Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков (1156655), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Проще всего это утверждение доказывается в импульсном представлении. тб Для произвольного вектора ) ен Ь'(и) имеем (Ф (1), 1) = ~ ~р(р) е и ) 1(Р) 0Р. Последний интеграл стремится к нулю при ~1~-ь оо по теореме Римана — Лебега. В координатном же представлении слабая сходимость к нулю ф(1) имеет очень простой смысл. Постоянный вектор 1 задается функцией, которая заметно отлична от куля лишь в некоторой конечной области й, а область, в которой отлична от нуля функция ф(х,1), расплываясь, уходит на бесконечность. Поэтому Я(1),~)-~0 при ~(~-ьоо.
Проверим, что асимптотическое выражение (13) для функции ф(х,() имеет правильную нормировку, Прн (1~- ос имеем 2 16. Гармонический осциллятор В классической механике гармоническим осциллятором на. зывается система с функцией Гамильтона йл+ 2 Параметр а . 0 имеет смысл частоты колебаний. Оператор Шредингера соответствующей квантовомеханической системы имеет внд ра ьР Н= — + — —. 2 2 Мы используем систему единиц, в которой гп = 1, й = 1. Наша задача найти собственные векторы н собственные значения оператора Н.
Мы решим эту задачу„используя только перестановочные соотношения Гейзенберга для операторов Р н Я и не переходя к конкретному представлению, Для этого введем операторы а = — (аЯ+ 1Р), а' = — (аЯ вЂ” (Р). ч/2е Используя соотношение Гейзенберга [Я, Р)=ю', (3) получим ааа'= — (~2Яз+ Р ) + — ( — ЯР+ РЯ= Н+ —, аа'а = — (аМ;)з + Рз) + — '(ЯР— РЯ) = Н вЂ”вЂ” 2 2 2 или Н=ааа — —, ° и 2 (4) (5) Из (4) и (5) сразу находим перестановочиое соотношение для операторов а и а* [а, а'[ = 1.
(6) Из (6) легко проверяется по индукции, что ( вую[ ( ~)~-! (7) Наконец, нам потребуются перестановочные соотношения операторов а и а' с Н. Для вычисления коммутатора [Н,а[ достаточно умножить формулу (4) на а справа, (5) на а слева и найти разность полученных выражений [Н, а]= — аа, (8) Аналогично [Н, а"[ = аа*. (й) Перейдем теперь к изучению спектра оператора Н. Предположим, что существует хотя бы одно собственное значение Е оператора Н.
Соответствующий собственный вектор мы обозначим через фз. Покажем, что собственные значения Е ограничены снизу. Вектор фз по условию удовлетворяет уравнению Нфз = Ефж которое может быть с учетом (5) переписано в виде ( + 2)фа — ЕФ. Умножая зто равенство слева на фю получим м 2 пФв 2 + 2 ~[ фа 11 = П Фа Р откуда сразу следует, что Е ) а/2, причем знак равенства возможен только при условии афе = О. Из выражения (5) для Н видно, что если некоторый вектор ф удовлетворяет условию аф = О, то он является собственным вектором оператора Н, соответствующим собственному зяачению еч2, Покажем, каким образом можно по произвольному собственному вектору фз построить новые собственные векторы.
Подсчитаем выражение Нафз, используя (8): Нпфв = аНфв — еаза =(Š— и) аФа. 77 Из последнего соотношения видно, что либо паз является собственным вектором, соответствующим собственному значению Š— а, либо паз = О. Если а~рз М О, то вектор азиз либо собственный с собственным значением Š— 2а, либо азиз= О. Та.
ким образом, по произвольному собственному вектору ~рз может быть построена последовательность собственных векторов ~рю абаз, ..., а"фз, соответствующих собственным значениям Е, Š— в, ..., Š— й/а. Эта последовательность, однако, не может быть бесконечной, так как собственные значения оператора Н ограничены снизу числом а/2. Поэтому существует такое А/> О, что а"фз Ф О, аз+'~>з= О.
Обозначим вектор аэфз через ф. Этот вектор удовлетворяет уравнениям птО О~ ~Из з Ф)' (10) Мы видим, что предположение о существовании хотя бы одного собственного вектора ~рз эквивалентно предположению о существовании вектора ~ам удовлетворяющего (10). Вектор ~ра описывает основное состояние осциллятора, т. е. состояние с наименьшей энергией а/2. Посмотрим, как действует оператор а* на собственные векторы оператора Н.
Используя (9), получим Нп'~Р = и*НГгз + гэа"фз = (Е + а) а'фа. (11) При вычислении использовалось перестановочное соотношение (7) и равенство (10). Таким образом, последовательность нормированных собственных векторов оператора Н можно задать формулой Ф„= = (а") "$о и = 0,1> 2... ° ш (12) 78 Обратим внимание на то, что а*~рз не может быть нулевым вектором. Действительно, из выражения (4) для оператора Н видно, что вектор, удовлетворяющий уравнению а*~р = О, является собственным вектором Н с собственным значением — в/2, что невозможно, так как Е ~ а/2. Поэтому из (!1) следует, что а'фз является собственным вектором оператора Н с собственным значением (Е+ е). Аналогично (а*)'~рз — собственный вектор с собственным значением (Е+ 2а).
