Главная » Просмотр файлов » Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков

Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков (1156655), страница 28

Файл №1156655 Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков (Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков) 28 страницаЛ.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков (1156655) страница 282019-09-18СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Как и в одномерном случае, разумно рассмотреть решение с функцией С(к), сосредоточенной в малой окрестности точки (гр = йоев По теоРеме Римана — Лебега пРи 11)- оо ф(х,()-ьО и ~1ф(х, 1)1эг(х- О для любой конечной области 11. Поэтому функция ф(х,1) описывает инфиннтное движение частицы. Нас интересует поведение этого равнения при )1~ —; оо н г — оо н мы можем заменить ф(х, к) в формуле (1) ее асимптотиче- ским выражением ф (х, к) = — ( — ' б (и+а) — 5 (й, п, ы)) + о ( — ) .

При г-~ оо имеем з ~ ф(,1)=-( —,)' ~ й'(й~ ( С(й,ы)ф( — '"'б(п+.)— о з, ем' — — Я (й, и, ы) ) е-"ч = тр1 (х, !) + фэ (х, 1), где ф,(х, 1) и фа(х,1) соответствуют сходящейся е-и'/г н расходягцейся ем'/г волне в аснмптотике. Функция ф1(х, 1) может быть переписана в виде ф1 (х, ~) = — ~ йС (й, — и) е "е-'" 'пй (3) г ~/2й (мы распространили интегрирование на всю вещественную ось, положив С(й, и) = О прн й ( О). Вычисляя интеграл (3) методом стационарной фазы, получим ч1(х, г)=(< > )' С( — —, — п)ем+ 0( — Пт-); (4) через т, как всегда, обозначена вещественная функция, которая нас не интересует.

!ба Для того чтобы вычислить»ь»(х, !), используем формулу (39.6) для функции 8 фз(х, !) = — = ~ Мй ~ пе С (/г, е) ~б (п — е) + »~/Ы + '~ ) (й, п, е)" е'»»е !»и = — — — ~ й!(й Г1С (К п) + » + — 'С»(й)~(К и, е,)~е»е' '*". (5) Здесь мы ввели обозначение С,(й)=~С(в,е)де и, учитывая б-образность функции С(й,е), заменили функцию !(й,п,е) ее значением в точке е = ео. Интеграл в (5) вычисляется методом стационарной фазы з фз(х,»)=( з! ) (С(з!, п)+ + 4."! С~(и)((з! и е)1е'"'+О(+!»6) Наконец, учитывая б-образность функции С»(й) (она сосредоточена в окрестности точки йз), получим »рэ(х, т) =( —,)' ~С( —,, и)+ + ~,' С ( — !)»'(йе и ео)1е»и+ О( !1»1, ).

(6) Из формул (4) и (6) видно, что»Р! дает вклад в ф(х,!) только при 1- — оо, а»1»з — только прн ! — ». +со. Для плотности функции распределения координат 1»р(х,!)1з имеем 1ф(х,()1'м — ',, С(- — ',, — п)~, ! — » — оо, (у) ! ф (х, !) 1 —, ~ ( С ( о!, и) ~ — — ' (п! С, ( — ') С ( —; и) Х а2 Х1(й,п,ео)+ — „,.)С ( —,',)~ 1)(йеп,е»1'1, !- + ° . (8) Из формул (7) и (8) следует, что полученные асимптотические выражения для»1»(х, ») имеют правильную нормировку при !-ь ~-оо, (Проверка этого утверждения для случая т-».— оо тривиальна, а в случае (-~-+со следует использовать формулу (39.!2).) Вспоминая, что С(й,е) отлична от нуля только в малой окрестности точки ймое а С»(А) — в малой окрестности точки ве !зз чы видим, что при (-ь † плотность функции распределения координат )ф(х,()(а отлична от нуля в окрестности точки г = — 2йз(, п = — охз, При г-ь+оо плотность )ф(х,() )з отлична от нуля внутри тонкого сферического слоя радиуса г = 2йод Угловое распределение вероятности можно получить *, прони.

