Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков (1156655), страница 11
Текст из файла (страница 11)
В импульсном представлении ядро такого оператора зависит только от разности переменных и имеет вид А (р, и) = ( — „а ) ~ ) (х) е" йх, (7) аа Формулы преобразования от импульсного представления к координатному отличаются знаком в показателях экспонент А(х,у)=( — ) ~еь А(р,п)е " дрй~, (8) А (р, ц) = Р (р) б (р — я), то А (х„у) = ~ — ) ~ Р (р) е" и'р. (9) а1 и если Выясним теперь физический смысл функций ~р(х) и ~р(р), которые обычно называют волновыми функциями.
Начнем с волновой функции в координатном представлении ф(х). Вэтом представлении операторы ф ((= 1, 2, 3) есть операторы умножения на переменные хь т. е. координатное представление является собственным для операторов Яь Чтобы пояснить это, сделаем небольшое математическое отступление. Задать функциональное представление гильбертова прост. ранства М вЂ” это значит задать взаимно-однозначное соответствие между векторами этого пространства и функциями веще- Ственной переменной ~Р ф(х) и задать меру на вешественной оси с(т(х) так, что (~Р, ф) = ~ <Р (х) ф (х) дт (х).
Значения функции ~Р(х) могут быть комплексными числами или функциями от других переменных, т. е. являться элементами какого-то дополнительного пространства, и ~Р(х) ф(х) тогда обозначает скалярное произведение в этом дополнительном пространстве. В первом случае представление называется простым, а во втором — кратным. Две функции ~Р(х) следует считать равными, если они отличаются только на мяожестве лг-меры нуль. Представление называется спектральным для оператора А, если действие этого оператора сводится к умножению на некоторую функцию ((х) А~Р ( (х) ц~(х). Представление называется прямым или собственным для оператора А, если г'(х) = х, А~Р хф (х).
Спектр оператора А может быть описан как носитель функции распределения меры. Скачки меры соответствуют собственным числам. Если мера абсолютно непрерывна, то спектр непрерывный. Напомним, что в конечномерном пространстве С" мы называли собственным для оператора А такое представление, в котором векторы ф задавались коэффициентами разложения ~Р; по собственному базису оператора А. Пусть спектр оператора А простой Аф~ —— пМс л ф= Х<Р|ф~ чч=(~Р Ф).
Ю-1 Вектору ~Р можно сопоставить функцию ~Р(х), такую, что ~Р(а;) = ~; (значения функции д(х) при х ~ а; выбираются произвольно), Функцию распределения меры выберем кусочно- постоянной с единичными скачками при х = аь Оператор А тогда можно задать формулой Аф хф (х), так как эта запись эквивалентна обычной % и гр1 а„~р„ 64 Кратному собственному значению а; соответствует несколько собственных векторов. Мы можем ввести функцию Ч~(х), значение которой в точке а~ есть вектор с компонентами Ч~м, й = 1, 2, ..., гь В этом случае представление будет кратным, и кратность его равна кратности г; собственного числа аь Мы видим, что оператор в собственном представлении яв. ляется аналогом диагональной матрицы в С". В собственном представлении оператора А легко описать функцию 1(А) ) (А) <р г(х)<р(х). (10) В частности, для спектральной функции оператора Р,(Х)= = 0(Х вЂ” А) формула (1О) дает Гр(х), х<А, Рд (й) ф ~ О (д — х) ~р (х) = ~ (О, х)Х, Спектр оператора А будет полностью описан, если для опера.
тора А удастся построить его спектральное представление. Преобразование, которое переводит данное представление в спектральное, называется спектральным преобразованием. Вернемся к координатному представлению. Мы видим, что оно действительно является собственным кратным представлением для трех операторов (~ь Яь Яз.. Янр хнр (х~), Значение <р(х~) есть вектор дополнительного пространства, в данном случае функция от переменных хз и хз. Скалярное произведение определяется формулой йр, Ф) = $ т (х ) Их~) (хо т.
е. в координатном представлении мера т(х) есть лебегова мера, носитель ее функции распределения — вся вещественная ось, а значит, спектр координаты непрерывный и заполняет всю ось. функция распределения координаты ф в чистом состоянии в Р, имеет вид ые~ () ) = (Ро, Р) 9 Ф) = ~ <р (х~) ~р (х~) дхь О откуда следует, что я>(хДф (х~) = ~ ф(хь х2 хз) Ч)(хо х2, хэ)г(хзЫхз есть плотность функции распределения координаты 9ь Аналогично записываются выражения для плотности функций распределения яз и яь Естественно ожидать, что (~р(х) (а есть плотность обшей для всех координат функции распределения, т. е. вероятность найти частицу в области 11 трехмерного пространства определяется выражением ~| Ч~(х) )'Нх. Это утверждение мы проверим в разделе, посвяшенном системам коммутирующих наблюдаемых. Импульсное представленне является собственным для трех операторов Рь Рь Р„и (~р(р) (з есть плотность общей для трех проекций импульса функции распределения.