Начиная такое построение с вектора ~рм мы получим бесконечную последовательность собственных векторов ~рм а"$з (и*)"то, соответствующих собственным значениям е/2, а/2+ а, ..., (и+ 1/2)а, ... Пусть вектор фз нормирован !! й~з !! = 1. Вычислим норму вектора (а*) "$з !1(а )"~Ь!!з=((а')"фо. (а')"~9=(фо а" '(а*)"аРю)+ +п(фо а" '(а) 4о)=п!!(а)" фо!!'= .. =и! !!фз!~=п1 ...
Ортогональность векторов ~„соответствующих различным собственным значениям, следует из общих соображений, но может быть проверена и непосредственно (фю Фл) = — „--,-„-, (фо а" (а")"фо) 0 при й Ф и, Последнее равенство получается из формул (7) и (10). Обсудим теперь вопрос о единственности вектора ~ре, Натянем на ортонармированную систему векторов ~р„гильбертово пространство Яй. Элементы ~р еи Зй имеют вид (13) В этом пространстве мы получим реализацию перестаиовочных соотношений Гейзенбера, если положить в соответствии с (2) (! 4) Соотношение (3) тогда является следствием формулы (6).
Пространство,К инвариантно относительно действия операто. ров Р и Я (точнее, относительно ограниченных функций 1(Р) и Р(Я), например, У(и) и г'(о)) и не содержит подпростраиств, обладающих тем же свойством. Поэтому представление операторов Я и Р формулами (14) в Зй неприводимо. Если в некотором представлении существует два вектора фз / и чъ удовлетворяющих уравнению (10), то наряду с м может быть аналогично построено пространство М' по вектору фз Это пространство будет инвариантным относительно Р и ф т. е. представление, в котором существует более одного решения уравнения (10), будет приводимым.
5 17. Задача об осцилляторе в координатном представлении В предыдущем параграфе мы чисто алгебраическим путем нашли спектр оператора Шредингера для осциллятора. Было сделано только одно предположение, что существует хотя бы один собственный вектор оператора Н. Это эквивалентно существованию решения уравнения афр = О. Покажем, что в координатном представлении действительно существует единственное решение этого уравнения. Запишем операторы а и а* в координатном представлении (2) ч/2в Уравнение а»(»о = О принимает вид о»хф (х) + ф'(х) = О. Разделяя переменные, получим — = — о»х ах е»го ч»о ам »го (х) = Се Постоянная С находится из условия нормировки ОЭ Ю 1 ~!фо(х)(»Нх=!С»о ~е "о Ох=~С»о( — ") =1, Этому условию удовлетворяет С=(о»/и)»", и нормированная собственная функция для основного состояния имеет вид ем ф~(х) = ( — „) е Собственные функции для возбужденных состояний ф„(х) находятся по формуле (16.12) с учетом (2) о»»й ч»„(х) ( — ) — (о»х — — ) е Очевидно, что эти функции имеют вид Вм ф„(х) = Р„(х) е где Р„(х) — полипом и-й степени.
Можно показать, что Р„(х)= =Н„(.1~о»х), где Н,($) — полином Чебышева — Эрмнта. Изве- $' стно, что система функций Н„($)е о полна в 1.'(Й). Это утверждение, вообще говоря, следует из неприводимости координатного представления и результатов предыдущего параграфа. Функция 1»(»„(х)1' является плотностью функции распределения координаты в и-м состоянии осцнллятора. Интересно сравнить это распределение с соответствующим классическим распределением.
Решение классической задачи об осцилляторе имеет вид х (1) А з1п (о»1 +»р), (3) где А — амплитуда колебания, а»р — начальная фаза, Энергия колебаний может быть вычислена по формуле х' о»»х' ~=~+-г и равна ютАе12. Соответствующая плотность функции распределения координаты имеет вид Р(х) = б(х — х(1)). (4) Ясно, что стационарное состояние квантового осцнллятора ни при каких условиях не может переходить в классическое чистое состояние, задаваемое формулой (3). Естественно предположить, что пределом квантового состояния будет классическое смешанное состояние, являющееся выпуклой комбинацией (3) Рис. 5. со случайными фазами ф. Для такого состояния плотность функции распределения координаты получается усреднением (4) тя 2 Р (х) = — ~ б (А з1п (от1+ ф) — х) с(ф = — ~ б (А з(п ф — х) т(ф = 1 о н 2 — 1-У вЂ”, ( — А А), "б(у 1Г и,/А~ — л' О, хан( — А, А), В (Ае — хе) нли короче Р(х) = Графики функций Р(х) и ~ф,(х)1т приведены на рис.
5 для достаточно большого и при условии, что' Е„= Ь(о+1/2)ю = = ютАЯ/2. При и-ьсо квантовое распределение будет стремиться к классическому. Условие и- оо при заданной энергии Е может быть выполнено, если 6-ь О. Отметим важное отличие функций Р(х) и 1ф„(х)1е. Функция Р(х) = О при 1х~) А, т. о, классическая частица всегда находится между точками — А и А (в классически разрешенной области). Функция 1ф„(х)1е при 1х!) А в нуль не обращается. Это означает, что квантовая частица может быть обнаружена с конечной вероятностью в классически запрещенной * Здесь мы для удобства явно выписываем постоянную Планка 6, ие считая, что й 1. 61 области. Для произвольного потенциала г'(х) эта область опре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