тегрировав (8) по переменной г с весом гх. Ясно, что первые два слагаемых в (8) дают вклад в это распределение только при направлениях, близких к ото. Угловое распределение по всем остальным направлениям пропорционально ()(йо,п,юо))а. Теперь мы легко можем представить, как происходит движение частицы в состоянии, описываемом функцией ф(х,(). Задолго до рассеяная (г-ь †) частица со скоростью 2но цеемр и-гйзыз ,~ ' /1~ ~~,~„у,, Рис. 14. приближается к рассеивающему центру, двигаясь по направлению вьз. После рассеяния ((- +со) частица удаляется от рассеивающего центра с той же скоростью, причем она может быть обнаружена в любой точке сферического слоя радиуса г = 2йог с вероятностным распределением по углам, зависящем от С()с) и )(яо, п,ято).

На рнс. 14 заштрихованы области, в которых велика вероятность обнаружить частицу при (-ь-~-оо, Крест-накрест заштрихованы области, в которых эта вероятность отлична от нуля и прн отсутствии рассеивающего центра. Три слагаемых в формуле (8) допускают следующее толкование. Интеграл по всему пространству от суммы первых двух слагаемых (р'1 есть вероятность того, что частица пройдет мимо " Мы не выписываем точных формул для углового расцределення вероятяости, тан кзк оно существенно зависит от вида функции С(й) и позтому не является удобной характеристикой цроцесса рассеяния (функция С(й), соответствующая конкретному зксцерименту цо рассеянию, никогда не известна), Подходящей характеристикой является сечение.

Как мы увидим, сечение оказывается нечувствительным к виду С(й), важно только, чтобы зта функция была сосредоточена в малой окрестности точки йз Физически зто требование означает, что импульс налетающей частицы должен быть почти задан. 154 Ф'~+ Кз=1. Мы видим, что решение уравнения Шредингера ф(х,1), построенное при помощи функции ф(х,й), правильно описывает физическую картину рассеяния. Это оправдывает выбор асимптотического условия для функции ф(х,к).

Отметим еще некоторые особенности решения ф(х,1). Нетрудно видеть, что при 1-ь — оо эта функция имеет такую же асимптотику, как и решение уравнения Шредингера для сво. бодной частицы ~р(х, 1) = ( — ) з ~ С (й) е' э" а" ~й. (Здесь С(к) та же функция, что и в интеграле (1).) Действительно,. расходящиеся волны еы'(» не дают вклада в асимптотику при 1-~- — оо, а коэффициенты при е — и'/г в асимптотическом выражении для функций е'"" и Ф(х, к) совпадают. Покажем, что и при 1-э. +со решение ф(х,1) асимптотически стремится к некоторому решению уравнения Шредингера для свободной частицы. Учитывая, что при Г- +со сходящиеся волны е-'"'/г не дают вклада в асимптотику, получим Ф(х, 1)= ~ д„)' $ С($с) ф(х, й)е гачсЛс си ы — ( — ) $ йз г(й ~ йг» С (й, гэ) — ~ Я (й, и, т) — е и ю = о з~ з — — ~ — ) ~ й гИ ~ г(гэ ~ ды — Я (й, е, ы) С (й, гэ) 6 (ы — и) Х о зи зи з ~ Х вЂ” е '~ч = — ~ д„) ~ й~ юг ~ Ыгэ' — С (й, е") 6 (гэ' — и) Х о з~ е"' ~ 1 чз ~С((г)еыь мо~й=~Р(х,1).

х — '.-"' = ( — )' =~ю ) Здесь С (К) = С (А, гэ) = ~ 5 (й, е, е') С(й, е') г(е'. (й) зз силового центра без рассеяния. Эта вероятность меньше единицы за счет второго слагаемого. Интеграл от третьего слагаемого Ф'з есть вероятность рассеяния. Мы уже упоминали, что асимптотическое выражение (6) для ф(х,1) имеет правильную нормировку, поэтому Мы видим, что решение уравнения Шредингера ф(х, 1) асимптотическн стремится к решению ф(х, 1) для свободной частицы при 1- о .

