Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков (1156655), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Более того, если какие- либо операторы в некотором пространстве д удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям, что и инфиннтезимальные образующие группы, то они являются инфииитезимальными операторами некоторого представления, действуюшеговд. Применительно к группе вращений это означает, что если мы найдем операторы Мь Мз, Мз, удовлетворяющие соотношениям: [Мну = Мз, [МмМз[= Мь [Мз,М~) = Мз, то можем построить представление В' по формуле йУ (а) = ехр (азМ, + азМз+ азМз).
6 26. Сферически-симметричные операторы Оператор А называется сферически-симметричным, если он коммутирует со всеми операторами Я7(й) представления группы вращений. Очевидно, что оператор А является сферическн-симметричным, если [А, 14 = О, 1 = 1, 2, 3. Приведем примеры сферически-симметричных операторов. 1) Оператор умножения на функцию 1(г). В самом деле, мы видели, что операторы момента импульса действуют только на угловые переменные. Поэтому Г4(г) ф (х) = [(г) 1.зф (х) при произвольной зр ен Ж 2) Оператор И Сферическая симметрия этого оператора следует из полученных ранее соотношений [ЯЕ;] = О, 1= 1, 2, 3. 1 3) Оператор кинетической энергии Т= — — Л.
Сфернче2зз окая симметрия этого оператора сразу видна в импульсном представлении, в котором он является оператором умножения на функцию рз/(2лз). Операторы момента импульса Ь; в импульсном представлении имеют точно такой же внд, как и в координатном. 4) Оператор Шредингера для частицы в центральном поле Н= — — Л+ Р(г) 1 2зз как сумма двух сферически-симметричных операторов. Обратим внимание на то, что из самого существования сферически-симметричных операторов, отличных от С!, следует прнводимость построенного представления группы вращений в пространстве состояний ЗЮ. Выясним теперь особенности спектра оператора Шредингера в центральном поле, связанные с его сферической симметрией.
Пусть зр — некоторый собственный вектор, соответствующий собственному значению Е Нф = Етр. Тогда НЧУ (а) Р = Ф (и) Н Ъ = Е% (и) Ь, откуда видно, что вектор К(й)зр тоже является собственным вектором Н, соответствующим тому же собственному значению. Мы видим, что собственное подпространство мйл оператора Н, соответствующее собственному значению Е, является инвариаитным относительно вращений (т. е.
относительно действия операторов Ж(д)). Представление (й' группы вращений в прост. ранстве 3й индуцирует представление (ьтл в подпространстве ял и- Мул(я), где Вл(д) — ограничение оператора Ж(д) на подпространство кайл (в дальнейшем мы будем пользоваться обозначением (ьг(дг) и для операторов (Угл(д)). Могут представиться два случая: либо представление, индуцированпое в жвл, является неприводимым, либо Ял содержит ннвариантные относительно (р'(д) подпространства меньшей размерности, и тогда это представление будет эквивалентно прямой сумме не- приводимых представлений *.
Мы видим, что кратность собственного значения сферическисимметричного оператора Шредингера всегда не меньше размерности некоторого неприводимого представления группы вращений и в первом из упомянутых случаев совпадает с этой размерностью. Появление кратных собственных значений энергии в физике называют вырождением, а такие энергетические уровни вырожденными.
Если в каждом из собственных подпространств индуцированное представление неприводимо, то говорят, что оператор Н не имеет случайных вырождений. В этом случае кратность спектра полностью объясняется выбранной симметрией задачи. При наличии случайных вырождений„возможно, существует более богатая группа симметрии уравнения Шредингера. Именно так обстоит дело с оператором Шредингера для атома водорода, который, как мы увидим, имеет случайные вырождения относительно группы вращений. Заметим, что у сферическн-симметричного оператора Н с чисто точечным спектром существуют собственные значения сколь угодно большой кратности.