Мы можем теперь с новой точки зрения взглянуть на соотношения неопределенности для координат и импульсов. Мы видим, что эти соотношения объясняются известным свойством преобразования Фурье. Чем сильнее концентрируется функция ~у(х) и тем самым уменьшаются неопределенности координат АЩ, тем сильнее расплывается Фурье-образ ~р(р) и увеличиваются неопределенности импульсов Ь„Рь й 12. «Собственные функции» операторов Я и Р Рассмотрим теперь уравнения для собственных векторов операторов Я и Р. Для простоты записи рассмотрим частицу с одной степенью свободы. В координатном представлении этн уравнения имеют вид хчм (х) = хоя)х, (х), я и ~ — „„р,(х) =Рр,(х) (1) (2) Решая эти уравнения, получим Ч'х.
(х) = б (х хо) 1 ' =( —..')' '" (3) (4) (Г(ервая формула сразу следует из свойства б-функции хб(к) = О, вторая очевидна. Выбор нормировочных констант бу. дет ясен из дальнейшего.) Хотя «собственная функция> оператора координаты ф„„(х) есть обобшенная функция, а ~р~(х) — обычная функция, их объединяет то, что они обе не являются квадратично интегрируемыми, т. е, не принадлежат пространству Ы Собственных функций в обычном смысле слова у операторов Я и Р нет.
Чтобы понять, как функции у,, (х) н д«(х) связаны со спект. ром операторов Я и Р, вспомним, какой смысл имеют собственные векторы в С". Задача о нахождении собственных чисел и собственных векоторов матрицы А связана с задачей о днагонализацин этой матрицы подобным преобразованием или, иначе говоря, с преобразованием оператора из некоторого ис. 56 ходного представления в собственное. Для самосопряженного оператора А в С" всегда существует базис, составленный нз собственных векторов А!р! =а!ч!, (<р, !р»)=бм. Собственные векторы мы ищем в исходном представлении, в котором $ В!, $.) !р «-к, (ф!о !р!о) Компоненты вектора С в собственном представлении оператора А вычисляются по формуле и $ = ($, ч!!) = 2. з»~4".
(б) р ! Мы видим, что матрица, составленная из чисел, сопряженных компонентам собственных векторов О!р = !рк, осуществляет !!! спектральное преобразование к К= Х у!.~, к-! Матрица У является унитарной, так как Л и к Х ' — Х вЂ” Х сир — „м с' — г !оп »-! «-! В-! В(р) = 6. <рр) Ерк В(р)=(',—,.'„)' $ " в(.) (. О или Эта формула нам уже знакома. Мы видим, что функция У(р,х) = !рр(х) является ядром унитарного оператора, переводящего координатное представление в импульсное (собственное для оператора Р).
!ак же может быть истолкована н «собственная функция» оператора координаты 9, Координатное представление является собственным для оператора Я, поэтому оператор, осуществляющий спектральное преобразование, должен быть единичным, а Ч~,~х) = б(х — хр) является ядром единичного оператора. На этих примерах мы видим, что «собственные функции» непрерывного спектра, хотя н не являются собственными эле. ментами в обычном смысле слова, но нх связь со спектральным преобразованием остается такой же, как и для собственных векторов в конечномерном пространстве. Если мы формально в (5) заменим ф! на !рр н в! на $(р), то получим Заметим, что существует конструкция, позволяющая придать решениям уравнения Афх = хфх точный смысл собственных векторов даже для случая, когда фх не принадлежат М.
Для этого вводится более широкое прост. ранство Ф*:з М, элементами которого являются линейные функционалы, определенные на некотором пространстве Ф с: Ж Пару пространств Ф н Ф* удается построить так, чтобы каждый самосопряженный оператор в М имел в Ф* полную систему собственных векторов. Собственные элементы оператора А, принадлежащие Ф* н не принадлежащие М, называются обобщенными собственными элементами. Если оператор А имеет простой спектр, то для любого ф я Ф имеет место разложение по собственным элементам ф= 1 с®ф ю.
(7) (9) Преобразование Фурье может быть истолковано как разложение по собственным функциям оператора импульса фе(х): 1 ф (х) = ( — а) ~ ф (р) е " йр. (8) Нормировочная константа Я2нл)'~ в выражении для собствен. ной функции импульса соответствует условию нормировки ~ фр' (х) ф„(х) г(х = Ь (р — р'). Эта формула — следствие известного интегрального представления для 6-функции: ~ е' " е(х = 2пй (я). ()О) В двух последних формулах интегралы понимаются в смысле главного значения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
