Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков (1156655), страница 16
Текст из файла (страница 16)
деляется из условия, что полная энергия Е ( Р(х), что соответствует отрицательным значениям классической кинетической энергии. $18, Представление состояний одномерной частицы в пространстве последовательностей (з Согласно результатам Ь 16 любой вектор ~р еи М может быть разложен в ряд по собственным векторам оператора энергии гармонического осциллятора =~ф— ", ф„~[С„~ < л й Каждый вектор ~рен Я однозначно определяется последова.
тельностью коэффициентов (С,), т. е. (С„). Пусть ф ~-«(В„), тогда в силу ортонормнрованности системы (в~)а векторов ф„= — фз (ф, р) = ~' в„с„. Посмотрим, как действуют операторы в таком представлении. Для этого достаточно построить операторы а и а*, Пусть (С„), ая~ «(С„'). Нам нужно выразить С„' через С„. Это можно сделать следующим образом: )~ ч ~ в (в«)В ! ар=а р С„=фз — — т С„фа= Л „дг е й При вычислении использовалнсь соотношении [а, (а')") = = п(а")"-', паз = О, последнее равенство получается при замене значка суммирования п- и + 1. Из (1) видно, что С'„=.у'и+ 1С~+~ (2 ) Аналогично В л Поэтому, если а ф+-т(С"), то С„= 4пС„г (3) Формулы (2) и (3) становятся особенно наглядными, если использовать матричные обозначения.
Будем записывать последовательность (С„) в виде столбца Тогда операторы а н а* могут быть записаны при помощи мат- риц Проверим, что такая запись эквивалентна соотношениям (2) и (3). Действительно, что совпадает с формулой (2); аналогично проверяется связь формул (3) и (4). Для операторов а и а' в представлении (4) сразу же проверяется перестановочное соотношение 1а, а') = 1. Собственные векторы оператора Н в этом представлении имеют вид (1) 0 1 О ° Ф= 0 Очевидно, что вектор фа удовлетворяет уравнению афз — — О. Операторы а* и а часто называют операторами рождения и уничтожения возбужденна.
Эти названия объясняются тем, что оператор а' превращает состояние с энергией Е в состояние 0 ~/1 0 0 0 О т/2 0 0 0 О ~/3 0 ~/1 0 0 О О 1Я О 0 0 0 ~/3 С С, С2 Со С, С О 0 0 чТ о о О,/2 О. 1~Т С, ~Л' С, ~З С, с большей энергией Е+ в, а оператор а — состояние с энергией Е в состояние с энергией Š— в (основное состояние !ро оператор а аннулирует). Иногда вводят так называемый оператор числа возбуждений У = а'а. В нашем представлении он имеет вид 0 0 О 0 0 1 0 0 0 0 2 О О 0 О 3 Собственные значения этого оператора совпадают с порядковым номером возбужденного состояния !р,.
Выпишем, наконец, операторы Н, Р и !'„) в рассматриваемом представлении О 0 з — а 0 я 5 0 — а 2 Н = ои"а + —" +-+ 2 о ~/Т о о — ~/Т 0 у'2 0 0 — )/2 0 т/3 ' о о — )/з о !/а (а — а') ~~в ч/ ~Г !6) т/Т о 1/2 о .' 0 ~/2 0 ~/3, 0 0 ~/3 0 !7) Из этих формул видно, что Н представляется диагональной матрицей, т. е. рассматриваемое представление является собственным'для оператора Шредингера гармонического осциллятора.
Далее, сразу видно, что Р и 1,) — самосопряжеиные операторы, и легко можно проверить выполнение перестановочного соотношения Я,Р) = й В связи с представлением состояний в пространстве 1~ хотелось бы несколько слов сказать о первоначальной матричной формулировке квантовой механики Гейзенберга. На начальном этапе развития квантовой механики основной была задача 9 39.
Представление состояний одномерной частицм в пространстве целых аналитических функций Я Рассмотрим множество функций комплексного переменного вида Это множество функций йР становится гнльбертовым простран. ством, если скалярное произведение определить формулой () ь ),) = — ~ )1 (г) Яг) е-" !' Ир (а). (2) Интеграл берется по комплексной плоскости и Нр(г) = Ых ду.
Проверим, что функции г"/~/и! образуют ортонормированный базис в Й. Для этого вычислим интеграл 7 — ~ зв~~ие-! а афр (в) ~- ~ р<(р ~ д<зрч+теьг м-в)е-е' о о При пФт 7 „= О за счет интегрирования по ~р. При и = т имеем О ФЭ 1„„=2п ~ р'"+'е ~еЫр=п ~ !"е 'й=пп! о а вб о нахождении допустимых значений энергии системы. Рецепт, предложенный Гейзенбергом применительно к системе с одной степенью свободы, состоял в следующем. Рассматривалась классическая система с функцией Гамильтона Й(д, Р) = = рз(2т+ Р(д). Строились самосопряженные матрицы Я и Р, удовлетворяющие соотношению Я, Р) = ! (такие матрицы определены неоднозначно). Далее строилась матрица Н = = РЧ2гп+ У(Я).
