Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков (1156655), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Действительно, инвариантность некоторого подпространства относительно операторов Ф'(а) эквивалентна инвариантности относительно действия операторов Мз, Мз, Мз. Из формул (2) видно, что такими инвариантными подпростран- ствами являются подпространства однородных многочленов сте- пени а = и! + лз. Эти подпространства имеют размерность а + 1, а = О, 1, 2, .... Нам осталось показать, что такие под- пространства не содержат инвариантных подпространств мень- шей размерности.
Для этого введем операторы д М+ — — М! + змз — ч —, д$ ' д М =М! — зМ = — $— дч и посмотрим, как они действуют на базисные векторы ~„„, д з Ч ~ 1 з ~ ! \ 1 з ~ + М+1„„= — з) — = — гз! дй '4лзазз! З!и,!пз! 1з;! з,+! ч — и! (аз+ 1) З/(л~ — 1)!(аз+ 1)! , м,1„„- — Ят~ + и !..
(б) "-!~,— — ~% + З%7..ь. Очевидно, что М,1,„=О, М 1„,=О. Из формул (б) ясно, что подпространства однородных много- членов не содержат инвариантных подпространств меньшей раз. мерности. Покажем, что базисные векторы являются собственными векторами оператора Мз и оператораМ = Мз+ Мз+ Мз Имеем $" ч" ) ч („) ч дй дч ) ~п,!щ! )/и,!и~! 1 ~)"Р 2 ( ! з))"Р» Для оператора М' справедлива формула М = М+М- + Мз — Мз. 108 Действительно, М,М = (М, + 1М2) (М, — 1М2) = М(+ М22 — 1(М(М2 — М2М() = 2 2 =М вЂ” Мз+ М2 Далее имеем М /.л, = (М,М + М' ,—.М2) /„„= ( 2 — (1( ->(( М~Ж+Л -2 —,(,— ~(*-(- —,(„— ~()(„„ М /и~ли ~4 (и(+ п2) + 2 (22(+ п2)/ /((чг (7) Удобно переписать все полученные соотношения, заменив значки п(, п2 на /, п2 по формулам 1 3 1=0,—,1,—, ..., '2' ' 2' п(= — /, — 1+1, ...,1, 1= п(+ л2 1 2 ' 2 , П2= — — (П, — П2), п( —— 1 — п2, п2=1+ и(, или Тогда формулы (5) †(7) принимают вид М+/1 =- /1.ив+1~ М (,.= — 27:~1П((.(- ((, МЭ/12в 'и/(и~~ М'/( = / (/ + 1) /2 где через /1 обозначена /,„ = /1 „,2+ .
Новые значки / и (и удобны тем, что каждому индексу 1 соответствует представление размерности 2/+ 1, 1 = О, 1/2, 1, 312, .... Такое представление обычно обозначают через В(, а / называют индексом представления. Формулы (8) — (!О) позволяют легко построить явный вид матриц М(, М„М, для каждого Рь Таким образом, мы построили конечномерные пред- ставления 02 группы вращений всех размерностей. (8) (9) (10) (11) 9 29.
Единственность представлений В2 Докажем, что построеннь(е неприводимые представления /)2 единственны (с точностью до зквнвалентиостн), При доказательстве мы увидим, в какой степени спектр операторов момента импульса определяется нх перестановочными соотношениями и как произвольное представление группы вращений раскладывается на неприводимые. Пусть в и-мерном пространстве Ю определено некоторое не- приводимое представление, через — 1/(, — 1/2, — 1/2 обозначим инфннитезимальные операторы этого представления. Они удовлетворяют перестановочным соотношениям (1» Уа) =~'Уз, (Ум Уз) = гУ» (Уз И=~У«. Эквивалентность этого представления некоторому представлению О, будет доказана, если мы покажем, что при подходящем выборе базиса в д" матрицы Уа, А = 1, 2, 3 совпадают с матрицами М*. Прежде всего заметим, что представление группы вращений одновременно является и представлением ее подгруппы, состоящей из вращений вокруг оси ха на угол и.
Эта подгруппа абелева, поэтому все ее неприводимые представления одномерны и имеют вид е " (относительно чисел апа мы не будем делать никаких предположений, допуская возможность «многозначных» представлений). Это значит, что прн подходящем выборе базиса в Ю матрица вращения вокруг оси хз имеет вид е- ьа1а О е '"'". О е ма= О О...
е ьааа ! Таким образом, в 8' существует базис из собственных векторов оператора Уз, 1,е,„= те„. (1) Введем операторы У = 11 ~ (Ув Легко проверить справед. ливость следующих формул: [12, Уэ)= О, (Ум У )=~1+, у'= 1~1++ у',~ у,. (3) (4) (5) 110 Далее, из неприводимости представления следует, что оператор уУ=11+ Д+ уаь коммутирующий со всеми Ум й =- 1, 2, 3, должен быть кратен единичному в пространстве «Т.
