Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков (1156655), страница 6
Текст из файла (страница 6)
е. наблюдаемая Н с дискретными численными значениями является суммой наблюдаемых с непрерывными значениями. Таким образом, на множестве наблюдаемых 6 определены две операции: умножение на вещественные числа и сложение; тем самым множество 6 становится линейным пространством. Поскольку на 6 определены вещественные функции и, в част- ности, квадрат наблюдаемой, то возникает естественное опре- деление произведения наблюдаемых а»Ь= 4 (а+ Ь)з — (а — Ь)з (б) Отметим, что произведение а Ь коммутативно, но, вообще го- воря, не ассоциативно.
Введение произведения а ° Ь превращает множество наблюдаемых л в вещественную коммутативную алгебру. Вспомним, что алгебра наблюдаемых классической меха- ники содержала еще лиевскую операцию — скобка Пуассона Ц,а). Эта операция появилась в связи с динамикой системы. С введением такой операции каждая наблюдаемая Н порож- дает семейство автоморфизмов алгебры наблюдаемых: Уб Й-~а, где (Ц = /~', /~ удовлетворяет уравнению а, =(Н,Я а/ и начальному условию Рс!с=о=/ Напомним, что отображение Ус является автоморфизмом вследствие того, что скобка Пуассона обладает свойствами лиевской операции.
Тот факт, что наблюдаемые в классической механике являются функциями на фазовом пространстве, здесь роли не играет. Ыы предположим, что и алгебра наблюдаемых квантовой механики имеет лневскую операцию, т. е. каждой паре наблюдаемых а, Ь сопоставлнется наблюдаемая (а, Ь) со свойствами: (а, Ь) = — (Ь, а), (йа + Ь, с) = А (а, с) + (Ь, с), (а, Ь о с) = (а, Ь) о с + Ь о (а, с), (а, (Ь, сЦ + (Ь, (с, а)) + (с, (а, ЬЦ = О.
Кроме того, предположим, что связь лиевской операции с динамикой в квантовой механике такая же, как и в классической. Трудно представить более простой и красивый способ описания динамики, кроме того, однотипное описание динамики в классической и квантовой механике позволяет надеяться на то, что мы построим теорию, содержащую классическую механику как предельный случай.
Фактически все наши предположения сводятся к тому, что при построении квантовой механики разумно сохранить структуру алгебры наблюдаемых классической механики, но следует отказаться от реализации этой алгебры функциями на фазовом пространстве, так как мы допускаем существование неизмеримых одновременно наблюдаемых. Наша ближайшая задача — убедиться в том, что существует реализация алгебры наблюдаемых, отличная от реализации классической механики.
В следующем параграфе мы приведем пример такой реализации, построив конечномерную модель квантовой механики. В этой модели алгебра наблюдаемых м есть алгебра самосопряженных операторов в п-мерном комплексном пространстве С". Изучая эту упрощенную модель, мы сумеем проследить за основными особенностями квантовой теории. В то же время, дав физическое толкование построенной модели, мы увидим, что она слишком бедна, чтобы соответствовать действительности. Поэтому конечномерную модель нельзя рассматривать как окончательный вариант квантовой механики.
Однако усовершенствование этой модели — замена С" на комплексное гильбертово пространство будет представляться весьма естественным. й 5. Конечномерная модель квантовой механики Покажем, что алгебра наблюдаемых И может быть реализована как алгебра самосопряженных операторов в конечномерном комплексном пространстве С". Векторы пространства С" будем обозначать. греческими буквами $, ть у, ф, .... Напомним основные свойства скалярного произведения: 1) (й, ф) = Й~), 2) (а + ХЧ, тр) = (й, тр) + Х (тв тр) 3) (й, 9 > 0 при й чь б.
Здесь Х вЂ” комплексное число. Векторы еь ..., са образуют ортонормированный* базис в С', если (ез, е!) =Ьгп (2) где бп — символ Кронекера. Разложение произвольного вектора й по векторам базиса аь ..., еа имеет вид й= К $гег, $! — — (й, а!). (3) ! ! (4) тоже образуют базис, если матрица У = (У!») обратима и У;,'= й„. (б) Матрица, для элементов которой справедливо равенство (5), на.
зывается унитарной. Переход от одного базиса к другому есть унитарное преобразование. Если выбрано представление, то для скалярного произведения справедлива формула 6 т))=Е,И! (е) Операторы в заданном базисе представляются матрицами А ч (Аг»), Ам =(Азы е!), (7) д ----. - - ! г ",-!«!,.з=(зать....,)= «-! = 2 й»(Аеа, и!) = 2 А!»Р». Оператор А' называется сопряжен»-! «1 ' В дальнейшем слово еортонормированный» мы часто будем опускать, !ак как другие базисы мы не рассматриваем. Вектор $ однозначно определяется числами $!, ..., $, $ Е! " 5л).
