Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков (1156655), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Это отношение получается тоже равным 1,000272 (для некоторых линий возможно расхождение в последнем знаке). Вообще теоретически вычисленные по формуле (9) и экспериментальные. значения частот совпадают с точностью в 5 значащих цифр.. Имеющиеся расхождения, однако, могут быть. устранены, если. учесть релятивистские поправки.
Наряду с переходами между стационарными состояниями дискретного спектра возможны переходы из дискретного спектра в непрерывный и обратные переходы; физически они соответ- ствуют процессам ионизации и рекомбинации (захвата электрона ядром), В этих случаях наблюдается непрерывный спектр поглощения или излучения *. Спектральные линии водорода на спектрограммах группируются в серии, соответствующие определенному значению п в формуле (9) и нт = и+1, и+2, ... Нескольким первым сериям присвоены имена: серия Лаймана (и = 1), серия Баль- мера (п = 2)„серия Пашена (и = 3). Линии серий Лаймана лежат в ультрафиолетовой части спектра, первые четыре линии серии Бальмера в видимой части спектра, линии серии Пашена и последующих серий в инфракрасной части спектра.
К концу каждой серии линии сгущаются к так называемой границе серии, за которой начинается непрерывный спектр. На рис. 8 горизонтальными линиями изображены энергетические уровни атома водорода, а вертикальными отрезками— возможные переходы между ними. Заштрихована область непрерывного спектра. На рис.
9 схематично изображен вид спектральной серии, пунктиром изображена граница серии. Важными характеристиками атомов являются вероятности переходов между состояниями. От вероятностей переходов зависят интенсивности спектральных линий. Переходы бывают спонтанные (самопроизвольные) с верхнего уровня на нижний с излучением кванта, вынужденные (под действием светового потока) и, наконец, переходы за счет столкновений с заряженными частицами.
Формулы для вычисления вероятностей спонтанных и вынужденных переходов дает квантовая электродинамика, переходы за счет столкновений изучаются в квантовой теории рассеяния. Для вычисления всех этих характеристик необходимо знание волновых функций. Кроме того, знание волновых функций дает возможность 1 судить о размерах атомов, распределении заряда в атоме и даже о форме атома. Напо- Рис.
9. мним, что ~зр(х) ~а есть плотность функции распределения координат. Под размером атома понимают размер той области, в которой ~зР(х))а не является пренебрежимо малой. Ясно, что размер атома — понятие условное. Рассмотрим для примера основное состояние атома водорода (в = 1, 1 = О, лт = 0), Учитывая, что У,о(п) = сопи(, м~ — — 1, по формуле (7) получим фнв (х) = Се-г.
* Слово «спектр» здесь используется в двух смыслах: спектр оператора н допустимые значения частоты электромагнитного излучении. Из условия нормировки находим постоянную С: ') ! ф 1о лк = ~ С 1о 4л ~ е о'го о(г = ~ С 1о л = 1, я' о откуда С= 1/~/л и ф !оо (Х) = = е '. ! .~/л Легко понять, что р (г) = 4л ~ фщо (г) ~' го = 4е-"г" есть плотность функции распределения координаты г. График этой функции изображен иа рис. 10.
Максимум р(г) достигается при го = 1, г, е. го = 1 — наиболее вероятное расстояние электрона от ядра. В обычных единицах го = = йошпе' = 0,529.10-о см. Интересно отметить, что это число совпадает с радиусом первой боровской орбиты. Мы видим, что размеры атома водорода имеют порядок 10-о см. Под плотностью заряда в атоме понимают величину — е1ф(х) !о, т. е. считают, что электрон за счет быстрого движения около ядра как бы размывается по объему атома, образуя электронное облако.
Наконец, вид функции (7) показывает, что при 1 ~ 0 плотность распределения координат не является сферически симметричной. Зависимость этой плотности от углов позволяет говорить о форме атома в различных состояниях. В этом же параграфе мы рассмотрим простую модель атомов щелочных металлов, основанную на предположении, что их оптические свойства объясняются движением валентного электрона в некотором центральном поле Р(г). Потенциал )г(г) можно записать в виде суммы двух слагаемых )г (г) = — †, + )г! (г), г где первое слагаемое описывает взаимодействие электрона с ядром, а К!(г) может быть истолкован как потенциал взаимодействия электрона с распределенным по объему атома отрицательным зарядом остальных электронов. Разумность такой модели именно для атомов щелочных металлов станет понятной только после того, как мы познакомимся со свойствэмп слож- ных атомов и таблицей Менделеева, О потенциале )г(г) мы знаем очень мало, но все же можно утверждать, что Несмотря на то, что этот потенциал обладает правильным поведением на бесконечности, он имеет иное, чем «истинный» потенциал поведение в нуле.
В то же время модельный потенциал правильно отражает тот факт, что при приближении к ядру поле становится более сильным, чем кулоновское — 1/г. Мы предположим, что параметр и мал (в каком смысле, укажем ниже). Численные значения этого параметра для разных атомов щелочных металлов разумнее всего выбирать из сравнения результатов расчетов энергетических уровней с найденными экспериментально. Радиальное уравнение для такого потенциала решается очень просто.
Действительно, оно имеет вид / + — /, + —,, 1, — —,11 — мз/ = О. 2 2а 1(1+ 1) г ~ г' г' (!0) Введем число 1', которое удовлетворяет уравнению 1' (1'+ 1) + 2а — 1(1 + 1) = О и условию !нп 1'=1, откуда получим 1'= — 1/2+ т/(1+!/2)' — 2а. а.+о Уравнение (10) может быть переписано в виде /1+-/1- а /1- Х/ =О 2 Г (1'+ 1) 1 г т.
