Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков (1156655), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Это значит, что решения однородного уравнения являются собственными функциями дискретного спектра оператора Н. С помощью интегрального уравнения (1) была доказана полнота набора собственных функций (ф,(х), ф (х,к)) оператора Н. 5 42. Вывод формулы для сечения Основной характеристикой процесса рассеяния частицы на потенциальном центре является дифференциальное сечение. В согласии с общим определением сечения дифференциальное сечение по определяется формулой где ИМ вЂ” вероятность обнаружить частицу после рассеяния (1- оо) в элементе телесного угла Нп, построенного около некоторого направления п; 7 в вероятность пересечения свободной частицей площадки единичной площади, ориентированной перпендикулярно движению частицы. Эта вероятность определяется в той точке, где находится рассеивающий центр.
Обратим внимание на то, что НЛГ есть характеристика частицы в поле рассеивающего центра, а 7 — характеристика свободной частицы. О состоянии в свободной частицы пучка известно довольно мало. Действительно, известно, что частица имеет импульс, приближенно равный Мз = йзгва, известна дисперсия импульса (Лй)', =(Лй,)', +(Ля,)', +(ЛФ,)з; причем для того чтобы опыты по рассеянию допускали простую интерпретацию, стремятся использовать пучки частиц с малой дисперсией импульса. О координатах частицы пучка известно обычно совсем мало.
Но все же известно, что в некоторый момент времени (который можно принять за 1 = О) частица находится в макроскопической области„ расположенной между ускорителем и мишенью; поперечные размеры этой области можно отождествить с диаметром пучка. Заметим, что существование такой области накладывает согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга ограничения на дисперсию импульса снизу.
158 При выводе формулы для дифференциального сечения мы сделаем два предположения относительно малости корня из дисперсии импульса, который будем обозначать через Ыг: () гьй « )го, ~ць и г) г(ь' п вз'))чр (((/г,пнз) ), если ))гоз — йети'! < Л)г. В принципе этим требованиям всегда можно удовлетворить, если у()г, и, оз) — непрерывная функция от й = )гоз (непрерывность функции ) может быть доказана для широкого класса потенциалов). Обычно на практике эти условия выполняются. Однако встречаются случаи, когда при малом изменении переменной )г происходит сильное изменение функции )(Ф, и, нз) (случай узкого резонанса). Величина Лй в конечном счете определяется конструкцией ускорителя и практически не может быть сделана как угодно малой.
Поэтому в некоторых экспериментах условие 2) может не выполняться. В этом случае нельзя применять полученную ниже формулу для сечения. Покажем, что при выполнении условий 1) и 2) дифференцпальное сечение зависит от состояния налетающей частицы только через йо и справедлива формула ца = ! ) (йо, и, ыа) )' (и. Наиболее общим состоянием для свободной частицы является смешанное, задаваемое матрицей плотности Мз(г), которую мы представим в виде выпуклой комбинации чистых состояний Мр(г)=~ а,Р „, г„а,=). Чистое состояние Р „, определяется волновой функцией 3 гр,(х, (), имеющей вид з Гр,(Х г) = ( — )' ~ Сз()г)Емка г Огй н' Можно утверждать, что заметный вклад дают только такие чистые состояния, дисперсия импульса в которых не превосходит дисперсии импульса в состоянии Мз(г).
Поэтому мы будем считать, что все функции С,(к) отличны от нуля лишь в малой окрестности точки Ае=)гонте и диаметр этой окрестности не превосходит гь(г. Мы не имеем никакой информации ни о конкретном виде функций* С,(й), ни о весах а, и не будем делать относительно них каких-либо предположений. а Разггым функциям С,(й) соответствует как разлнчная форма, так н различное расположение волновых пакетов в конфигурационном пространстве в некоторый момент времени. Пусть, например, некоторая функция с,(й) задает волновой пакет, цеятр тяжести которого (х(г)),„движется вдоль оси хз, направленной по вектору кы в прохолншей через рассеивающий ганг центр. Тогда функции Сг(й) =е Сз(й) будет соответствовать пзкет, сме- Вычислим сначала вероятность /, Выберем систему координат с началом в силовом центре и осью лм направленной по вектору ате Для чистого состояния гр,(() вероятность /<') проще всего вычислить, используя вектор плотности потока вероят.
ности )(ю (х, () = 1(Ч!,~7ф, — ф,тугр,), /")= ~ /,"(х,()~ а. тогда Вычисляя /ы)(х, ()/ =((,р —, — гр — ) ~ дфз дюз т 3 ' » е г дх» з дле) х-е $ г()с ~ г()с' (/е + /г;) С, (к) С, ((г') е'( ') ', получим / = )В $ Л $ сбс' 1 г((()аз+ й)С ((с)С (ка)нг(»' — ')т= ю р = — „„',, ~ (й~ (('<и+й;)С,(й)С,(й')6/йм-й)= = —, ~ (й ~ (й С,(й)С,(й)6(й — й) аз иэ = (зя)ъ- ~ с()с $ с((с'Са ()с) С, (1с') 6 (/е' — /т). При вычислениях использовано равенство 6(йв — й") = — (6(й — /е') + 6(й+ й')) (2) щевный на вектор н, в конфигурационном пространстве(с — это оператор г !»н сдвига, записанный в импульсном представлении), Классическим аналогом состояния ю,(х,« (хотя и не вполне точным) можно считать состояние частицы, движущейся по прямолинейной траектории, проходящей через рассеивающий центр, Состоянию ~у~(х, О тогда соответствует траектория, проходящая на расстоянии р от рассеивающего центра, равному проекции вектора н! на плоскость поперечного сечения пучка.
