Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков (1156655), страница 18
Текст из файла (страница 18)
4 23. Момент импульса В квантовой механике операторы проекций момента импульса определяются формулами г-~ =()зРэ ЯзРм Ег = Язр~ — Я1Рз (1) 1 а=Я,Р, — Я,Рь Введем еще одну наблюдаемую, которая называется квадратом момента импульса ~ =~1+И+Аз (2) Найдем перестановочные соотношения для операторов Е~, 1.г, Ьз н Ы Используя соотношения Гейзеиберга Яь Р~) = = (бга и свойства коммутаторов, получим [~.о 1.й = Т Р вЂ” ЯР, Я Р - ФР~) = = ЯэР1 (Рм Яз! + Я~ Рз ((1з Рз) = (Я1Рз — ЯаР1) = 1Лз.
(3) Таким образом, операторы Еь Ам Ьз удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям: !(.ь ~-з) =~~з~ ((м г-з) =(~-ь $Х 3 Ь11 Ксз Нетрудно проверить, что все операторы Е» ЕЗ, Ез коммутнруют с ЕЗ РФ ЕЧ=О 1=1 2 3. (4) Действительно, !.Е1, Е а = !,Е1, Е1+ Е2+ Е31= !.Е1, Е2а + Ы1, ЕЗа =(Е1, ЕЗ)ЕЗ+ЕЗ(Е1, ЕЗ)+(Е1, Ез)Ез+Ез(Е» Ез)= = !Е Е + и. Š— и ( — !ЕЗЕЗ = О. При вычислении использовались свойства коммутаторов и фор. мулы (3). Из перестановочных соотношений (3) и (4) следует, что проекции момента импульса не являются одновременно измеримыми величинами.
Одновременно измерены могут быть квадрат момента импульса и одна из его проекций. Выпишем операторы проекций момента импульса в координатном представлении д д ! Е! ! (Хз Х2 дха дха 3 ' д д Е2 = ! ~х! — — ХЗ вЂ” ) а дха дха 3 ' Ез=а(хз а — х! а ) ° д д Нетрудно убедиться, что операторы Е1, Ем Ез действуют только на угловые переменные функции ар(х). Действительно, если функция ф зависит только от г, то Для дальнейшего полезной окажется формула ! д(,,д) 1 (5) которую мы тоже проверим в декартовых координатах. Для этого вычислим оператор — ЕЗ, используя обозначения х, у, х для проекций х: — Ез= (х — — у — ) + (у — — — ) + ( — — — ) д д 2 д д 2 д д 2 , г а* д' д' х , д' , а , а* да да да д д д — 2ху — — 2ух — — 2хх — — 2х — — 2у — — 2г —.
дх ду дудх дхдх дх ду дх' Езт (г) ! (ХЗ Х1 д ) ф (Х! + ХЗ+ Х" а = !ф (х, + ХЗ + хз) (ХЗ ° 2х, — х, ° 2хз) = О. Учитывая соотношения д д д д г — =х — +у — +г —, дг дх ду дх ' г — ) =х — +у — +г — +х — +у — +а — + ( )= д Хз х д2 з дз з да д д д дг ) дхз ду~ дх~ дх ду дх дй д' д' + 2ху — + 2уг + 2гх —, дх ду ду дх дхдх ' получим — йз = г'А — (г — ) — г.— = г'Ь вЂ” — 1 гх — ) . дг,) "дг дг ~ дг .) ' ф 24. Группа вращений Обозначим через б совокупность всех вращений пространства.
Кз вокруг начала координат. Каждое вращение д ен 6 порождает линейное преобразование трехмерного пространства х'=ух, где теперь мы буквой д обозначили матрицу )~ум|), которая называется матрицей вращения. Хорошо известно, что у является ортогональной матрицей н бе1 д = 1.
