Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков (1156655), страница 32
Текст из файла (страница 32)
е. построенное представление является собственным для всех операторов Аь ..., А„(действие этих операторов сводится к умножению на переменную). Функция ф(аь..., а„) называется волновой функцией. Чтобы выяснить ее физический смысл, построим, как в предыдущем параграфе, оператор Д такой, что А; = г";(к), (= 1, 2, ..., и, где г,, „.,„— различные вещественные числа и а, = Р; (г... ). Мы знаем, что ~(ф, ф,, )~'=~ф(ап ..., а„)~з есть вероятность в результате измерения получить численное значение наблюдаемой К, равное г,г „, . Поэтому )ф(аь..., а„) )з является вероятностью получить в результате одновременного измерения наблюдаемых Аь ..., А„значения а„..., а„.
Все эти результаты обобщаются на случай полного набора операторов Аь ..., А„с произвольным спектром. Сформулируем без доказательства теорему. 174 Теорема. Пусть дан полный набор коммутирующих операторов А„..., А„. Тогда существует такое представление пространства состояний, что вектор ф вил представляется функцией $(аь...,а„), определенной на некотором множестве 5 (а = =(аь..., а„) еи л). На множестве 6 задана мера г(п(а) и ска.
лярное произведение определяется формулой (фь фз) = ~ ф~ (а) фз (а) 4» (а). Операторы Аь ...А, в этом представлении являются операто~ рами умножения на переменную Аф(аь ..., а„)=аф(аь ..., а„), 1=1, 2, ..., и. ФУнкциЯ !ф(аь..., а„) 1х есть плотность общей фУнкции Распределения для наблюдаемых Аь ..., А„ относительно меры с(р(а). Выше мы уже имели примеры полных наборов коммутирующих операторов и соответствующих представлений пространства состояний М.
Для бесструктурной частицы полный набор образуют операторы координат Яь Ям Ь. Этому набору соответствует каординатное представление. Аналогично строится импульсное представление по полному набору Рь Р,„ Р,, Полный набор образуют также операторы Н, Е', Ем где и †операт Шредингера для частицы в центральном поле. Представление, соответствующее этому полному набору, описано в 4 3!. Для одномерной частицы оператор Шредингера Н для гармонического осциллятора сам по себе представляет полный набор.
Соответствующее представление было построено в $ 18, 6 46. Спин До сих пор мы считали, что электрон представляет собой материальную точку с массой л7 и зарядом — е, т. е. является бесструктурной частицей, пространство состояний которой М может быть реализовано, например, как пространство Ех(йз) квадратично интегрируемых функций ф(х). На основе такого представления об электроне мы рассчитали энергетические уровни атома водорода и получили результаты, которые с большой степенью точности совпадают с экспериментальными. Тем не менее существуют эКСперименты, которые показывают, что подобное описание электрона не является полным. Мы уже упоминали об опытах Штерна и Герлаха.
Эти опыты показали, что проекция на некоторое направление магнитного момента атома водорода в основном состоянии может принимать два значения. В й 34 мы построилн квантовую наблюдаемую «проекция магнитного момента» заряженной бесструктурной частицы и видели, что третья проекция магнит- ного момента пропорциональна проекции момента импульса йь Из расчета атома водорода мы знаем, что численное значение ~з для основного состояния есть нуль. Поэтому и магнитный мо- .мент атома в основном состоянии должен равняться нулю.
Это противоречие может быть объяснено, если предположить, что сам электрон имеет магнитный и механический моменты, проек- ции которых на некоторое направление могут принимать два значении. Собственный момент импульса электрона называют спином в отлпчие от момента, связанного с его движением в простран- стве, который обычно называют орбитальным моментом. Существование наблюдаемой, численные значения которой могут принимать два значения', приводит к необходимости счи- тать, что электрон может находиться в двух различных внут- ренних состояниях, независимо от состояния его движения в пространстве. Это в сво1о очередь приводит к удвоению общего числа состояний электрона, Так, каждому состоянию электрона в атоме водорода (без учета спина) соответствует два состояния, различающихся проекцией спина иа некоторое направление.