Действительно, в этом случае Я представимо в виде Я=Фи,ЯМп,9 .... ь Здесь мы используем известную из теории групп теорему: Пусть задано унитарное представление я-~- Я~(я) группы вращений в гильбертовом пространстве д'. Тогда существуют копееномерные подпространства уь д'з, ..., инвариантные относительно яу(К), в каждом из кото. рык представленйе йу неприводима. Эти подпространсгва попарно ортого. нальны, и нк сумма есть все о', т.е.
д' о'1 Ю д з 9 ..., 103 С другой стороны, йй = Я1 9Язйх где через эй„обозначены подпространства, в которых действуют неприводимые представления группы вращений. Изучая такие представления в $ 30, мы увидим, что среди рв„имеются подпространства сколь угодно большой размерности. Но для любого йв„хотя бы одно из пересечений М„Д ~Урн„Ф Я и тогда содержит йэ„целиком, поэтому собственное значение Еь имеет кратность не меньшую, чем размерность * лв„. Если система не имеет случайных вырождений, то собственные значения оператора Н можно классифицировать с помощью неприводимых представлений группы 6 в том смысле, что каждое собственное подпространство явв является и собственным подпространством соответствующего представления.
Поэтому важной представляется задача о нахождении всех не- приводимых представлений группы вращений. Этим вопросом мы займемся в следующих параграфах. В заключение этого параграфа заметим, что такую сравнительно простую задачу квантовой механики, как задача о двн. женин в центральном поле, можно было бы решцть вообще не привлекая теории групп. Наша цель на этом примере показать, как применяется теория групп при решении квантовомеханических задач.
Микромир (атомы, молекулы, кристаллические решетки) весьма богат различными видами симметрии. Теория представлений групп позволяет с самого начала явно учесть эти свойства симметрии, и зачастую только подход, основанный на теории групп, позволяет получать важные результаты для очень сложных систем. * Очень простым примером сферически-симметричного оператора с чисто точечным спектром является оператор Шредингера для трехмерного гврмо.
нического оспилляторв р1+ Рт+ рз (%~ + м2+ ызз) Н + или в координатном предстввленин ! (оз Н вЂ” Л+ *,. 2 2 Зх Ел, п,л~ = з,п1 + "з + "з + я ы пп пт, пз = О, 1, 2, . Каждой тройне чисел пь л„п, соответствует собственный вектор я! Йть Видно, что крзпюсть собственных знвчений Е при Е-е ос растет неогрв. ниченно. 104 лвдвчз разделением переменных сводится к одномерному случаю и для соб- ственных значений получается формула й 27.
Представление вращений унитарными матрицами второго порядка Мы построим представление группы вращений 6, действующее в пространстве Сз. для этого введем три самосопряженные матрицы со следом, равным нулю, О о= . О "з= О Эти матрицы называются матрицами Паули, Вычислим пере- становочные соотношения для этих матриц: Π— 1 О ' — — 21 О т. е. [он ох[ = 2(оз. Аналогично проверяется, что [оз, аз[ = 2(оь [оз, а~] = 2(оз. Нетрудно видеть, что матрицы — 101~2, 1= 1, 2, 3 имеют перестановочные соотношения такие же, как инфинитеэимальные образующие группы вращения Ад Поэтому можно построить представление хг-ь(У(д): У (К) = ехр ~ — 2 (о~а~ + оФз + озфз)~. Следует отметить, что это представление не является представлением в обычном смысле слова, так как вместо У(Ж) У(зз) = У(Вяз) (2) мы будем иметь У(К~) У (яг)= оУ(яяз), (3) где а = ~1.
В этом нетрудно убедиться на простом примере, сосчитав произведение У(яй У(дз), где д~ = дз есть вращение на угол и вокруг оси хз У(л,) У(дз) е з е з =е Ге'Я=~ [= — Е 0 епх В то же время по формуле (1) единичному элементу группы соответствует У(0, О, О) = й Отображение й-~У(я), удовлетворяющее (3) при [о[= 1, назызаетсн проективвым представлением с мультипликатором, Если мы все-таки захотим сохранить (2), то должны будем считать, что каждому вращению соответствует две мат(лгпи У, отличающиеся знаком. В физике такого рода представления называют двузначными.