е. формально совпадает с уравнением для кулоновского поля. Все это может иметь смысл только при условии, что 1(1-~- !)+.1/4 — 2се' О. В противном случае мы получим для Г комплексные значения ', 1 )г(г) си — — при г-+ оо г н (Г(г) ви — — при г- О. г г Первое условие следует из того очевидного факта, что при удалении валентного электрона на бесконечность он оказывается в поле положительного однозарядного иона. Второе условие вытекает нз непрерывности потенциала объемного распределения зарядов )г1(г). В качестве модельного потенциала мы выберем Р (г) = — — — —,, а > О. 1 а (9) г Г™ а Можно показать, что при 2и — !(1+!) ) 1/4 радиальный оператор Шредингера 1 Ла 1(1+ 1) — 2а 1 Н = — — — + 2 Игз 2г' г становнтсн неограниченным снизу.
127 Предположим, что и ~ 1/8, тогда условие 1(1+ 1)+ 1/4— — 2а 0 выполняется при всех 1. Обычно 1' записывают с точностью до членов порядка аз, т. е. с а 1 ж/ — — =1 — аь г+ 1/2 Тогда используя формулу (5) при Я = 1, получим 1 2 (э+1- а, + ~)' нли, вводя главное квантовое число и = й + 1 + 1, 1 2(и — а)~ ' Из формулы (!1) видно, что для потенциала (9) снимается кулоновское вырождение по 1. Уровни энергии Е„~ лежат глубже, чем уровни атома водорода Е„, и с ростом и уровни Е„~ и Е„сближаются. Формула (11) неплохо описывает уровни энергии атомов щелочных металлов прн соответствующем значении а. Эта формула была впервые получена Ридбергом на основе анализа экспериментальных данных. Заметим, что для атомов щелочнйх металлов главное квантовое число, как и для водорода, принимает целые значения, но минимальное значение и равно не 1, а 2 для 1.1, 3 для Ха, ..., так как состояния с меньшим главным квантовым числом заняты электронами внутренних оболочек атома (это утверждение станет понятным после того, как мы познакомимся со строением сложных атомов).
В заключение заметим, что рассмотренная модель иллюстрирует полуэмпирическнй подход к решению сложных квантовомеханических задач. Такой подход состоит в следующем: вместо того чтобы решать задачу в точной постановке, нз физических соображений строится упрощенная модель системы. Оператор Шредингера для модельной задачи обычно зависит от параметров, найти которые теоретически так же трудно, как и решить задачу во всем объеме. Поэтому параметры находятся из сравнения результатов расчетов модельной задачи с экспериментальными данными. $33. Теория возмущений В квантовой механике существует сравнительно мало интересных задач, которые допускают построение точных решений, Поэтому важную роль играют приближенные методы.
Часто приближенные теории оказываются более ценными для понимания физических явлений, чем точные численные решения соответствующих уравнений. Основные приближенные методы квантовой механики основаны на теории возмущений и вариационном принципе. 12З (4) (5) н приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, по. лучим систему уравнений А(р(о> Л(о)ф(о> Аф(() + Сф(о) Л(о)фп) + Лщф(о) А((>(а) + С(р(и-о — Л(о)(р(л) + Л(пф(а-1) + + Л(о)((>(о) которую нам удобнее переписать следующим образом; А()>(о> Л(о>()>(о) (А — Л() р' =(Л(> — С) Р, (А Л(о)) (р(о) — (Ло> С) (р(п + Л(о)((>(о) (А Л(о>).ф(о) (Л(п С) ф( -о + + Л(о),ь(о> 3,1к. 330 !зв Опишем постановку задачи в теории возмущений. Пусть даи самосопряженный оператор А, спектр которого известен.
Требуется найти спектр оператора В = А + С при условии, что самосопряжеииый оператор С в каком-то смысле мал. Мы не уточняем, что подразумевается под малостью оператора С, так как будет рассматриваться только формальная схема теории возмущений. Подведение строгой базы под такую схему требует решения ряда сложных математических задач. Мы разберем случай, когда спектр оператора А чисто точечный н начнем с задачи о возмущении простого собственного значения. Введем однопараметрическое семейство операторов А, = А + еС. (1) Ясно, что Ао = А и А) — — В. Нам известны собственные векторы ор, и собственные значения Л, оператора А, которые удовлетворяют уравнению А((>„= Л„ф„. (2) Мы предполагаем, что спектр оператора А простой, т. е.
каждому Л„соответствует один собственный вектор ф,. Напишем уравнение для собственных векторов оператора А, ' ~е((>е Лофв (3) Основное предположение, которое мы сделаем, состоит в том, что фо и Л, аналитически зависят от з, т. е. они могут быть представлейы в виде Л(о) + зйп> ( зоЛ(о> + ((> — ф(о>+ з((>((>+ офщ Подставляя (4) и (5) в уравнение (3) (А+ еС) (((>(о) + з((>(»+ ...) =(Лов + еЛп>+ ...) ((р(о) + з((>о) + ...) сразу получаем, что или подробнее Лп) (Сф(0) ф(о)) Л(п=(сф„, ф„). (9) Формула (9) имеет очень простое физическое толкование. Поправка первого порядка к собственному значени)о Л„совпадает со средним значением возмущения С в невозмущенном со. стоянии т(),. Посмотрим, что дает второе уравнение (6) для вектора т)(').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