Если предположить, что не существует какого-либо дополни- тельного взаимодействия, связанного со спином, то кратность всех собственных значений энергии оказывается в два раза больше, чем для бесспиновой частицы. Если же такие взаимо- действия существуют, то вырождения, связанные со спином, могут сниматься и произойдет расщепление энергетических уровней. Опыты показывают, что такое расщепление действи- . тельно имеет место. В $32 мы описали модель атомов щелочных металлов, ос- нованную на предположении, что валептный электрон атома движется в центральном поле. Эта модель неплохо описывает расположение энергетических уровней атомов щелочных метал- лов, однако ни сама модель, ни какое-либо ее усовершенство- вание не могут объяснить наблюдаемое расщепление уровней при 1 Ф 0 на два близких, Гипотеза о спине позволяет легко объяснить это расщепление. В атомной физике существует еще множество явлений, которые находят свое объяснение на основе этой гипотезы.
Мы увидим позже, что только удвоение числа со- стояний электрона, связанное со спином, позволяет объяснить длину периодов в таблице Менделеева. Хотелось бы подчеркнуть, что гипотеза о спине электрона является гипотезой о природе конкретной элементарной час- тицы и не затрагивает общих принципов квантовой механики. Аппарат квантовой механики оказывается приспособленным для описания частицы со спином, Мы начнем с построения пространства состояний для элек- трона.
Без учета спина пространством состояний Ж в коорди- 1Та натном представлении является пространство Е.з(м'). Введение. спина требует расширения пространства состояний, так как число состояний частицы со свином больше, чем у бесспиновай частицы.
Удвоения числа состояний без изменения физического содержания теории легко добиться, заменив пространство состояний 36 = 1.'(к') па Мз = 1.'(й') ® Сз н сопоставив каждой наблюдаемой А в Ж наблюдаемую А ® ! в Таз. Поясним это подробнее. Элементами пространства состояний частицы со спином являются пары функций (1) Скалярное произведение в пространстве Жз задается формулой (Ч Ф) — ~ ф (х) ф1 (х) (х + ~ фз (х) рх (х) йх, (й) а~ а» Будем использовать для наблюдаемых А(х) ! в двз те же обозначения и названия, что и для наблюдаемых А в Ж Так возникают операторы координат Яь Яз, (,)з„операторы проекций импульса Рь Рв Рз и т.
д., действующие в Мз. Например, Ь дФ (х) (ф,(х)1 ( ( дх, 1(,ф, (х) ! ~ Ь д~(з(х) Т дх~ Каждому чистому состоянию ф(х) в Ж теперь соответствует два ортогональных состояния в Жз Ч'~ = (), Чгз = или любая их линейная комбинация. Ясно, что среднее значение любой наблюдаемой А в состоянии ф будет равняться среднему значению наблюдаемой А 81 в состояниях Ч"1 и Чтв Таким образом, введя пространство Мз н ограничиваясь рассмотрением наблюдаемых вида А 8 7, мы действительно добились удвоения числа состояний, сохранив все физические следствия теории.
В пространстве Мз, однако, наряду с наблюдаемыми А 8 ! существуют и другие наблюдаемые, например, вида !®5, где 5 — самосопряженный оператор в С'. Разумеется, в двз существуют наблюдаемые, не представимые в виде А ® ! илн 1бб5, например, суммы или произведения таких наблюдаемых. Рассмотрим наблюдаемые типа !;35. Прежде всего очевидно, что любая такая наблюдаемая коммутирует с любой наблюдаемой А З ! и не является функцией от наблюдаемых такого типа. Поэтому в пространстве Мз наблюдаемые Яь ()в 177 следует, что 5з'Р(», зз) = ззЧ'(», з,), т, е, оператор 5„так же, как и операторы Щ, !',)з, Яз, является оператором умножения на переменную. Мы видим, что построенное представление пространства состояний частицы со спином является собственным для операторов Яг, 1;)з, (1з и 5„ а этн операторы образуют полный набор коммутирующих операторов в Мз.
