Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков (1156655), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Это решение в областях ! — П! имеет внд м» ! Ае-оо» РР В оо» Ш. лоан»» 1 па-со» (2) (3) например, коэффициента отражения !А(й) !о от й, должны использовать частицы, находящиеся в состоянии с возможно меньшей дисперсией я (состояний с' пулевой дисперсией не существует). При конкретных расчетах коэффициентов отражения н прохождения !А(я)(о и !В(я) ~о нет необходимости решать нестацнонарное уравнение Шредингера, достаточно найти решение ф1(я,х). Заметим, что решение фо(х, !), которое можно построить по функции оро((о,х), имеет такой же смысл, только частица приближается к барьеру справа. Вспомним свойства матрицы рассеяния В. Равенство В = В приводит к равенству вероятностей прохождения через барьер в противоположных направлениях и, как можно показать, является следствием инвариантности уравнения Шредингера относительно обращения времени.
Равенства КоэФфициенты А, В, т, п находятся из условий непрерывности функции тр1 и ее производной в точках — п и а е-ма+ Аеыв те-гав+ пеева й (е-'"' — Ае" ь') = а (те "' — пе"') те'""+ пе-" = Вена а (тесов пе- ва) — ЬВесеа Выпишем выражение для коэффициента В В ((а+ й) м(ь-о1а (о й) выеев1а1 4пй 4ой Нетрудно проверить, что В-ьО при выполнении любого из условий: !) /г О, 2) $'~ ~, 3) ~, пз < )гю Наоборот, В-ь1 при выполнении одного из условий: 4) е-ьоп, б) )гв-ьО, 6) а-ьО, Мы видим, что в предельных случаях 1) — 5) результаты, полученные на основе квантовой механики, совпадают с классиче- скими'. На рис.
13 приведен график (в(х))' функции )В(л))я. Из графика видно, 1 что при некоторых конечных значениях й вероятность прохождения ~В)Я 1. Интересно отметить, что уравнения (1) вместе с условиями (2) я (3) описывают прохождение световых волн через прозрачные пластинки. При этом ) В)Я и 1А)Я пропорциональны интенсивностям проходящей Рис. 13. и отраженной волн. В случае ~ В ~ Я = = 1, (А1Я = О отраженная волна от- Это явление используется для просветления сутствует оптики. 9 39.
Рассеяние на потенциальном центре Для задачи о рассеянии на потенциальном центре оператор Шредингера имеет вид Н = — сь + )г (х). (1) (Мы снова считаем, что т = 1/2, й = 1). В дальнейшем мы обычно будем считать, что потенциал )г(х) — финитная функция ь Согласно классической механике частица с вероятностью единица про. ходит через барьер при йв ) 'гв и с вероятностью единица отражается при а'~ ив ()г(х) = 0 при ~х(- а).
Изложение построим по той же схеме, что н в одномерном случае, т. е. сначала рассмотрим некоторые решения стационарного уравнения Шредингера, а затем выясним их физический смысл с помощью нестационарного уравнения Шредингера. Наша первая задача — сформулировать асимптотическое (при г -ь со) условие на решение уравнения — Ьф(х) -(- (г (х) ф(х) = йеф(х), которое соответствует физической картине рассеяния н является аналогом условий (36.4) для одномерной задачи. Естественно ожидать, что одно слагаемое асимптотическн будет соответствовать частице, налетающей на рассеивающий центр по определенному направлению, а второе — соответствовать рассеянной частице, которая может иметь различные направления движения после рассеяния н удаляется от центра.
Аналогами функ. цнй е'е' и е-"" в трехмерном случае являются функции есв/г и е-"'/г. Поэтому разумно предположить, что частице до и после рассеяния в асимптотике соответствуют слагаемые е-с"г евг — 6 (п+ в) и — Я (й, п, в). Мы используем следующие обозначения: й — импульс налетающей частицы, в = К//с, п = = х/г, 6(п — пе) — 6-функция на единичной сфере, определяемая равенством $ / (и) 6 (п — пе) с/п = / (пе), с/п = зш 0 сЮ сйр, Я(/с,п,в) — некоторая функция, которая, как будет показано, содержит всю информацию о процессе рассеяния и которая должна быть найдена при решении задачи.
Мы увидим в дальнейшем, что функция 5(/с, и, в) является ядром некоторого унитарного оператора 5, который называется оператором рассеяния. Мы приходим к следующей постановке задачи о рассеянии на силовом центре: требуется найти решение уравнения — Лф(х, й) + 1г(х) ф(х, )с) =/с'сг(х, й), (2) которое при г-е.ао имеет асимптотику е-с"г есв ! сг(х, )с)= —,6(п+в) — — Я(/е, п, в)+о ( — ). (3) Обоснование такой постановки задачи может быть дано только при помощи нестационарного формализлса теории рассеяния, это будет сделано в следующем параграфе.
Вопрос о существовании решения уравнения (2) с условием (3) мы также обсудим ниже. На этот вопрос, однако, просто ответить для случая Р(х) = О. Покажем, что функция ф (х, к) = —, е'"" = — е'"'"", ь ь 0 я,~~ я.~~ которая, очевидно, является решением (2) при Р(х)= О, удов. летворяет и условию (3), и найдем вид функции 5(А, п,е2) для этого случая. Мы ищем асимптотику функции 2Р2(х,(2) в классе обобщенных функций, поэтому должны найти асимптотическое выраже* ние при г -ь оо интеграла Р= ~ Г(п) ф,(гп, йе2) 22п, где ((п) — тладкаЯ фУнкциЯ, использУЯ Явный вид 2Ре(х, ь) и вводя сферическую систему координат, полярная ось которой направлена по вектору «1, имеем 2 = — „, ~ 2йр ~ ) (соз О, ~р) е1"'ем з з(п О21 О = ь о о 2п 1 = — „,. ~ Йр ~ 2(Ч1(Ч, ф)е1"ч.
