4. Для этого запишем их, вводя спиновые переменные з,"> и з,">, каждая из которых может принимать два значения ~1/2 1Р (з1п з<г>) 1> (зд>) гг (з(г>) яг (зп> зв') =у (згч) у (зп>) 1Р (зп,.')= — '~и (з»)и (. )+и (. )и (зв)1, (б) Цг (зп> зФ) — ~1/ (з(>>) Ц (зп>) Ц (зо>) Ц (з!2))) где У Я=1, У„( — — )=О, У Я=О, 0 ( — — )=1.
Из (5) следует, что функции К, 1Рь Угз являются симметричными функциями от спиновых переменных 1г . (з,"', ~~'>) = йГ, (~<", ~(4>), 1= 1, 2, 3, а Яг~ — антисимметричная функция 1' з (зз зз ) ~ з (зз зз ) й 48. Системы многих частиц. Принцип тождественности До настоящего параграфа мы изучали в основном поведение одной квантоной частицы.
Пространством состояний частицы без спина является в координатном представлении пространство Ез(1сз), а для частицы со спииом 1!2 — П(йз)9 Сз. Естественным обобщением таких пространств на случай системы из и частиц представляются пространство 1з(рз~) гз(1з>1,8, <р гз(1~з1 для частиц без спина и пространство г>(рыл) ~р ~рп г>11>з1 ~8> С>~8~ З гз(рз) й1 Сз для частиц со спином 1>2.
Сравнение теории с экспериментом показывает, однако, что такое предположение о пространствах состояний систем нз п частиц оказывается справедливым только в том случае, когда среди частиц системы нет одинаковых. При наличии одинаковых частиц в поведении квантовых систем обнаруживаются 18З особенности, объяснение которых становится возможным на основе так называемого принципа тождественности. Сразу заметим„что принцип тождественности является новым принципом квантовой механики.
Он не может быть выведен из других, сформулированных ранее, основных положений квантовой механики и должен быть постулирован. Будем обозначать одним символом М пространства ~з(Кз") и ь'(Кз")® Сз", а элементы этих пространств записывать в виде Ч" (5ь..., $.), где 5; = хн1 — для бесспиновой частицы и $,=(х'о, з<'~) — для частицы со спином, ззю — спиновая переменная 1-й частицы. Для частицы со олином 112 переменные з1зв принимают два значения ~ 1/2. Скалярное произведение в пространствах М также можно записывать единообразно (Ч', Ф) = ~ Ч' ($п ..., в„) Ф (4ь ..., $„) И$~ ...
г$„, подразумевая, что для частиц со спином интегрирование по переменным $; есть интегрирование по пространственным переменным х(о и суммирование по спиновым переменным з~,'~. Прежде чем переходить к формулировке принципа тождественности, рассмотрим группу перестановок 5„, которая называется также симметрической группой. Элементами этой группы являются перестановки а единичный элемент есть тождественная перестановка (1,2,..., )' Произведением перестановок и = пзп1 называется перестановка, которая получается в результате последовательного выполнения перестановок п| и пь Легко построить представление группы Я„ в пространстве М. Введем операторы Р„, положив Р.Ч ап ..., й„) = Ч (й,,, ..., В,„).
Очевидно, Ра являются унитарными операторами и отображение и- Р„есть представление симметрической группы в пространстве М. В пространстве М сразу выделяются два инвариантных относительно операторов Ра подпространства, Это подпространство Мз симметричных функций, для которых РпЧ' (З1 $а) = Ч" (в» $~) 164 и подпространство Ял антисимметричных функций Р„Ч (йп ..., й„) =( — 1)(-) Чг(йь..., 8„), где через (п) обозначена четность перестановки и. Очевидно, что Я„1 Яа. В случае двух частиц М = Зви 9,йээ. Действительно, любая функция Чг(сг, дт) может быть записана в виде Чг ге г Ч (и1 иа) + ( (иа 81) ~ 1 (и1 вт) Ч (йи $~) =Чгз(ьг, ьа)+Чга(зь эт), где Ч',иван, а Ч",геиЯ,.
В случае большего числа частиц имеются и более сложные, чем Яа и Жл инвариантные подпространства, однако интереса эти подпространства не представляют. Принцип тождественности утверждает, что пространством состояний системы из и одинаковых частиц является либо пространство Зйл, либо пространство Ма. Выбор одного из этих пространств в качестве пространства состояний зависит только от рода частиц. Говорят, что частицы, состояния которых описываются симметричными функциями, подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна, а частицы, описываемые антнсимметричными функциями, подчиняются статистике Ферми — Дирака.
Первые на зываются бозонами, а вторые — фермионами. Оказывается, что статистика, которой подчиняются частицы, определяется их спином. Частицы с целым спином (в том числе и без спина) являются бозонами, а часгнцы с полуцелым спином — фермионами. В нерелятивистской квантовой механике нет объяснения связи спина и статистики, отчасти эта связь объясняется в релятивистской квантовой механике.
Фермионами являются электроны, протоны, нейтроны, спин которых равен 1(2, бозонами являются фотоны, спин которых равен единице, и мезоны, у которых спин равен нулю. Статистика составных тождественных частиц (например, атомных ядер) определяется четностью входящих в их состав фермионов, так как перестановка одинаковых сложных частиц эквивалентна перестановке нескольких пар элементарных частиц. Так, дейтроны, состоящие из нейтрона и протона, являются бозонамн. Заметим, что спин дейтрона целый *, так как спины протона и нейтрона равны 1/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