Теперь легко понять физический смысл функций Ч"(х,зз). В соответствии с общим толкованием (Чг(х,зз))з есть плотность функции распределения координат при условии, что третья проекция спина имеет значение зз, а ~) Ч'(х, зз))загх есть вероятность в результате измерения спина получить значение, равное зз. Наряду с наблюдаемыми 5„5„5, можно ввести оператор а 3 е з квадрата спина 5 = 5!+ 5т+ 5з. Подставляя в это выражение ! з 5! — — — о и учитывая, что о'=/, получим 5'= — /. Мы видим, 2 т= 4 что любой вектор Чген,звз является «собственным» для оператора 5з с собственным значением 3/4.
Это собственное значение можно записать в виде' з(з+ 1), где з = 1/2. Поэтому говорят„ что спин электрона равен 1/2. Построим представление группы вращений в пространстве ,явз. Напомним, что в пространстве йэ = /.з()чз) действует представление вращений д операторами йу(д) =е !гы«+де*+ма), а в пространстве С' — операторами у(д) =е ггз~е~+зыг+з'). Отображение д-+)Рз(д), где Фз(д)= Р(д)® У(й) является представлением в пространстве йэз. Представление )ьтз есть произведение представлений (б' и (/. Операторы в йэз называются сферически-симметричными, если они коммутируют со всеми операторами %'з(д). Если оператор Шредингера Н является сферически-симметричным, то операторы Муз(п) н инфиннтезимальные операторы дат д„~ — — — ! (/,! 8 /+ / З 5!), ! = 1 2, 3, ! а е являются интегралами движения. Поэтому для системы со сферически-симметричным оператором Шредингера справедлив закон сохранения полного момента импульса, проекции которого /! = /.! + 5!.
" В 4 29 мы показали, что из перестановочнык соотношений для момента импульса следует, что собственные значения оператора квадрата мо. мента имеют вид /(/+ !), где ! — целое или полуцелое число. Это число для оператора спина принято обозначать буквой м 179 Заметим, что в общем случае сферически-симметричного оператора Й нет законов сохранения орбитального и спинового моментов по отдельности. Однако, если сферпчески-симметричный оператор Шредингера в Мз коммутирует и со всеми операторами К(д)81, то он коммутирует со всеми операторами 1(3 0(д), и имеют место законы сохранении для наблюдаемых /.( и 5, по отдельности.
Примером такого оператора Шредингера является оператор Н З /, где Н вЂ” оператор Шредингера для частицы в центральном поле. 2 47. Спин системы двух электронов Пространство С', введенное в предыдущем параграфе, часто называют спиновым пространством для электрона. Для системы из двух электронов спиновым пространством является пространство С'= Свз Сз, В пространстве Сз выберем базис, состоящийизсобственныхвекторовоператора5з 0ч=~ ~ и 0 ~о1 — Ы с собственными значениями 1/2 и — 1/2 соответственно. В качестве базисных векторов в пространстве С' можно взять векторы 0(+~1/+', 0(п0'", О.'п0(м и 0'п0(в, где индексы (1) и 12) нумеруют спиновые подпространства электронов. Более удобным, однако, оказывается другой ортонормированный базис, состоящий из векторов йт, =0,п0„, (и (м йг = 0'п0'", ч/2 Удобство нового базиса состоит в том, что векторы Ю(, 1= 1, 2, 3, 4 являются собственными векторами операторов 5з=5з +5з (н (в( и 5'= 5в(+ 5вз+ 5зс.
Здесь оператор 5, есть третья проекция полного спина двух электронов *, аналогичный смысл имеют операторы 5( и 5з, Оператор 5з есть квадрат полного спина. ! 1 с В более точной записи Яа — о 9 1+ — 1(9 о,. Операторы о (9! и о з й l 1®о( мы обозначаем в дальнейшем через о н а' ' соответственно, (и э( ! Для того чтобы проверить сформулированное утверждение относительно векторов (Рь 1 = 1, 2, 3, 4, найдем результат действия операторов оь оз, оз на базисные векторы У~ н У .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