Эти представления играют в квантовой механике такую же важную роль, как и обычные. В дальнейшем мы не будем подчеркивать это различие. Заметим еще, что появление такого рода представлений объясняется тем, что группа вращений неодносвязиа. Выясним свойства матриц (У(д). Унитарность этих матриц очевидна, так как о~ — самосопряженные матрицы. Нетрудно 105 видеть, что определитель этих матриц равен единице.
Действи. тельно, у(д) имеет вид е'з, где я — самосопряженная матрица со следом, равным нулю. Эту матрицу всегда можно привести к диагональному виду подобным преобразованием и она примет гХ О~ вид ( О с ~. Соответственно диагональный вид матрицы т' егх О будет ~ О , . След н определитель инвариантны относи- Е 'с тельно подобного преобразования, поэтому де1 У(й) = 1. Найдем общий вид унитарных матриц с определителем, рав. ным единице. Запишем условие унитарности: с с( Ь д й+ с(Ь б+ с(с( са Из равенства са+ с(Ь= О находим, что И= — =.
Из условий Б ' де1 0 = 1 н аа + ЬЬ = 1 получим ад с с - с ад — Ьс = — = — Ьс = — =(па+ ЬЬ) = — == 1, Ь Б Ь с — Ь, т. е. Таким образом, унитарные матрицы с определителем, равным единице, имеют внд а Ы У=( ), 1о~'+(БР=1, ~ — Ь а Группа таких матриц называется группой ЯУ(2). 8 28. Представление группы вращений в пространстве целых аналитических функций двух комплексных переменных В этом параграфе построим все неприводимые представления группы вращений. В качестве пространства представлений мы выберем гильбертово пространство Я)с функций 1'Я, т() Кеи С,т1си С) вида со скалярным произведением (~, Д) = †, ~ ~ (Я, с1) Л 5, т1) е ~ ~ " ! " Г с(Р (с) д1с (т)).
1ой Точно так же, как в $19, проверяется, что функции )„„= йл, а~ образуют ортонормнрованный базис в этом простран- З/а 1а1 стае ('1„„, 1„„'1=б„„.б„„. Учитывая связь между группами 50(3) и 50(2), мы можем строить представление группы 5(7(2). В дальнейшем удобно 1($,7)) обозначать через 1(Ь), где ~= ( ~ ) ен С', Отображение (7-~(Р((7) определим формулой ч й ((7)Га=Г(и-'О.
(1) Мы будем эти операторы обозначать также через )Р'(а) или В'(й), а операторы вращений вокруг осей через ))г1(а), 1= 1, 2, 3, Чтобы получить выражение для )Р(д), найдем ннфинитезимальные операторы представления, которые обозначим через — 1Мь)=1, 2, 3 1М1(1) = д й (а)~ э)(1)= д ~ Х(~)= ~а ч з а ( 1 аа ~ 1 ~ 1Ч1 — е ' 1~ =ее' да 1а-э 2 ' 1а-о 2 поэтому В результате получим — М~а=-,~ — „1+ —,„~). Точно так же находятся операторы Мз и Мм Выпишем выражения для этих операторов: 2 (1д" +~д )' дй дч д „д) 3 2(4 э т)д )' 1 д д (2) 107 Здесь мы использовали определение (1) и через $(а), т1(п) — а,а обозначили составляющие вектора е' ь.
Последние производ. ные вычисляются так: Легко проверить, что операторы М! имеют такие же пере- становочные соотношения, как операторы момента импульса, а — !М1, 1= 1, 2, 3 — как матрицы Аь Аь Аз. Для операторов ))з(а) получим )(7 (а) =ехр [- !'(М,а, + Мзаз+ Мзаз)). (3) Основное удобство пространства представления Я)з состоит в том, что оно очень легко раскладывается в прямую сумму ин- вариантных подпространств, в которых действуют неприводи- мые представления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