Верно и обратное; каждой такой матрице соответствует определенное вращение. Поэтому в дальнейшем мы будем отождествлять вращения и их матрицы. Группа вещественных ортогональных матриц третьего порядка с определителем, равным единице, называется группой 50(3) или группой вращений. Существует несколько способов параметризации вращений. Так, в теоретической механике часто используются углы Эйлера. Для наших целей наиболее удобво задавать вращение вектором а = па () и ~ = 1), который направлен по оси вращения п и длина которого а равна углу поворота, При этом считается, что направление вращения и направление вектора а образуют правый винт, и угол поворота а не превосходит и (О ( и, ( и).
Если откладывать векторы а от одной точки, то их концы будут заполнять шар радиуса и. Различным внутренним точкам этого шара будут соответствовать различные вращения, а диаметрально противоположным точкам границы— одинаковые вращения. Таким образом, группа вращений топологически эквивалентна шару, у которого отождествлены противоположные точки границы.
Установим связь между группой вращений и алгеброй Лн кососимметрических матриц третьего порядка. Матрица А называется кососимметрической, если А' = — А. Произвольная касосимметрическая матрица задается тремя 4 зак. ззо параметрами и имеет вид 0 ам а!э А= — а!2 0 ам !3!3 П23 Совокупность кососимметрических матриц становится алгеброй Ли, если в качестве лиевской операции взять коммутатор [А, В]. Это утверждение следует из свойств коммутаторов и равенства [А,В]'= — [А,В], Последнее проверяется непосредственно: [А, В]'=(А — ВА)'= В'А' — А'В'=ВА — АВ = — [Л, В], В качестве образующих алгебры Ли удобно выбрать матрицы Аз= 0 0 — 1 . Аз= О 0 0 . Аз= 1 0 0 Любая кососнмметрическая матрица может быть представлена в виде А(а) =а!А! + азА2+азА3.
Найдем перестановочные соотношения для матриц Л!, А, н Аз [А!, Аз] = А!Аз — А2А! = 1 О 0 — 0 0 0 '= 1 0 0 =Аз. и искомые соотношения имеют вид [А!, Аз]=Аз, [Ам Аз]=А„ [Аз, А!]=Аз. Непосредственно может быть проверена формула [А (а), А (Ь)! = А (а Х Ь).
Рассмотрим матрицу е"". Для того чтобы получить явное выражение для втой матрицы, вычислим целые степени матрицы Аз о о 2 з 3 Лз= О -1 О = — Уз, Аз= — Аз, Аз=13 0 0 0 Раскладывая еаз в ряд получим аз— -о з-1 з-1 = ~ + !з (сов а — 1) + Аз в1 п а сов а — в!и а 0 или езь= в!па сова 0 0 О 1 Мы видим„что е'а является вращением вокруг третьей оси на угол а, т, е. д(0, О, а)=ез4', Аналогично проверяется, что д(а, О, О)=е"' и д(0, а, 0)=е"'. Для вращений вокруг оси координат мы будем использовать сокращенное обозначение д;(а), ! = 1, 2, 3. Инфинитезимальными образующими группы вращений на. зываются матрицы — ~ . Используя формулы для врале !з) а з-о щений вокруг осей координат, получим а,-о Аналогично Мы видим, что кососимметричные матрицы Аь Ав Аз являются инфинитезимальными образующими группы вращений. Теперь мы легко можем получить формулу для произвольного вращения д(пи).
Очевидно, что произведение вращений вокруг одной оси п на углы а и () есть вращение на угол а+ р вокруг той же оси: д(пб) д(па) = ц(п(а+6)). Дифференцируя это тождество по !) и полагая () = О„получим (п1 А~ + по Аз+ пзАз) й(па) = — „д(па).
Мы нашли дифференциальное уравнение для д(пи), которое нужно решить при начальном условии д(пО) = А Единственное решение этой задачи имеет вид й (па) = ехр!(зчА, + пзАз+ пзАз) а). (2) % 25. Представления группы врапзеиий Представлением группы вращений б в гильбертовом пространстве д' называется отображение %', которое каждому элементу д группы б ставит в соответствие ограниченный линейный и непрерывно зависящий от й оператор яг(д) в простран- стве д' так, что выполняются условия 1) В'(!) = 7, 2) )Р(д~йз) = Ф'(й~) К(йг).
В условии 1) слева 7 означает единичное вращение, а справа— единичный оператор в Р. Из условий 1) н 2) сразу следует, что йг(а-') = йг-'(й). Представление называется унитарным, если унитарны опе- раторы В'(д), т. е. )р (а) = Ф'-'(й). В теории групп доказывается, что любое представление группы вращений эквивалентно некоторому унитарному пред- ставлению, поэтому можно ограничиться изучением унитарных представлений. Напомним два эквивалентных определения неприводимого представления: !) представление называется неприводимым, если не существует оператора, отличного от С1, который коммутировал бы со всеми операторами Р(д); 2) представление называется неприводнмым, если в пространстве д' не существует подпространства Жм инвариантного относительно действия операторов ))г®.
Легко построить представление группы вращений в прост- ранстве состояний частицы Ж = (,з((Р). Для этого определим операторы %'(й) формулой Р7 (д) ф (х) = ф (д-'х). (1) Условие 1) определения представления очевидно, условие 2) проверяется следующим образом: яг (д,дз) ф (х) = ф(й й х) = йг (д,) ф (д х)=И'(д,) йу (йз) ф(х). Операторы Ф'(д) отображают М на За взаимно однозначно, поэтому для проверки унитарности достаточно убедиться, что онн сохраняют норму вектора ф: !!йг(й)$!!'= ~!Ф(й 'х)!'ух= ~! Ф(х) Гс(х=!!ф!!з, где использовано равенство де1д= 1. Покажем, что справед- лива формула )(Г(а) =ехр( — 1(Ь,а, + Ц,аз+ Цзаз)! (2) Заесъ мы обозиачилн В'(й'(а)) через )Р'(а), Еь Ем Ез — проек- ции момента импульса.
Для доказательства формулы (2) рас- смотрим сначала вращение вокруг третьей оси и покажем, что )г"з (а) = а-'м" пли, что эквивалентно, ф (д (а) х) = е-'~*"ф (х) (3) гоо при произвольной зр(х)~Ж. Мы проверим справедливость последнего равенства, если убедимся, что функции в левой и правой частях его удовлетворяют одному и тому же уравнению с одинаковыми начальными условиями. Функция ф(х, а)=е зы"ф(х) очевидно, удовлетворяет уравнению да(х, а) д (у„зф (х' а) или подробнее да(х а) ~ д д да ~ з дх~ дхз1 =(хз — — х1 — 1ф(х, а). (4) Функции, стоящая в левой части (3), которую мы обозна- чим через ф1(х,а), имеет вид ф,(х, а)=ф(х, соза+хз яп а, — х, яп а+ хзсоза, хз).
Проверим, что эта функция удовлетворяет уравнению (4)„ — = — ( — х~ яп а+ хз сова)+ — ( — х, сова — хзяпа), де1 дф д4 да дх~ дхз де1 де де хз — = хз — соз а — хз — з! и а, дх1 дх1 дхз дЕ~ дф дф х1 — — — х1 — япа+х, — сова, дхз дх~ дхз В'((а) =е '~)~, 1=1, 2, 3. (5) Инфинитезимальные операторы представления сразу находятся из формулы (5) д(г'(а) дат((а) 1 = — Еп да да Далее, буквально повторяя рассуждения, которые привели нас к формуле (24.2), мы получим (2).
Обратим внимание на то, что операторы — К( имеют те же перестановочные соотношения, что и матрицы Аь ) = 1, 2, 3. Действительно, из Р-ь (з) =11-з следует, что ( — Ы,ь — (Е,з) = — (Ез 101 откуда следует справедливость (4) для функции ф1(х,а). Наконец, обе функции удовлетворяют одинаковому начальному условию ф(х, О) =ф~(х, О) = ф(х). Таким образом, операторы вращений вокруг осей координат имеют вид В теории групп доказывается, что перестаиовочные соотношения между инфинитезимальными операторами представлении не зависят от выбора представления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
