Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков (1156655), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Как и в одномерном случае, разумно рассмотреть решение с функцией С(к), сосредоточенной в малой окрестности точки (гр = йоев По теоРеме Римана — Лебега пРи 11)- оо ф(х,()-ьО и ~1ф(х, 1)1эг(х- О для любой конечной области 11. Поэтому функция ф(х,1) описывает инфиннтное движение частицы. Нас интересует поведение этого равнения при )1~ —; оо н г — оо н мы можем заменить ф(х, к) в формуле (1) ее асимптотиче- ским выражением ф (х, к) = — ( — ' б (и+а) — 5 (й, п, ы)) + о ( — ) .
При г-~ оо имеем з ~ ф(,1)=-( —,)' ~ й'(й~ ( С(й,ы)ф( — '"'б(п+.)— о з, ем' — — Я (й, и, ы) ) е-"ч = тр1 (х, !) + фэ (х, 1), где ф,(х, 1) и фа(х,1) соответствуют сходящейся е-и'/г н расходягцейся ем'/г волне в аснмптотике. Функция ф1(х, 1) может быть переписана в виде ф1 (х, ~) = — ~ йС (й, — и) е "е-'" 'пй (3) г ~/2й (мы распространили интегрирование на всю вещественную ось, положив С(й, и) = О прн й ( О). Вычисляя интеграл (3) методом стационарной фазы, получим ч1(х, г)=(< > )' С( — —, — п)ем+ 0( — Пт-); (4) через т, как всегда, обозначена вещественная функция, которая нас не интересует.
!ба Для того чтобы вычислить»ь»(х, !), используем формулу (39.6) для функции 8 фз(х, !) = — = ~ Мй ~ пе С (/г, е) ~б (п — е) + »~/Ы + '~ ) (й, п, е)" е'»»е !»и = — — — ~ й!(й Г1С (К п) + » + — 'С»(й)~(К и, е,)~е»е' '*". (5) Здесь мы ввели обозначение С,(й)=~С(в,е)де и, учитывая б-образность функции С(й,е), заменили функцию !(й,п,е) ее значением в точке е = ео. Интеграл в (5) вычисляется методом стационарной фазы з фз(х,»)=( з! ) (С(з!, п)+ + 4."! С~(и)((з! и е)1е'"'+О(+!»6) Наконец, учитывая б-образность функции С»(й) (она сосредоточена в окрестности точки йз), получим »рэ(х, т) =( —,)' ~С( —,, и)+ + ~,' С ( — !)»'(йе и ео)1е»и+ О( !1»1, ).
(6) Из формул (4) и (6) видно, что»Р! дает вклад в ф(х,!) только при 1- — оо, а»1»з — только прн ! — ». +со. Для плотности функции распределения координат 1»р(х,!)1з имеем 1ф(х,()1'м — ',, С(- — ',, — п)~, ! — » — оо, (у) ! ф (х, !) 1 —, ~ ( С ( о!, и) ~ — — ' (п! С, ( — ') С ( —; и) Х а2 Х1(й,п,ео)+ — „,.)С ( —,',)~ 1)(йеп,е»1'1, !- + ° . (8) Из формул (7) и (8) следует, что полученные асимптотические выражения для»1»(х, ») имеют правильную нормировку при !-ь ~-оо, (Проверка этого утверждения для случая т-».— оо тривиальна, а в случае (-~-+со следует использовать формулу (39.!2).) Вспоминая, что С(й,е) отлична от нуля только в малой окрестности точки ймое а С»(А) — в малой окрестности точки ве !зз чы видим, что при (-ь †плотность функции распределения координат )ф(х,()(а отлична от нуля в окрестности точки г = — 2йз(, п = — охз, При г-ь+оо плотность )ф(х,() )з отлична от нуля внутри тонкого сферического слоя радиуса г = 2йод Угловое распределение вероятности можно получить *, прони.