В классической теории рассеяния расстояние р, иа котором прошла бы частица от центра, если бы не было взаимодействия, называется прицельньщ параметром. !бо и условие 6/а С< /ее, которое позволяет заменить (йа+ йз)/2й на 1. Второе слагаемое в формуле (2) вклада в интеграл не дает, так как в области интегрирования й ~ О и /е' ~ О. Для смешанного состояния Мо(г), очевидно, /= ~~ а,— з ~ гЛс ~ сбс'С,()г) С,(1с')6(й — й').
Вычислим теперь ЖЧ. При вычислении мы должны использовать матрицу плотности М(1), описывающую состояние, которое задолго до рассеяния (1 — — ео) асимптотически стремится к Ме(Е). Оператор М(1) можно записать в виде М (1) = ~~' а, Р ее где чистые состояния Ре ео определены волновыми функциями ф, (1) = ( — „) ~ и'(гС, ((г) ф (х, (г) е "*'.
(3) функции распределения координат в чистом со- есть )ф,(х,1)1з и для вероятности сЦП"> обнару- при 1- оо в элементе телесного угла дп в со- получим Плотность стоянии Ре со жить частицу стоЯнии Рт 1о ЫЖ'= 1!гп дп ~ г'с(г~ ф,(х, 1) Г. 1+ ~. а (4) Мы знаем, что при 1 -ь оо частица уходит на бесконечность, поэтому при подстановке (3) в (4) можно заменить 1Р(х,(г) ее асимптотическим выражением, тогда з Й)т'и''= Вт й~ ~ гздг ( — )' ~с((гС,(к) Х а и' Х ~е" +1(й, и, аз) —,)е '"*'~ .
з Функция 1 — ~ ' ~ ЖС(к) е'"" '"*' является волновым пакетом /1~2г ~2я ~ и* для свободной частицы и отлична от нуля только в той части конфигурационного пространства, где конечна вероятность обнаружить нерассеянную частицу пучка, т. е, внутри узкого конуса, построенного около направления вм Для всех остальных направлений вклад, дает только расходящаяся волна и для таких направлений 161 ам' = ц ' (ш (с,ф)~я,» ~ '"-"чж/. (5) '++ о еу Используя условие 2), можно заменить функцию Г"(й,п,м) под знаком интеграла ее значением в точке А = Йм е = вз и вынести за знак интеграла.
Далее интеграл ~ С,((г)е'"' мч Ж после я' интегрирования по угловым переменным вектора к становится одномерным волновым пакетом и как функция от г при г- оо он отличен от нуля только при больших положительных г. Поэтому интегрирование по г в (6) можно распространить на всю вещественную ось.
Тогда с(АПм = Лсп, ~ 1 (йс, п, соо) ~ Х с.++ (яя) Х $ с(г $ сЛс $ га)сС,((с)С (н)ем» апге <(а' а' ) с= н' н' = с)п ~ ~ (й,, и, сое) ~ )„', а ~ сЛс ~ сЛс'С, ((с) С, (й') 6 (й — й'), Наконец, для смешанного состояния М(1) НАС = с(п ! 1 (йе п, соо) !х ~~', а ( а ~ с((с ~ Ж'Са (й) Са (й') 6 (й — й') или НГ = сап ! 7 (еа, п, сое) Р 1, откуда сразу получаем Ло=~ Г(йо п* ото) ! Лп. (6) В заключение заметим, что мы получили формулу (6) для всех направлений и, за исключением и = соо. Сечение рассеяния вперед не может быть определено формулой (!), так как вероятность обнаружить частицу при т-~.
оо в телесном угле с(п, построенном около направления и = соа, не пропорциональна 1 (кроме того, мы вообще не можем отличить частицу, рассеянную вперед, от иерассеянной частицы). Когда говорят о сечении рассеяния вперед, всегда подразумевают экстраполяцию на нулевой угол сечений рассеяния на малые углы. При таком понимании для сечения рассеяния вперед справедлива формула (6). Для многих задач удобной характеристикой рассеяния оказывается полное сечение, которое определяется формулой* о= ~~)(йе, п ота) ~ с(п 5 43. Абстрактная теория рассеяния В этом параграфе мы будем строго придерживаться следующих обозначений. Оператор Шредингера для свободной частицы обозначается через Но, оператор Шредингера частицы " В классической механике полное сечение а = еа, если потенцяал не является финнтным.
Особенностью квантовой механики является конечность сечения а для достаточно быстро убываюнсих потенциалов, 162 в поле через Н Н=Н,+ Р, где У вЂ” оператор потенциальной энергии. Любое решение не- стационарного уравнения Шредингера для частицы в поле обозначается через ф(г). Этот вектор однозначно определяется своим значением прн 1= О, которое мы обозначаем через ф„ т. е. ф(1)=е 'н'ф, (напомним, что е-'н' — оператор эволюции). Аналогично любое решение уравнения Шредингера для свободной частицы обозначается символом ф(1), а его значение при Е = 0 через ф, ф(1) =е 'нкф. Различные решения ф(1) могут снабжаться дополнительными индексами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