Это возможно, если все базисные векторы е являются собственными векторами оператора Уз, соответствующими одному и тому же собственному значению, которое мы обозначим через у()+ 1) (эта запись пока просто обозначение). Базисные векторы будем обозначать через еу, узеьа = у (у + 1) е~,а. (2) Найдем границу возможных значений !т) при заданном собственном значении 1(1+1). Для этого, умножая на е; равенство И+ Йегм =(1 И+ 1) — и) е~ получим Эта формула позволяет по произвольному орту е; строить новые орты еь„ь удовлетворяющие всем требованиям. Знак минус перед корнем написан из соображений удобства.
Мы пока еще не выяснили, какие значения могут принимать числа Х и т. Будем исходить из равенств У ег,„— — О, У~е! — — О. (8) Умножая эти равенства на Х+ и на У н используя (5), получим е (У' — Р+ Уз)е! = О, (У' — У,' — Хз) ег 1 (Х + 1) — т', + т, = О, 1(1+!) — и,' — т, = О. (9) Из (9) сразу получаем (т!+та) (т! — тз —.1) = О. Нам го- или 111 ((У!+Уз) е!, е, ) =1(1+1) — т' Левая часть неотрицательна, поэтому !т!( 111(1+1) (8) Из соотношений (3) и (4) следует, что У'У~е; =1(Х+ !)У~е1,„,ХзУ+ег — — (т:Ь1)У„е, . Поэтому векторы У е~ (если они ненулевые) являются собственными векторами оператора Хэ с собственным значением' 1(1+1) и оператора Хз с собственными значениями т~1.
Таким образом по произвольному базисному элементу ет, может быть построена цепочка собственных векторов с одним и тем же собственным значением оператора Уз и с собственными значениями ть т~+ 1, ..., тэ оператора Уз. Через т~ и т2 мы обозначили наименьшее и наибольшее собственные значения соответственно. Существование т~ и тр следует из неравенства (6), цепочка собственных векторов должна обрываться в обе стороны. Вычислим норму вектора У е,, учитывая, что !)е; (| = 1 и что Уэ=Ут, )! у е; )!'=(Х~у~е~„„е,„~) = ((У вЂ” УзтУз) еп е!т) = 1(1+ 1) — т (т ~ 1) = 0 ~ т) (! ~ и + 1) Поэтому мы можем написать У е „= — хХ(1 +- т)(! ~ т+!)е (7) дится одно решение этого уравнения тз = — тз, так как тз '-- ~ ть Далее тз — т| — — 2тз — число целое илн нуль.
Поэтому тз может принимать значения О, 1/2, 1, 3/2, ... Наконец, из (9) мы видим, что в качестве числа 1 можно взЯть тз. Мы получили, что собственные значения оператора Уз имеют внд /(1+ 1), где 1 = О, 1/2, 1, 3/2„..., а собсгвенные числа т оператора Уз при заданном / пробегают (2/+ 1) значение: — /, — /+ 1, ..., / — 1, /, Числа / и т одновременно являются либо целыми, либо полуцелыми. Еще раз подчеркнем, что эти свойства спектра операторов уз и у мы нашли, используя только перестановочные соотношения. Для завершения доказательства нам осталось убедиться в том, что построенные собственные векторы образуют базис в м .
Это следует из неприводимости представления. Действительно, подпространство Ю', натянутое на векторы е;, т = †/, †/ + 1, ..., /, будет инвариантным относительно операторов Ум Уг = 1, 2, 3, а потому должно совпадать с д', и размерность представления и = 2/+ 1. Формулы (1) н (?) показывают, что матрицы Уз при таком выборе базиса совпадают с матрицами Мь Заметим, что мы заодно постропли способ разложения произвольного представления на неприводимые.
Пусть в некотором пространстве д' действует представление группы вращений — /Уз и его инфинитезимальные операторы. Для того чтобы выделить инвариантные подпространства, мы должны найти общие решения уравнений Узе1„— — 1(/+ 1) е~, Узе~ — — те1 . (10) Векторы е~„при заданном 1 и т = — 1, — /+ 1, ..., 1 образуют базис неприводимого представления размерами 2/+ 1.
Задача о нахождении общих решений уравнений (10) проще всего решается следующим образом, Сначала находится вектор еп, удовлетворяющий уравнениям Узеп — — О, Узеп — — /еп а затем для построения векторов е; используется формула У е; = — т/(/+ т) (/ — т+ 1) еь которая позволяет по ем последовательно найти зсе векторы ест.
й 30. Представления группы вращений в пространстве 1.з(Б'), Сферические функции В $25 мы построили представление группы вращений в пространстве состояний 3й = 1.з(кз) операторами В'(а) = ехр [ — 1(/.1а1 + У.заз + У.зазЦ 1!2 где (,ь Ем Е,— операторы момента импульса. Напомним, что эти операторы действуют только на угловые переменные функции ф(х)~Ьз(К'), поэтому пространство Ез(К') удобно рассматривать как х.з(й~)® П(5з). Здесь (.з(й+) — пространство квадратично интегрируемых функций )(г) с весом гз на К', а ьп(5') — пространство функций ф(п) = ф(0,ф), квадратично интегрируемых на единичной сфере. Скалярные произведения в этих пространствах вводятся формулами ()! )2) = ~ г ~~ (г) )з (Г) ЙГ, (то фз) — ~ ф1 (и) фз (п) Й~п, 0 з1 где пп = з(п 0 ЫО сэр — элемент поверхности единичной сферы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