тегрировав (8) по переменной г с весом гх. Ясно, что первые два слагаемых в (8) дают вклад в это распределение только при направлениях, близких к ото. Угловое распределение по всем остальным направлениям пропорционально ()(йо,п,юо))а. Теперь мы легко можем представить, как происходит движение частицы в состоянии, описываемом функцией ф(х,(). Задолго до рассеяная (г-ь †) частица со скоростью 2но цеемр и-гйзыз ,~ ' /1~ ~~,~„у,, Рис. 14. приближается к рассеивающему центру, двигаясь по направлению вьз. После рассеяния ((- +со) частица удаляется от рассеивающего центра с той же скоростью, причем она может быть обнаружена в любой точке сферического слоя радиуса г = 2йог с вероятностным распределением по углам, зависящем от С()с) и )(яо, п,ято).
На рнс. 14 заштрихованы области, в которых велика вероятность обнаружить частицу при (-ь-~-оо, Крест-накрест заштрихованы области, в которых эта вероятность отлична от нуля и прн отсутствии рассеивающего центра. Три слагаемых в формуле (8) допускают следующее толкование. Интеграл по всему пространству от суммы первых двух слагаемых (р'1 есть вероятность того, что частица пройдет мимо " Мы не выписываем точных формул для углового расцределення вероятяости, тан кзк оно существенно зависит от вида функции С(й) и позтому не является удобной характеристикой цроцесса рассеяния (функция С(й), соответствующая конкретному зксцерименту цо рассеянию, никогда не известна), Подходящей характеристикой является сечение.
Как мы увидим, сечение оказывается нечувствительным к виду С(й), важно только, чтобы зта функция была сосредоточена в малой окрестности точки йз Физически зто требование означает, что импульс налетающей частицы должен быть почти задан. 154 Ф'~+ Кз=1. Мы видим, что решение уравнения Шредингера ф(х,1), построенное при помощи функции ф(х,й), правильно описывает физическую картину рассеяния. Это оправдывает выбор асимптотического условия для функции ф(х,к).
Отметим еще некоторые особенности решения ф(х,1). Нетрудно видеть, что при 1-ь — оо эта функция имеет такую же асимптотику, как и решение уравнения Шредингера для сво. бодной частицы ~р(х, 1) = ( — ) з ~ С (й) е' э" а" ~й. (Здесь С(к) та же функция, что и в интеграле (1).) Действительно,. расходящиеся волны еы'(» не дают вклада в асимптотику при 1-~- — оо, а коэффициенты при е — и'/г в асимптотическом выражении для функций е'"" и Ф(х, к) совпадают. Покажем, что и при 1-э. +со решение ф(х,1) асимптотически стремится к некоторому решению уравнения Шредингера для свободной частицы. Учитывая, что при Г- +со сходящиеся волны е-'"'/г не дают вклада в асимптотику, получим Ф(х, 1)= ~ д„)' $ С($с) ф(х, й)е гачсЛс си ы — ( — ) $ йз г(й ~ йг» С (й, гэ) — ~ Я (й, и, т) — е и ю = о з~ з — — ~ — ) ~ й гИ ~ г(гэ ~ ды — Я (й, е, ы) С (й, гэ) 6 (ы — и) Х о зи зи з ~ Х вЂ” е '~ч = — ~ д„) ~ й~ юг ~ Ыгэ' — С (й, е") 6 (гэ' — и) Х о з~ е"' ~ 1 чз ~С((г)еыь мо~й=~Р(х,1).
х — '.-"' = ( — )' =~ю ) Здесь С (К) = С (А, гэ) = ~ 5 (й, е, е') С(й, е') г(е'. (й) зз силового центра без рассеяния. Эта вероятность меньше единицы за счет второго слагаемого. Интеграл от третьего слагаемого Ф'з есть вероятность рассеяния. Мы уже упоминали, что асимптотическое выражение (6) для ф(х,1) имеет правильную нормировку, поэтому Мы видим, что решение уравнения Шредингера ф(х, 1) асимптотическн стремится к решению ф(х, 1) для свободной частицы при 1- о .