Если выбран базис, то тем самым выбрана конкретная реализация для векторов или задано представление. Пусть еь ... ..., е,— базис, тогда векторы л е',= 2, У, е, 1=1, 2...„а «-! ным оператору А, если для любой пары векторов с и г1 сприведливо равенство (Ас, т!)=($ А ч). (8) Очевидно, что Ага = Ааг. Оператор называется самосопряженным, если А' = А. Для самосопряженного оператора Ам = = Лап Непосредственно из определения сопряженного оператора следуют равенства (АВ)' = В'А', (аА)" = аА", (9) где а в комплексное число. Построим реализацию алгебры наблюдаемых.
Пусть И вЂ”. множество самосопряженных операторов в С". В дальнейшем самосопряженные операторы мы часто будем называть наблюдаемыми. На множестве операторов обычным образом определены операции сложения и умножения на число, Если А — л, Вииб, Хе В, то (А+В)ни 6 и ХАяб, так как (А+ В)'= = А + В и (ХА)'= ХА. Естественно эти операции считать операциями сложения наблюдаемых и умножения на число. Следующая наша задача — научиться строить функции от наблюдаемых. Можно предположить, что здесь годится обычное определение функции от оператора.
Это предположение мы сможем оправдать после того, как научимся строить вероятностные распределения для наблюдаемых в квантовой механике. Тогда мы сумеем проверить формулу щгои(Е) = вл(1 '(Е)), эквивалентную общему определению функции от наблюдаемой, данному в предыдущем параграфе. Напомним, что существует несколько эквивалентных определений функции от оператора. Если для ((х) на всей вещественной оси справедливо разложение в степенной ряд 1(х) = ~ с„х", (10) то у(А) определяется формулой ~(А) = ~ с„А". (!!) Второе определение использует существование у самосопряженных операторов собственного базиса * Афг =агсзо г = 1, ..., и. ' Напомним, что собственные числа самосоприженного оператора вещественны, а собственные векторы, соответствующие разным собственным значениии, ортогональны.
Если собственное значение имеет кратность г, то ему соответствует г линейно-независимых собственных векторов, которые всегда можно выбрать ортонорыированными. Здесь ф; — собственные векторы, (ф„ф;) = бп, а а~ — собственные значения оператора А. Для определения линейного оператора /(А) достаточно определить результат действия /(А) на векторы базиса. По определению /(Л) ф; = /(а;) фо (12) Аой (А + и)' — (А — ВР АВ+ ВА 2 (13) Самосопряженность оператора А ° В очевидна. Нам осталось построить лиевскую операцию. Для этого рассмотрим коммутатор операторов Л и В [А, В] = А — ВА, Операция [АВ] обладает следующими свойствами: 1) [АВ] = — [В, А], [А + !~В, С] = [АС] + ЦВ, С], 3) [А, В е С] = [А, В] а С+ В о [А, С], 4) [А, [В, С]]+ [В, [С, А]]+ [С, [А, В]]=0.
(14) Все эти свойства проверяются непосредственным вычислением. Заметим, чта свойство 3) справедлива и для несимметризован- ного произведения. Действительно, [А, ВС] = АВС вЂ” ВСА + ВАС вЂ” ВАС = [А, В] С + В [А, С]. Мы видим, что коммутатор обладает свойствами лиевской операции, но [А,В] не является самосопряженным оператором, т, е. [А,В] Й6.
Однако выражение (1/Ь) [А, В], которое отличается от коммутатора чисто мнимым множителем 1/й, удовлетворяет всем требованиям. Отметим, что алгебры 6, построенные с разными постоянными й, неизоморфны друг другу. Выбор Ь может быть сделан только после сравнения теории с экспериментом. Это сравнение показывает, чта константа Ь совпадает с постоянной Планка. В дальнейшем мы будем использовать обозначение (А, В)„= — „[А, В] (!5) н называть (А, В)ь квантовой скобкой Пуассона. 30 В собственном базисе матрица А диагональна, и на диагонали стоят собственные значения, т.
е. Аа = а,бп. В этом же представлении [/(А)]ц = /(а~)бп. Заметим, чта вещественной функции соответствует самосопряженный оператор, т. е. /(А)~ вне, Операция А о В определяется формулой (4.6), которая для самосопряженных операторов имеет вид Интересно отметить, что в классической механике мы могли бы вместо 0И= — — —— д~ де д~ де = ар ач ад ар определить скобку Пуассона равенством где к — вещественная постоянная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