о — ! Интегрируя по частям, получим 2л ) = —,2 1 2йР ~ ) (ч, Р) е"'" ~ о —,2, 1 дФ й 1 ыч рч (ч, р)е'"'". о -1 Еще раз проинтегрировав по частям, легко убедиться, что вто. рос слагаемое имеет порядок О(1/2е), поэтому 1 = — — „, ~ 221Р (ем'~ (е1) — е ы7) ( — е2)) + О ( —,) = о = — '„"1( — ) — — ',' И )+О®. Таким образом, мы показали, что 2ре (х, 12) = — б (п + е2) — — 6 (п — «2) + О ( —,), (4) Сравнивая (4) с (3), найдем функцию Я для свободной час.
тицы 89 ()2, и, е2) = б (п — 0)). Нз Используя (4), можно переписать асимптотическое условие (3) в форме ф (х, (4) = — (ем'ы "'+ ) (й, и, в) — ) + о ( — ), (5) где функция Ця,п,4в) связана с функцией 5(н,п,гв) соотношением Я (й, и, «1) = б (и — ) + —, ) (я, и, гв). (6) Функция 1(е, п,4в) называется амплитудой рассеяния. Очевидно, что 1(я, и, гз) = О при )г(х) = О. Мы увидим, что через эту функцию наиболее просто выражается сечение рассеяния.
Вместо асимптотического условия (5) часто используют ф(х (г) — е1ЙГ""+ (((4 и ы) — +о ( — ) (у) которое приводит к более удобной нормировке функции ф(х,(4). Посмотрим теперь, какими свойствами обладает функция 5(й,п,4в). Для изучения этих свойств удобным оказывается следующее вспомогательное утверждение. Пусть функции ф|(х) и фз(х) удовлетворяют уравнению (2) н асимптотическим условиям при г-+со, которые можно один раз дифференцировать по г ф1(х)=А1(п) — +В~(п) — ', +о ~ — „), 4Рз(х)= А,(п) — '+ Вз(п) — '+о ( — ). Тогда справедливо равенство ~ А1(п)Вз(п) пи= ~ Аз(п) В,(п) 4(п.
3» 5 Это утверждение легко доказывается при помощи формулы Грина ~ мф — мф ) ~ = ~ (,ф + — ф +) ~~. (~) а до В качестве области интегрирования (4 следует выбрать шар радиуса )г и перейти к пределу при Я-~-оо. Положим Иг ему 1 ф (х) = ф (х, (4) = — 6 (и + 4в) — — 3 (Й, и, гв) + о ( †), „, йг ему 1 ~К (х) = ф (х, (4') = — Ь (и + 4в') — — 8 (й, и, «т') + о (-,), фз(х)=$(х,(4') = — — Б(е, и',4в')+ — „б(п+ ге')+ о ~ — ), 149 где к'= Аа'. Применяя формулу (8) к функциям ф~ и фь по- лучим 5 (а, — а, а') = 5 (л, — а", а), Учитывая (1О), из (11) следует, что справедливо равенство 55" = (. Из последних двух соотношений следует, что оператор 5 яв- ляется унитарным, Мы видим, что оператор 5 для задачи рассеяния на потен- циальном центре обладает теми же свойствами, что и 5-мат- рица для одномерной задачи рассеяния.
Из унитарности опе- ратора 5 вытекает важное соотношение ~ ~1(й, и, а))е Ни= — "1шг(А, а, а), которое носит название оптической теоремы. Действительно, используя (6) и (11), получим КЕб("-"')- Ф~( " "')И ( -")+Ф( ° -)1"= е, )+2а~~(' ' ) ~(' ' )~+ а2 + —,"., ~ 1(Ки,а,) 1(й . ~')(.=б(~ — ). Полагая а=а', мы сразу приходим к формуле (12). (1з) 1зо нли, заменяя а на — а, 5 (Й, а, а') = 5 (Й, — а', — а). (10) Эта формула является аналогом равенства В = 0 для одно- мерной задачи рассеяния и выражает тот факт, что значения функции 5 для прямого (а'- а) и обращенного во времени ( — а->.— а') процессов столкновений совпадают.
Можно пока- зать, что это свойство (так же, как и симметрия 5-матрицы в одномерном случае) является следствием инвариантности уравнения Шредингера относительно обращения времени. Далее, применяя формулу (8) к функциям ф, и фм получим ~ 5 (Й, п, а') 5 (А, и, а) с(и = 6 (а — а'). (11) еа Если рассматривать функцию 5(й,и,а) как ядро интеграль- ного оператора в ь'(5з) 5 ф (а) = ~ 5 (Ф, а, а') ф (а') да', е~ то формула (11) может быть переписана в виде 5"5 =Е вида ф (х, 1) = ( — ) ' ~ С (1с) ф (х, Фс) е-'ва сй. Если функция С(к) удовлетворяет условию ~1С(1с) ~'с(к = 1, то ф(х, 1) вследствие (39.13) имеет правильную нормировку ~1ф(х, 1)1'лх=1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