Функция С()т), определяюшая конечное состояние свободного движения, получается из функции С((т), задающей начальное состояние, в результате действия оператора Я. Унитарность оператора 5 обеспечивает правильную нормировку ф(х,г), так как вследствие унитарности ~ 1 С (й)~ ' (й = 1. 5 41.
Интегральное уравнение теории рассеяния Основу большинства подходов для построения решений ф(х,(т) и амплитуды рассеяния 1'(й, п,от) составляет интегральное уравнение тр (х, (т) = е'"" — — „~ )г (у) тр (у, (т) т(у, (1) которое часто называют уравнением Липпмана — П!винтера. Проверим, что решение этого уравнения удовлетворяет уравнению (39.2) и асимптотнческому условию (39.7) ч.
Действительно, используя формулы (Л+/Р)е"*=О, (Л+йв)ем'/г= — 4вб(х), получим (А + й') тр (х, (т) = О + ~ Ь (х — у) )г (у) тр (у, )т) ду = )г (х) ф (х, (г). Асимптотическое условие проверим для случая финитного потенциала ()г(х) = О при г'- а). Имеем — „+О( —,), =~х1, )у)<а, яку вт Г!Х ) х — у ~=г т1(1 — —,+ —, =г — пу+ О ~ — ~, гт ~г/ ем~к-т~ — еиьт-ьпт1+ О ( ) /1ь Поэтому для функции ф(х,й) получим еьм ф(х )г) емч ~ е-твпт)Г(у)тр(у (г) ~1у+ О( — т) Сравнивая последнюю формулу с (39.7), мы видим, что решение интегрального уравнения имеет правильную асимптотику, ' Можно, конечно, проверить и обратное утверждение.
166 и, кроме того, получаем (Я и в)= — — ~ е ™"м7(х)~)(х, lга)с~х. ! (2) Формула (2), в которой амплитуда рассеяния выражена через решение уравнения (1), часто оказывается полезной для приближенного нахождения 1(й, п, гв). Один из приближенных методов теории рассеяния основан на использовании ряда итераций уравнения (!) $(х, (с) = ~ $" (х, к), (3) ~-о где г м~~-ь! фе (х ь) — емх фи+и (х ь) — ~ г (у) фи1 (у ь) 4з ) |х — у~ Ряд (3) называется борновским рядом, подстановка (3) в (2) дает борновский ряд для амплвтуды рассеяния. Борковский ряд для задачи рассеяния на потенциальном центре хорошо изучен. Известно, например, что он сходится при условии шах ~ ~ 'г'(у) ~ ду < 4п.
а' Известно также, что при этом условии на потенциал оператор Н не имеет дискретного спектра. Если дискретный спектр присутствует, то ряд (3) сходится не при всех й. В то же время при достаточно больших й ряд (3) сходится для весьма широкого класса потенциалов. Простейшее приближение для амплитуды рассеяния получится, если в (2) вместо ф(х, к) подставить фм~(х, к) =е'"" (з(й и ез) = ~ е-мпху (х) емехИх 1 4з к' Это приближение называется борновским приближением. Точ- ное утверждение состоит в том, что при больших А 1(й, и, ы) — )з (я, и, е) = о (1) равномерно по п и га. Интегральное уравнение используется для математического изучения задачи о рассеянии.
При подходящем выборе функционального пространства это уравнение может быть сведено к уравнению второго рода Ч- р+Аф 157 с вполне непрерывным оператором. Поэтому для уравнения (1) справедливы теоремы Фредгольма. Для широкого класса потенциалов показано, что соответствующее однородное уравнение может иметь решения лишь при мнимых значениях параметра л (й„= 1х„, я„~ О). Буквально повторяя вычисления, приведенные в начале этого параграфа, легко убедиться, что решение ф„(х) однородного уравнения удовлетворяет уравнению Шредингера ( — Л+ У (х)) ф„(х) = — я"-„ф„(х) и имеет асимптотику ф.(х)ск1(п)е-"~'/г, где 1(п) — некоторая функция, определенная на единичной сфере.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