Последний этап состоял в диагонализации этой матрицы, причем собственные значения матрицы Н отождествлялнсь с допустимыми значениями энергии. Формулы (6) и (7) дают пример матриц Р и (), удовлетво. ряющнх перестановочным соотношениям Гейзенберга. Этн матрицы подобраны так, что матрица оператора Н для осциллятора сразу является диагональной. Однако для произвольного Н нельзя обойтись без этапа диагонализации. Мы видим, что формулировка Гейзенберга по существу совпадает с современной формулировкой квантовой механики, если в качестве пространства состояний взять пространство (з. ч и (а")" ПРонзвольное СостоЯние 1Р еи Я, 1Р = ~ С„= Фо может «(а! ии бЫтЬ ПрЕдСтаВЛЕНО ФуНКцИЕй ~(г) = ~ Си —, фи-»)1(г). Саб"«ЯТ' ственные векторы осциллятора Фи представляются базисными функциями г /«/п(. Посмотрим, как действуют операторы а и а' в таком представлении.
Используя 'выкладки, которые привели иас к формулам (18.2) и (18.3), мы можем записать векторы аф и а1р' в виде )и-1 ( и)л+1 аф=„' Сл Фо а"ф=,р,Си — Фо. Чп( «1 и1 л л Эти векторы представляются функциями и+1 а'ф- ЕС- — '=газ). " «Я и т. е. для операторов а и а' мы получили представление и а~ —, а л-»г. и'и ' Выпишем соответствующие формулы для операторов Я, РиН Н~~(г а + з). Все основные соотношения ([а, а'1=1, (Д, Р1=1, НФ„= 1« *=по(а+ — )Фл) могут быть легко проверены в таком пред. ставлении.
Построенное представление может оказаться удоб. ным, если изучаемые наблюдаемые есть полиномы от Я и Р, 5 20. Общий случай одномерного движения В предыдущих параграфах мы рассмотрели две одномерные задачи квантовой механики — задачи о свободной частице и о гармоническом осцилляторе. Свободная частица дает иам пример системы с непрерывным спектром для оператора Шре- дингера, а гармонический осцнллятор — с чисто точечным спектром. В большинстве реальных физических задач спектр оказывается более сложным. Рассмотрим задачу о спектре оператора Шредингера ла 0= — — „, + У(х) при весьма общих предположениях о потенциале.
Обычно силы, действующие на частицу, заметно отличны от нуля в какой-то конечной области на оси х и стремятся к нулю при ~х(-«со, поэтому наиболее часто встречаются потенциалы У(х), которые стремятся к постоянным значениям при х-« -«ч-оо. Для простоты рассуждений мы ограничимся случаем, ~ м(х),е рис. 6. когда потенциал строго равен постоянным при х( — а и при х « а. Используя произвол в определении потенциала„ одну нз этих постоянных всегда можно считать равной нулю.
Рассмотрим уравнения Шредингера Ф" +ЕФ= У(х)Ф (1) при условии, что У(х) — непрерывная функция на вещественной оси, и У(х)= 0 при х — а, У(х)= Уе при х) а. Для определенности будем считать, что Уа.«0. График потенциала изображен на рис. 6. Прн х - — а и х ~ а уравнение Шредингера (1) упрощается ф" + ЕтГ= О, х < — а, (2) ф" +(Š— У,)ф=О, х>а. (3) При любых значениях Е существует два линейно-независимых решения уравнения (1), которые мы обозначим через ф~ и ~рь Общее решение этого уравнения р=С,ф,+С,фз. (4) 87 При изучении спектра оператора Н нас интересуют либо квадратично интегрируемые решения уравнения (1), которые являются собственнымн функциями оператора Н, либо решения, ограниченные на всей вещественной оси.
При помощи последних может быть описан непрерывный спектр оператора Н. Рассмотрим теперь трн случая. 1) Е<0. Уравнения (2) и (3) перепишем в виде ф" — хоф=О, х< — а, х'= — Е>0, х>0, ф" — х',ф= О, х > а, х',= — (Š— 1'о) > О, х, ) О, Линейно-независимыми решениями этих уравнений являются функции е™к при к < — а и еежх при х > а.
Поэтому произвольное решение (4) уравнения (!) в области х< — а имеет вид С1е "+Сне ", а в области х) а — С|е ""+Сне '". Здесь С1, Со, С1' и Сà — некоторые постоянные, линейно зависящие от С, и Со формулы (4). Решение ф будет квадратнчно интегрируемым при условиях С(=0 и Со'=О. Уже одного из этих условий достаточно для того, чтобы ф была определена с точностью до численного множителя. Из условкя С',=-0 может быть найдено отношение коэффициентов С1 и Сь которые будут зависеть от параметра Е, — = Е~ (Е) .
С1 Со Аналогично из условия СГ = 0 получим Е2 (Е) Со Квадратично интегрируемое решение ф будет существовать только при тех значениях Е, для которых г!(Е) = г2(Е). Корни этого алгебраического уравнения, если они существуют, являются собственными значениями оператора Н. Из приведенных соображений естественно ожидать наличие простого точечного спектра при Е О.
2) 0<Е<Уо. Уравнения (2) и (3) запишем в виде Ф" +/гоф=.0, х < — а, ао=Е> О, е > О, ф" — х',$=0, х) а, х'= — (Š— 1~о) ) О, х, > О. Линейно-независимыми решениями являются функции е-""" при х < — а и еех" при х ) а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