Функция С()т), определяюшая конечное состояние свободного движения, получается из функции С((т), задающей начальное состояние, в результате действия оператора Я. Унитарность оператора 5 обеспечивает правильную нормировку ф(х,г), так как вследствие унитарности ~ 1 С (й)~ ' (й = 1. 5 41.

Интегральное уравнение теории рассеяния Основу большинства подходов для построения решений ф(х,(т) и амплитуды рассеяния 1'(й, п,от) составляет интегральное уравнение тр (х, (т) = е'"" — — „~ )г (у) тр (у, (т) т(у, (1) которое часто называют уравнением Липпмана — П!винтера. Проверим, что решение этого уравнения удовлетворяет уравнению (39.2) и асимптотнческому условию (39.7) ч.

Действительно, используя формулы (Л+/Р)е"*=О, (Л+йв)ем'/г= — 4вб(х), получим (А + й') тр (х, (т) = О + ~ Ь (х — у) )г (у) тр (у, )т) ду = )г (х) ф (х, (г). Асимптотическое условие проверим для случая финитного потенциала ()г(х) = О при г'- а). Имеем — „+О( —,), =~х1, )у)<а, яку вт Г!Х ) х — у ~=г т1(1 — —,+ —, =г — пу+ О ~ — ~, гт ~г/ ем~к-т~ — еиьт-ьпт1+ О ( ) /1ь Поэтому для функции ф(х,й) получим еьм ф(х )г) емч ~ е-твпт)Г(у)тр(у (г) ~1у+ О( — т) Сравнивая последнюю формулу с (39.7), мы видим, что решение интегрального уравнения имеет правильную асимптотику, ' Можно, конечно, проверить и обратное утверждение.

166 и, кроме того, получаем (Я и в)= — — ~ е ™"м7(х)~)(х, lга)с~х. ! (2) Формула (2), в которой амплитуда рассеяния выражена через решение уравнения (1), часто оказывается полезной для приближенного нахождения 1(й, п, гв). Один из приближенных методов теории рассеяния основан на использовании ряда итераций уравнения (!) $(х, (с) = ~ $" (х, к), (3) ~-о где г м~~-ь! фе (х ь) — емх фи+и (х ь) — ~ г (у) фи1 (у ь) 4з ) |х — у~ Ряд (3) называется борновским рядом, подстановка (3) в (2) дает борновский ряд для амплвтуды рассеяния. Борковский ряд для задачи рассеяния на потенциальном центре хорошо изучен. Известно, например, что он сходится при условии шах ~ ~ 'г'(у) ~ ду < 4п.

а' Известно также, что при этом условии на потенциал оператор Н не имеет дискретного спектра. Если дискретный спектр присутствует, то ряд (3) сходится не при всех й. В то же время при достаточно больших й ряд (3) сходится для весьма широкого класса потенциалов. Простейшее приближение для амплитуды рассеяния получится, если в (2) вместо ф(х, к) подставить фм~(х, к) =е'"" (з(й и ез) = ~ е-мпху (х) емехИх 1 4з к' Это приближение называется борновским приближением. Точ- ное утверждение состоит в том, что при больших А 1(й, и, ы) — )з (я, и, е) = о (1) равномерно по п и га. Интегральное уравнение используется для математического изучения задачи о рассеянии.

При подходящем выборе функционального пространства это уравнение может быть сведено к уравнению второго рода Ч- р+Аф 157 с вполне непрерывным оператором. Поэтому для уравнения (1) справедливы теоремы Фредгольма. Для широкого класса потенциалов показано, что соответствующее однородное уравнение может иметь решения лишь при мнимых значениях параметра л (й„= 1х„, я„~ О). Буквально повторяя вычисления, приведенные в начале этого параграфа, легко убедиться, что решение ф„(х) однородного уравнения удовлетворяет уравнению Шредингера ( — Л+ У (х)) ф„(х) = — я"-„ф„(х) и имеет асимптотику ф.(х)ск1(п)е-"~'/г, где 1(п) — некоторая функция, определенная на единичной сфере.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее